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第3讲 运动图象追及相遇问题,【知识导图】,位移,速度,静止,匀速直线,匀速直线,匀变速直线,不小于,最小,初始间距,【微点拨】 1.识图常见错误类型: (1)错误地认为图象就是质点的运动轨迹。 (2)错将图线的交点都当成相遇,而v-t图线的交点表示该时刻速度相同。,(3)错误理解图线斜率的意义,比如认为v-t图象斜率为正,则质点一定做加速运动,斜率为负,则质点一定做减速运动。,2.追及相遇问题: 分两类,一类为一定能追上,直接列位移方程,找位移关系;另一类为可能追上,需根据速度关系判断能否追上。,【慧眼纠错】 (1)位移时间图象如果是曲线,则物体做曲线运动。 纠错:_ _,位移时间图象中的位移只有正负,因此只能,表示正负两个方向的运动,只能是直线运动。,(2)速度时间图象如果是曲线,则物体做曲线运动。 纠错:_ _,速度时间图象中速度只有正负两个方向,因,此只能描述直线运动。,(3)x-t图象围成的面积表示该过程物体的位移。 纠错:_ _,x-t图象围成的面积没有物理意义,v-t图象围,成的面积表示位移。,(4)两物体的v-t图象围成的面积相等,则两物体一定 相遇。 纠错:_ _ _,v-t图象不能反映物体的出发位置,因此围成的,面积相等,只能是位移相等,若出发位置不同,也不会,相遇。,(5)两物体在追及过程中,物体之间的距离总是逐渐减 小的。 纠错:_ _ _,两物体追及过程中,它们之间的距离大小与速度,有关,若被追的物体速度大于追的物体,它们之间的距,离在逐渐变大,反之,它们之间的距离逐渐减小。,考点1运动图象的理解及应用 【典题探究】 【典例1】一质点沿x轴做直线运动, 其v-t图象如图所示。质点在t=0时 位于x=5 m处,开始沿x轴正向运动。 当t=8 s时,质点在x轴上的位置为导学号04450012() A.x=3 mB.x=8 mC.x=9 mD.x=14 m,【解析】选B。图象的“面积”大小等于位移大小,图 象在时间轴上方“面积”表示的位移为正,图象在时 间轴下方“面积”表示的位移为负,故8 s时位移为: s= =3 m,由于质点在t=0时位 于x=5 m处,故当t=8 s时,质点在x轴上的位置为8 m, 故A、C、D错误,B正确。,【通关秘籍】 1.消除对运动学图象的“误会”: (1)无论x-t图象、v-t图象是直线还是曲线,所描述的运动情况都是直线运动,即x-t图象、v-t图象都不是物体运动的轨迹。,(2)x-t图象、v-t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定,图象中各点的坐标值x、v与t一一对应。,2.图象分析标准化程序:,【考点冲关】 1.(多选)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置-时间(x-t)图线。由图可知(),A.在时刻t1,a车追上b车 B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反 C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减小后增加 D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大,【解析】选B、C。在时刻t1,a、b两车的位置坐标相同,开始a的位移大于b的位移,知b追上a,故A错误。在时刻t2,a的位移增大,b的位移减小,知两车运动方向相反,故B正确。图线切线的斜率表示速度,在t1到t2这段时间内,b车图线斜率先减小后增大,则b车的速率先减小后增加,故C正确。在t1到t2这段时间内,b图线的斜率不是一直大于a图线的斜率,所以b车的速率不是一直比a车大,故D错误。,2.如图所示的位移时间(x-t)图象和速度时间 (v-t)图象中给出四条图线,甲、乙、丙、丁代表四 辆车由同一地点向同一方向运动的情况,则下列说法 正确的是 (),A.甲车做直线运动,乙车做曲线运动 B.0t1时间内,甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C.0t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相距最远 D.0t2时间内,丙、丁两车的平均速度相等,【解析】选C。在x-t图象中表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况,而不是物体运动的轨迹。由于甲、乙两车在0t1时间内做单向的直线运动,故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等,A、B均错。在v-t图象中,t2时刻丙、丁两车的速度相等,故两车相距最远,C正确。由图线可知,0t2时间内丙车的位移小于丁车的位移,故丙车的平均速度小于丁车的平均速度,D错误。