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第二篇重点专题分层练，中高档题得高分,第25练数列的综合问题压轴大题突破练,明晰考情 1.命题角度：等差数列与等比数列的综合；等差数列、等比数列与其他知识的综合. 2.题目难度：数列在高考中一般是压轴题，高档难度.,核心考点突破练,栏目索引,模板答题规范练,考点一等差数列、等比数列的判定与证明,核心考点突破练,解答,1.(2018江苏省如东高级中学测试)已知各项均为正数的数列an的首项a11, Sn是数列an的前n项和，且满足：anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*). (1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数的值；,令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，,因为0，所以1.,证明,解答,(3)在(2)的条件下，求Sn.,解答,2.从数列an中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列an的一个子数列，设数列an是一个首项为a1，公差为d(d0)的无穷等差数列(即项数有无限项). (1)若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q；,即(a1d)2a1(a14d)， 得d22a1d，又d0，于是d2a1，,(2)若a17d，从数列an中取出第2项，第6项作为一个等比数列的第1项，第2项，试问该数列是否为an的无穷等比子数列，请说明理由.,由题设ana1(n1)d(n6)d. 假设数列bm为an的无穷等比子数列， 则对任意自然数m(m3)，都存在nN*，使anbm，,故该数列不为an的无穷等比子数列.,解答,3.已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1). (1)求数列an的通项公式；,解答,解由已知an1rSn，可得an2rSn1， 两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1， 即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以当r0时， 数列an为：a,0，0，； 当r0，r1时，由已知a0，所以an0(nN*)，,a2，a3，an，成等比数列， 当n2时，anr(r1)n2a.,(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，试判断：对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论.,解答,解对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列，证明如下：,对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列， 当r0，r1时， Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1. 若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列， 则Sk1Sk22Sk， 2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1， 由(1)知，a2，a3，am，的公比r12，,于是对于任意的mN*，且m2，am12am， 从而am24am， am1am22am，即am1，am，am2成等差数列， 综上，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列.,4.(2018连云港期末)设an是公差为d(d0)且各项为正数的等差数列，bn是公比为q且各项均为正数的等比数列，cnanbn(nN*).,证明,(2)若a1b12, c220, c364. 求数列an与bn的通项公式；,解答,解因为a1b12, c220, c364，,则an3n1, bn2n.,求数列cn的前n项和Sn.,解因为an3n1, bn2n，所以cn(3n1)2n，,2Sn222523(3n4)2n(3n1)2n1， ,412(2n11)(3n1)2n1 (3n4)2n18， 所以Sn(3n4)2n18.,解答,考点二等差数列、等比数列和其他知识的综合,方法技巧数列和其他知识的综合问题解题的关键是通过对其他知识的转化得到数列的通项关系式或递推关系式.,解答,5.(2018江苏省如东高级中学期中)设数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2(nN*). (1)记bn ，求数列bn的前n项和Tn；,解因为Snn2(nN*)，当n1时，a1S11， 当n2时，anSnSn1 n2(n1)2 2n1， 对n1适用， 所以an2n1(nN*)，所以bn 22n124n1，,解答,6.已知数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2. (1)证明数列an2是等比数列，并求出数列an的通项公式； 解由Tn2Snn2，得a1S1T12S11，解得a1S11， 由S1S22S24，解得a24. 当n2时，SnTnTn1 2Snn22Sn1(n1)2， 即Sn2Sn12n1， Sn12Sn2n1， 由得an12an2， an122(an2)，又a222(a12)， 数列an2是以a123为首项，2为公比的等比数列， an232n1，即an32n12(nN*).,解答,解答,(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Kn.,解bn3n2n12n， Kn3(120221n2n1)2(12n) 3(120221n2n1)n2n. 记Rn120221n2n1， 2Rn121222(n1)2n1n2n， 由，得Rn2021222n1n2n,Rn(n1)2n1.,Kn3(n1)2nn2n3(nN*).,解答,7.已知数列an，如果数列bn满足b1a1，bnanan1，n2，nN*，则称数列bn是数列an的“生成数列”. (1)若数列an的通项为ann，写出数列an的“生成数列”bn的通项公式； 解当n2时，bnanan12n1， 当n1时，b1a11适合上式， bn2n1(nN*).,(2)若数列cn的通项为cn2nb(其中b为常数)，试问数列cn的“生成数列”qn是不是等差数列，请说明理由；,当b0时，qn4n2，由于qn1qn4， 此时数列cn的“生成数列”qn是等差数列. 