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初中数学（北师大版） 八年级 上册,第一章勾股定理,知识点一勾股定理的逆定理及其简单应用,2一定是直角三角形吗,例1已知ABC的三边长分别为a,b,c,有下列各组条件,判断ABC的形状. (1)a=41,b=40,c=9; (2)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(mn0).,2一定是直角三角形吗,解析(1)b2+c2=402+92=1 681,而a2=412=1 681, a2=b2+c2, ABC是直角三角形,且A是直角. (2)mn0,m2+n22mn,m2+n2m2-n2, 而a2+c2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =(m2+n2)2=b2, ABC是直角三角形,且B是直角.,2一定是直角三角形吗,知识点二勾股数,2一定是直角三角形吗,例2下列几组数中,是勾股数的有() 0.6,0.8,1;32,42,52;6,8,10;,. A.1组B.2组C.3组D.4组,解析中的数不是整数;中,(32)2+(42)2(52)2;中,6,8,10刚好是勾股数3,4,5的2倍.故只有是一组勾股数.,答案A,2一定是直角三角形吗,题型一利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 例1已知三角形的三边长a,b,c满足关系式(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0,试判断此三角形的形状.,解析因为(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0, 所以(a-5)2+|b-12|+(c-13)2=0. 根据非负数的性质可得(a-5)2=0,|b-12|=0,(c-13)2=0. 所以a=5,b=12,c=13. 又因为a2+b2=52+122=169=132=c2, 所以此三角形是以c为斜边长的直角三角形.,点拨先根据非负数的性质求出a、b、c的值,再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状.,2一定是直角三角形吗,2一定是直角三角形吗,解析连接AC.因为ABC=90, 所以ABC是直角三角形. 在RtABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2, 即AC2=4002+3002,所以AC=500 m. 在ACD中,AC2+CD2=5002+1 2002=1 3002=AD2, 所以ACD是直角三角形. 所以S四边形ABCD=SABC+SACD=300400+5001 200=360 000(m2). 因此种植的草皮的面积为360 000 m2.,2一定是直角三角形吗,易错点勾股定理逆定理的运用 例若ABC的三边长为a,b,c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则ABC是 () A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形,解析由题意得a-b=0或a2+b2-c2=0,故a=b或a2+b2=c2.即ABC是等腰三角形或直角三角形.,答案D,易错警示注意对“或”的理解.,2一定是直角三角形吗,知识点一勾股定理的逆定理及其简单应用 1.已知ABC的三边长分别为5,12,13,则ABC的面积为() A.30B.60 C.78D.无法确定,答案A52+122=132,ABC是直角三角形,两直角边长分别为5和12,SABC=512=30.,2一定是直角三角形吗,2.(2017广西防城港期中)ABC中,如果三边满足关系BC2=AB2+AC2,则ABC的直角是() A.CB.A C.BD.不能确定,答案BBC2=AB2+AC2, ABC是直角三角形,BC是斜边,A=90. 故选B.,2一定是直角三角形吗,3.(2017天津红桥期中)如图1-2-1,四边形ABCD中,AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm,DA=13 cm,且ABC=90,则四边形ABCD的面积为() 图1-2-1 A.6 cm2B.30 cm2C.24 cm2D.36 cm2,2一定是直角三角形吗,2一定是直角三角形吗,知识点二勾股数 4.下列四组数:(1)0.6,0.8,1;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6,其中是勾股数的组数为() A.1B.2C.3D.4,答案B(1)中0.6,0.8不是整数;(2)中52+122=132;(3)中82+152=172;(4)中42+5262.故有2组勾股数.,2一定是直角三角形吗,5.能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,观察下面的几组勾股数: 由勾股数3、4、5有32=9=4+5=212+5; 由勾股数5、12、13有52=25=12+13=223+13; 由勾股数7、24、25有72=49=24+25=234+25; 由勾股数9、40、41有92=81=40+41=245+41. 