,【加固训练】 (多选)(2018兴庆模拟)物体在x轴上做直线运动,则上下两图对应关系正确的是(图中F表示物体所受的合外力,a表示物体的加速度,v表示物体的速度,x表示物体的位移,C、D图中曲线为抛物线)(),【解析】选B、D。对于F-t图象可以看出,力F随时间成 线性关系,根据牛顿第二定律得:a= ,所以加速度a也 随时间成线性关系,在前半个周期内F为正值,加速度也 为正值,故A错误。对于a-t图象可以看出前半段时间加 速度恒定,后半段时间加速度反向大小恒定,对于v-t图 象可以看出前半段时间图象是直线,斜率是正值,后半,段时间图象也是直线,斜率是负值,速度时间图象,其斜率代表物体的加速度,故B正确。x-t图象,其斜率代表物体的速度,由x-t图象斜率看出,物体的速度增大,而v-t图象的速度在减小,故C错误。x-t图象,其斜率代表物体的速度,对于x-t图象可以看出整段时间图象的斜率增大,说明物体的速度增大,若速度均匀增大,加速度不变,故D正确。,考点2追及和相遇问题 【典题探究】 【典例2】(多选)(2016全国卷)甲、乙两车在平直 公路上同向行驶,其v-t图象如图所示。已知两车在t= 3 s时并排行驶,则 导学号04450013(),A.在t=1 s时,甲车在乙车后 B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m,【题眼直击】(1)v-t图象。 (2)t=3 s时并排行驶。,【解析】选B、D。据图象可知,t=1 s到t=3 s,甲和乙运动位移都等于40 m,因此在t=1 s时两车另一次并排行驶,A、C错,D对;t=0到t=1 s,乙的位移为12.5 m,甲的位移为5 m,在t=0时,甲车在乙车前7.5 m,B对。故选B、D。,【迁移训练】,迁移1:匀速追匀加速 一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公 共汽车,在跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以 1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,则(),A.人能追上公共汽车,追赶过程中人跑了36 m B.人不能追上公共汽车,人、车最近距离为7 m C.人能追上公共汽车,追上车前人共跑了43 m D.人不能追上公共汽车,且车开动后,人车距离越来越远,【解析】选B。在跑到距汽车25 m处时,绿灯亮了,汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进,当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t=6 s,人运动距离为66 m=36 m,汽车运动距离为18 m,二者最近距离为18 m+25 m-36 m=7 m,A、C错误,B正确;人不能追上公共汽车,且车开动后,人车距离先减小后增大,D错误。,迁移2:多种方法解决匀减速追匀加速 在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。(可用多种方法),【解析】两车不相撞的临界条件是,A车追上B车时其速度与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t;B车的位移为xB、末速度为vB,运动过程如图所示,常见的方法有三种:,(一)分析法利用位移公式、速度公式求解,对A车有 xA=v0t+ (-2a)t2,vA=v0+(-2a)t 对B车有xB= at2,vB=at两车位移关系有x=xA-xB 追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB 联立以上各式解得v0= ,故要使两车不相撞,A车的 初速度v0应满足的条件是v0 。,(二)函数法利用判别式求解,由解法一可知 xA=x+xB,即v0t+ (-2a)t2=x+ at2 整理得3at2-2v0t+2x=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式 =(-2v0)2-43a2x=0时,两车刚好不相撞,所以要 使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0 。,(三)图象法利用v-t图象求解,先作A、B两车的v-t图象,如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vA=v=v0-2at 对B车有vB=v=at,以上两式联立解得t= ,经t时间两车发生的位移之差 为原来两车间距离x,它可用图中的阴影面积表示,由图 象可知x= v0t= v0 ,所以要使两车不 相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0 。 