当b0时，由于q1c12b，q262b，q3102b， 此时q2q1q3q2， 数列cn的“生成数列”qn不是等差数列. 综上，当b0时，qn是等差数列；当b0时，qn不是等差数列.,解答,解答,(3)已知数列dn的通项为dn2nn，求数列dn的“生成数列”pn的前n项和Tn.,当n1时，Tn3(323)(3225)(32n12n1)， Tn33(222232n1)(3572n1)32nn24. 又当n1时，T13，适合上式， Tn32nn24.,8.已知数列an中，a11，a2a，且an1k(anan2)对任意正整数都成立，数列an的前n项和为Sn.,所以数列an是等差数列， 此时首项a11，公差da2a1a1，,解答,(2)是否存在实数k，使数列an是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项am，am1，am2，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值，若不存在，请说明理由；,解答,所以amam1，am1am，am2am1.,若am1为等差中项，则2am1amam2， 即2amam1am1，解得a1，不合题意； 若am为等差中项，则2amam1am2， 即2am1amam1， 化简得a2a20，解得a2(舍去a1)，,若am2为等差中项，则2am2am1am， 即2am1amam1，,解答,an2an1(an1an)，an3an2(an2an1)an1an. 当n是偶数时， Sna1a2a3a4an1an (a1a2)(a3a4)(an1an),当n为奇数且n3时， Sna1a2a3a4an1an a1(a2a3)(a4a5)(an1an),当n1时也适合上式.,模板答题规范练,模板体验,例(16分)已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式； (2)若bnan an，Snb1b2bn，求使Snn2n130成立 的正整数n的最小值.,审题路线图,规范解答评分标准,解设等比数列an的首项为a1，公比为q. 由题意知2(a32)a2a4，代入a2a3a428， 可得a38，所以a2a420，,又数列an单调递增，所以q2，a12， 所以数列an的通项公式为an2n. 8分,(2)因为bnan an2n 2nn2n， 9分,所以Sn(12222n2n)， 2Sn122223(n1)2nn2n1， 两式相减，得Sn222232nn2n12n12n2n1. 12分 又Snn2n130， 可得2n1230，即2n13225， 14分 所以n15，即n4. 所以使Snn2n130成立的正整数n的最小值为5. 16分,构建答题模板 第一步求通项：根据题目条件，列方程(组)求解，得到数列的通项公式. 第二步求和：根据数列的类型，选择适当方法求出数列的前n项和. 第三步求最值：根据题目条件，建立相应的函数或不等式，通过相应函数最值或不等式求出最值，注意n的取值.,规范演练,(1)求数列an的通项公式；,解设等比数列an的公比q0，,a11，q2, an2n1(nN*).,解答,解答,解bn4n1(n1)， Sn(10)(411)(422)4n1(n1) (141424n1)012(n1),2.已知数列an满足a11，an13an1.,解答,因为当n1时，3n123n1，,证明,解答,3.已知数列an满足a1 ，an1anp3n1nq，nN*，p，qR. (1)若q0，且数列an为等比数列，求p的值；,解若q0，则an1anp3n1. 设等比数列an的公比为r. 若r1，则p0；,此时an1ana1(r1)rn1p3n13n1， 所以p1. 综上所述，p0或p1.,(2)若p1，且a4为数列an的最小项，求q的取值范围. 解若p1，则an1an3n1qn，nN*， 因为a4是数列an的最小项，,此时，a2a11q0，a3a232q0. 记f(n)an1an3n1qn(nN*)， 考虑f(n1)f(n)23n1q，当n4时，f(n1)f(n)f(4)0. 综上，a1a2a3a4，且a4a5a6a7，满足题意.,解答,解答,4.若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”. (1)已知在数列an中，a12，an12an1. 求an的通项公式； 解由an12an1，得an112(an1)， 且a111， 所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列. 所以an12n1， 所以数列an的通项公式为an2n11.,试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论；,解答,解数列an不是“等比源数列”，用反证法证明如下： 假设数列an是“等比源数列”， 则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列. 因为an2n11，所以amanak，,即22n222n112mk22m12k11， 两边同时乘21m，得到22nm12nm12k112km， 即22nm12nm12k12km1， 又mnk，m，n，kN*， 所以2nm11，nm12，k12，km2，,所以22nm12nm12k12km必为偶数，不可能为1. 所以数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列. 综上可得数列an不是“等比源数列”.,证明,(2)已知数列an为等差数列，且a10，anZ(nN*). 求证：an为“等比源数列”.,证明不妨设等差数列an的公差d0. 当d0时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列”. 当d0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0. 为了使an为“等比源数列”， 只需要an中存在第m项，第n项，第k项(mnk)，,即am(nm)d2amam(km)d， 即(nm)2am(nm)dam(km)成立. 当namm，k2amamdm时，上式成立. 所以an中存在am，an，ak成等比数列. 所以数列an为“等比源数列”.,本课结束,
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