可以发现,在一组勾股数中,当最小的数为奇数时,它的平方恰好等于另外两数之和,用关于n的代数式表示第n组的勾股数应为、.,2一定是直角三角形吗,答案2n+1;2n(n+1);2n2+2n+1,解析题中4个式子中的第1个数分别有如下的特点:3=21+1,5=22+1,7=23+1,9=24+1.这几个式子中,等号右边的第2个数1、2、3、4分别为相应的勾股数的组序号,由此可以知道第n组的最小数为2n+1.题中各式右边加号前后的数分别为相应勾股数的第2个数和第3个数,观察规律可以知道,各勾股数的最小数的平方恰好等于另外两个数之和.因此,设第n组的最小数为2n+1,第2个数为2n(n+1),即2n(n+1).由于最小数的平方恰好等于另外两个数之和,所以第3个数为(2n+1)2-2n(n+1) =2n2+2n+1.,2一定是直角三角形吗,1.下列长度的线段中,能构成直角三角形的是() A.4,5,6B.1,1,2C.6,8,10D.5,20,23,答案C因为42+5262,12+1222,62+82=102,52+202232,所以长度为6,8,10的线段能构成直角三角形.,2一定是直角三角形吗,2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是(),答案CC选项中,满足152+202=252,72+242=252, 有两个直角三角形.,2一定是直角三角形吗,3.如果a,b,c是一组勾股数,且a,b,c没有大于1的公因数,那么我们称这一组勾股数为基础勾股数,如:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41都是基础勾股数.观察这些基础勾股数,你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点?勾、股、弦三者的积有何特点?写出你发现的结果.,解析勾与股必为一奇一偶,勾与股的积能被4整除,勾、股、弦三者的积能被60整除.,2一定是直角三角形吗,1.(2017安徽滁州全椒期中)已知ABC中,a、b、c分别为A、B、 C的对边,则下列条件:a=4,b=7,c=8;a2b2c2=132;A BC=345;A=2B=2C.其中能判断ABC是直角三角形的有() A.1个B.2个C.3个D.4个,2一定是直角三角形吗,答案Ca2+b2=,c2=,a2+b2=c2,此三角形 是直角三角形; a2b2c2=132,设a2=x(x0),则b2=3x,c2=2x,x+2x=3x,a2+ c2=b2,此三角形是直角三角形;ABC=345,设A=3x,则B=4x,C=5x,A+B+C=180,3x+4x+5x=180,解得x=15,A=45,B=60,C=75,此三角形不是直角三角形; A=2B=2C,设B=C=x,则A=2x,x+x+2x=180,解得x=45,A=2x=90,此三角形是直角三角形.故选C.,2一定是直角三角形吗,2.设一个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边上的高为h,斜边长为c,则以c+h,a+b,h为边长的三角形是() A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不能确定,答案A利用等面积法可确定ab=ch,则(a+b)2+h2=a2+2ab+b2+h2=c2+ 2ch+h2=(c+h)2,所以以c+h,a+b,h为边长的三角形是直角三角形,故选A.,2一定是直角三角形吗,3.阅读以下解题过程: 已知a,b,c为ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状. 错解:a2c2-b2c2=a4-b4, c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2), c2=a2+b2. ABC为直角三角形. (1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号; (2)错误的原因是; (3)本题正确的结论是.,2一定是直角三角形吗,答案(1)(2)不能确定a2-b2是否为0(3)等腰三角形或直角三角形,解析c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),由c2(a2-b2)-(a2-b2)(a2+b2)=0得到(a2-b2)c2-(a2+b2)=0,a2-b2=0或c2-(a2+b2)=0,即a=b或a2+b2=c2,三角形ABC为等腰三角形或直角三角形,故从第步开始错误,其原因是不能确定a2- b2是否为0.,2一定是直角三角形吗,如图,某工厂C前面有一条笔直的公路,原来有两条路AC,BC可以从工厂C到达公路,经测量AC=600 m,BC=800 m,AB=1 000 m,现需要修建一条路,使工厂C到公路的路最短,请你帮工厂C的负责人设计一种方案,并求出新建的路的长.,2一定是直角三角形吗,2一定是直角三角形吗,一、选择题 1.(2017广东深圳展华实验学校期中,4,)下列各组数中,是勾股数的是() A.12,8,5B.30,40,50 C.9,13,15D.,答案B52+82122,选项A不符合题意;302+402=502,选项B符合题意;92+132152,选项C不符合题意;D中各数不是正整数,选项D不符合题意.