答案:v0,迁移3:与图象结合的追及相遇问题 (多选)入冬以来,全国多地多次发生雾 霾天气,能见度不足20 m,在这样的恶劣 天气中,甲、乙两汽车在一条平直的单 行道上,乙在前、甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示,同时开始刹车。两辆车刹车时的v-t图象如图,则导学号04450014(),A.若两车发生碰撞,开始刹车时两辆车的间距一定小于100 m B.若两车发生碰撞,开始刹车时两辆车的间距一定小于200 m C.若两车发生碰撞,则一定是在刹车后20 s以内的某时刻发生相撞 D.若两车发生碰撞,则一定是在刹车后20 s以后的某时刻发生相撞,【解析】选A、C。由图可知,两车速度相等经历的时间 为20 s,甲车的加速度a1= m/s2=-1 m/s2,乙车的加 速度a2= m/s2=-0.5 m/s2,此时甲车的位移x甲=v甲t+ a1t2=2520 m- 1400 m=300 m,乙车的位移 x乙=v乙t+ a2t2=1520 m- 0.5400 m=200 m, 可知要不相撞,则两车间的最小距离x=300 m-200 m,=100 m,因为两车发生碰撞,则两车的距离小于100 m,故A正确,B错误;因为速度相等后,若不相撞,两者的距离又逐渐增大,可知两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的,故C正确,D错误。,【通关秘籍】 求解追及和相遇问题的两点技巧,【加固训练】 A、B两车在同一直线上运动,A在后,B在前。当它们相距x0=8 m时,A在水平拉力和摩擦力的作用下,正以vA=8 m/s的速度向右做匀速运动,而物体B此时速度vB=10 m/s向右,它在摩擦力作用下以a=-2 m/s2做匀减速运动,求:,(1)A未追上B之前,两车的最远距离为多少? (2)经过多长时间A追上B? (3)若vA=3 m/s,其他条件不变,求经过多长时间A追上B?,【解析】(1)设时间t1时两车速度相同,此时相距最远, 则有vA=vB+at1 代入数据解得t1=1 s 两车最远距离x=xB+x0-xA=vBt1+ at12+x0-vAt1= 101 m- 21 m+8 m-81 m=9 m。,(2)设A追上B时为t2 由vAt2=vBt2+ at22+x0 代入数据解得t2=4 s,B速度减为零的时间t0= s= 5 s,可知此时B还未停止。,(3)B匀减速到停止的时间为:t0= s=5 s。 在5秒内A运动的位移:xA=vAt0=35 m=15 m 在5秒内B运动的位移:xB=vBt0+ at02=105 m- 252 m=25 m 因为:xAxB+x0,即:B停止运动时,A还没有追上B。,A追上B的时间为: t3=t0+ 答案:(1)9 m(2)4 s(3)11 s,匀变速直线运动规律的综合应用 【经典案例】 (20分)(2018沧州模拟)现有A、B两列火车在同一轨道上同向行驶,A车在前,其速度vA=10 m/s,B车速度vB=30 m/s。因大雾能见度低,B车在距A车600 m时才发现A车,此时B车立即刹车,但B车要减速1 800 m才能够停止。,(1)求B车刹车后减速运动的加速度多大? (2)A车若仍按原速度前进,两车是否会相撞?若会相撞,将在何时何地发生? (3)若B车刹车8 s后,A车以加速度a1=0.5 m/s2加速前进,问能否避免事故?若能够避免,则两车最近时相距多远?,【思维轨迹】,【规范解答】 解:(1)设B车减速运动的加速度大小为a,有: 0-vB2=-2ax1, (2分) 代入数据解得:a=0.25 m/s2。 (1分) (2)设B车减速t秒时两车的速度相同,有:vB-at=vA (2分),解得t=80 s 在此过程中B车前进的位移为 xB=vBt- at2=1 600 m(1分),A前进位移为xA=vAt=800 m(1分) 由于800 m+600 m1 600 m,故两车会相撞 (2分) 设相撞时间为t0,则根据vBt0- at02=600 m+vAt0 (2分) 解得t0=40 s 此时A位移为xA=vAt0=400 m。(2分),(3)设B车减速t秒时两车的速度相同, 有:vB-at=vA+a1(t-t),(2分) 代入数值解得:t=32 s, 在此过程中B车前进的位移为xB=vBt- at2 (1分) 代入数据解得:xB=832 m,A车前进的位移为 xA=vAt+vA(t-t)+ a1(t-t)2,(2分) 代入数据解得:xA=464 m, 因xA+xxB,故不会发生撞车事故,此时 x=xA+x-xB=232 m。(2分),【答题规则】 规则1:把复杂问题拆解为简单问题,分步处理 本题研究对象有A、B两车,可以分别研究运动过程。 规则2:根据实际情况确定研究对象和研究过程之间的联系 在追及相遇问题中,速度关系是寻找碰与不碰的重要条件,若相遇则位移关系是核心关系。,规则3:计算后要根据实际情况进行物理过程的判断 部分问题根据数学计算可以得到结论,但有的数学解无物理意义,则需要舍掉。,
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