线性代数二次形及其标准型.ppt

5.2 二次型及其标准形,一、二次型的矩阵表示,1、二次型,定义1 . n个变量 的二次齐次函数,2、 二次型的矩阵表示法,令,其中,A是一个n阶对称矩阵,称为二次型的矩阵表达形式,A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.,说明：,（1）二次型的矩阵都是对称矩阵；,（2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；,写出它的矩阵表达式。,例1：,解：,例2,解,0,2,0,注,1、变量的线性变换,定义5.2,关系式,令,则线性变换的矩阵形式为,x = Cy,二.二次型的标准形.,说明,为满秩（或可逆）的线性变换，此时,（1）如果系数矩阵C可逆，即|C|0，则称线性变换x = Cy,（2）如果系数矩阵C为正交矩阵.则称线性变换x= Cy为 正交变换.,定义5.3,此形称为f的标准形.,标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）,注：,二次型研究的主要问题是：,寻找满秩线性变换 ，化二次型为标准形,所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,定理5.1,3、矩阵的合同,合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。,因此二次型经过满秩线性变换后，,所得到的二次型矩阵B与原二次型矩阵A是合同的.,定义5.4,5.3、化二次型为标准形,定理5.2,一、用正交变换化二次型为标准形,证明：对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使,令正交变换x=Qy ，在此变换下,例4,解,二次型矩阵,A的特征多项式,A的特征值为,把1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为,将它们正交化，得,再单位化，得,把2=10代入齐次方程组，得基础解系为,单位化，得,正交矩阵,则,令正交变换X=QY，则,（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。,（二）用满秩线性变换化二次型为标准形配方法,例2,解,把含有x1各项集中在一起,把含有x1各项配完全平方,把含有x2各项集中在一起，再配平方,令,显然,则标准形为,验证,例3,解,令,有,构造平方项,令,则,这两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：,显然,即,其中,2、,令,这样计算对吗？,正确的做法应该是什么？,（三）初等变换化二次型为标准形,即,用初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵 与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换， 即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换.,例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换.,B,C,注意不是I,标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关， 而系数不为0的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是 唯一的，与所作的满秩线性变换无关 .,例如,四. 惯性定理,定理5.4 （惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的 个数与负系数的个数分别相等.,定义：在二次型的标准形中，正系数的个数 P（唯一确定）称为 二次型的正惯性指数，负系数的个数 N （唯一确定）称为 负惯性指数，P+N=r.它们之差 s=P-N 称为符号差。,定理5.5 任意二次型f 均可经满秩线性变换 化为,二次型f的规范形,5.4、二次型与对称矩阵的有定性,1、定义5.5,例1,正定,例2,所以是半负定.,例3,是不定.,2、实二次型（实对称矩阵A）正定的判别方法：,（1）、下列条件都是实二次型f(x1, x2, x n) = XTAX 正定的充 分必要条件：,正惯性指数为n.,A的所有顺序主子式全大于零.,A的特征值全大于零.,A与单位矩阵In合同.,存在正交矩阵Q，使,例4,解,2,2,-4,-4,-2,-2,它的顺序主子式为,=1 0,=1 0,所以f正定.,（1）,（2）,令,经过这个非退化的线性变换，二次型化为,因此该二次型的正惯性指标为2，,从而该二次型不是正定的.,例5,解,解不等式组,（2）、正定矩阵的性质：,A是正定矩阵，若A B，则B也是正定矩阵.,A正定 |A| 0，即A可逆.,A正定 kA( k 0)，AT，A1，A*也是正定矩阵.,A正定 A的主对角线上的元素a jj 0.,证明：A正定 A*也是正定矩阵.,证,方法一,设A的特征值为,且|A| 0，,并且A*的特征值为：,即A*的全部特征值都大于零，,所以A*也是正定矩阵.,方法二,由A正定知，,|A| 0，且存在可逆矩阵C，使,于是,其中,且P为可逆矩阵，,所以A*也是正定矩阵.,例6,设A是n阶正定矩阵，I是n阶单位矩阵，证明|A+I|1.,设A的特征值为,证,则A+I的特征值分别为,从而,例7,证,代入已知等式，得,因为,故满足,得,因为A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，,故只有=1，,即A的全部特征值都大于零，,因此A是正定矩阵.,n阶可逆矩阵A与I等价。,只有单位矩阵In与In相似。,只有正定矩阵与单位矩阵合同。,1、设A和B为n阶矩阵，则（ ）成立,（1）、A B A和B等价；,（2）、 A和B等价 A B ；,（3）、A B A和B等价；,（4）、 A和B等价 A B ；,（5）、 A B A B ；,（6）、 A B A B ；,1,3,n阶实数矩阵A，如果ATA=I，称A为正交矩阵.,都是实对称矩阵，但 A,B不相似,此时A与B虽合同，但特征值是不同的.,（b）、 A B A B ；,事实上，由于A,B是实对称矩阵，,总存在正交矩阵Q,P,使,又A B,由于Q,P为正交矩阵，由性质有,所以,即,A B,因此,A B,