故选B.,2一定是直角三角形吗,二、解答题 2.(2017广东深圳锦华实验学校月考,21,)如图1-2-2,若小方格的边长为1,请你根据所学的知识: (1)求ABC的面积; (2)判断ABC是什么形状,并说明理由. 图1-2-2,2一定是直角三角形吗,解析(1)ABC的面积=48-18-23-64=13.故ABC的面积为13. (2)小方格的边长为1, AC2=12+82=65,AB2=32+22=13,BC2=62+42=52. 在ABC中,AB2+BC2=13+52=65,AC2=65, AB2+BC2=AC2, ABC是直角三角形.,2一定是直角三角形吗,1.(2017湖北孝感云梦期中,6,)下列几组数:6,8,10;7,24,25;9,12,15;n2-1,2n,n2+1(n是大于1的正整数),其中是勾股数的有() A.1组B.2组C.3组D.4组,答案D62+82=100=102,6、8、10是勾股数;72+242=252, 7,24,25是勾股数;92+122=152,9,12,15是勾股数;(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,n2-1,2n,n2+1(n是大于1的正整数)是勾股数.故选D.,2一定是直角三角形吗,2.(2017江苏苏州吴江期中,14,)三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是.,答案直角三角形,解析化简(a+b)2=c2+2ab,得a2+b2=c2,所以该三角形是直角三角形.,2一定是直角三角形吗,选择题 1.(2016四川雅安中考,1,)若三角形的三边长为下列各组数:5, 12,13;11,12,15;9,40,41;15,20,25,则其中直角三角形有() A.1个B.2个C.3个D.4个,答案C52+122=132,112+122152,92+402=412,152+202=252,符合题意.,2一定是直角三角形吗,2.(2015广西桂林中考,8,)下列各组线段能构成直角三角形的一组是() A.30,40,50B.7,12,13 C.5,9,12D.3,4,6,答案AA.302+402=502,该组线段能构成直角三角形,故正确;B. 72+122132,该组线段不能构成直角三角形,故错误;C.52+92122, 该组线段不能构成直角三角形,故错误;D.32+4262,该组线段不能构成直角三角形,故错误.故选A.,2一定是直角三角形吗,(2013内蒙古包头中考改编,20,)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,ABECBE.若AE=1,BE=2,CE=3,则BEC=度.,2一定是直角三角形吗,解析连接EE, ABECBE,AE=CE,BE=BE,ABE=CBE, EBE是直角,EBE是直角三角形,BEE=BEE=45,AE=1,BE=2,BE=2,EC=1.EE2=22+22=8,CE=1,EC=3,EC2=EC2+EE2, EEC是直角三角形,EEC=90,BEC=135.,答案135,2一定是直角三角形吗,王老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表:,(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含自然数n(n1)的代数式表示a、b、c; (2)猜想:以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形?请证明你的猜想.,2一定是直角三角形吗,解析(1)由题表可以得出: n=2时,a=22-1,b=22,c=22+1; n=3时,a=32-1,b=23,c=32+1; n=4时,a=42-1,b=24,c=42+1; a=n2-1,b=2n,c=n2+1. (2)以a、b、c为边长的三角形是直角三角形. 证明:a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4+2n2+1, c2=(n2+1)2=n4+2n2+1, a2+b2=c2, 以a、b、c为边长的三角形是直角三角形.,2一定是直角三角形吗,(2013贵州贵阳中考改编)在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2时,ABC是直角三角形;当a2+b2c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究ABC的形状(按角分类). (1)当ABC的三边长分别为6,8,9时,ABC为三角形;当 ABC的三边长分别为6,8,11时,ABC为三角形; (2)猜想:当a2+b2c2时,ABC为锐角三角形;当a2+b2c2时, ABC为钝角三角形; (3)判断当a=2,b=4时ABC的形状,并求出对应的c2的取值范围.,2一定是直角三角形吗,解析(1)锐角;钝角. (2);c2,则c220,当20c236时,ABC为钝角三角形.,2一定是直角三角形吗,
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