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第1节两个基本计数原理,考试要求了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.,知 识 梳 理,1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N_种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法.,mn,mn,3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 微点提醒 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. 1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类. 2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.() (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.() (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.() (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.() 解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确. 答案(1)(2)(3)(4),2.(选修23P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(),A.24种 B.30种 C.36种 D.48种,解析需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有432248(种). 答案D,3.(选修23P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架中任取1本书，则不同取法的种数为_. 解析从书架上任取1本书，有三类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是Nm1m2m34329. 答案9,4.(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(),A.24 B.18 C.12 D.9 解析分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径.故选B. 答案B,5.(2019杭州模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A.10种 B.25种 C.52种 D.24种 解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步. 由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法. 答案D,解析因为焦点在x轴上，mn，以m的值为标准分类，分为四类：第一类：m5时，使mn，n有4种选择；第二类：m4时，使mn，n有3种选择；第三类：m3时，使mn，n有2种选择；第四类：m2时，使mn，n有1种选择.由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个. 答案10,考点一分类加法计数原理的应用 【例1】 (1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有_种不同的方法. (2)满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_.,解析(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有82212(种)方法.,(2)当a0时，b的值可以是1，0，1，2，故(a，b)的个数为4； 当a0时，要使方程ax22xb0有实数解，需使44ab0，即ab1. 若a1，则b的值可以是1，0，1，2，(a，b)的个数为4； 若a1，则b的值可以是1，0，1，(a，b)的个数为3； 若a2，则b的值可以是1，0，(a，b)的个数为2. 由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为443213. 答案(1)12(2)13,规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a0这一类.,【训练1】 (1)从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为() A.6 B.5C.3 D.2 (2)从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A.3 B.4 C.6 D.8,解析(1)5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法. (2)以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9； 以2为首项的等比数列为2，4，8； 以4为首项的等比数列为4，6，9； 把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列， 所求的数列共有2(211)8(个). 答案(1)B(2)D,考点二分步乘法计数原理的应用 【例2】 (1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为_. (2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种.,解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为554100. (2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性. 答案(1)100(2)4554,规律方法1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.,【训练2】 已知a1，2，3，b4，5，6，7，则方程(xa)2(yb)24可表示不同的圆的个数为() A.7 B.9 C.12 D.16 解析得到圆的方程分两步：第一步：确定a有3种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3412(个). 答案C,考点三两个计数原理的综合应用 【例3】 (1)(2017天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答). (2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是() A.48 B.18 C.24 D.36,(2)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”. 答案(1)1 080(2)D,规律方法1.在综合应用两个原理解决问题时应注意： (1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化. 2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.,【训练3】 (1)(2019衡水调研)用0，1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A.243 B.252 C.261 D.279,(2)(一题多解)(2019青岛质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(),A.72种 B.48种 C.24种 D.12种 (3)如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答).,解析(1)0，1，2，9共能组成91010900(个)三位数， 其中无重复数字的三位数有998648(个)， 有重复数字的三位数有900648252(个). (2)法一首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有432372种涂法. 法二按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有432124(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有2424272(种).,(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个). 第二类，有两条公共边的三角形共有8个. 由分类加法计数原理知，共有32840(个). 答案(1)B(2)A(3)40,思维升华 1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步. 在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏. 2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数. 3.混合问题一般是先分类再分步.,4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 易错防范 1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步. 3.确定题目中是否有特殊条件限制.,
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