《误差理论与数据处理》答案

误差理论与数据处理第一章绪论1-1研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。答：研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。1-2试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化)；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。1-3试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定15测得某三角块的三个角度之和为180。0002”，试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：180o0002-180o，2相对误差等于：22218001806060648000-030003086410.000031%1-6.在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm,已知其最大绝对误差为1um,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值一真值，即：L=LLo已知：L=50,L=1um=0.001mm,测件的真实长度L=LAL=500.001=49.999(mm)1-7.用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa,该压力用更准确的办法测得为100.5Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的误差=测得值实际值,即：100.2100.5=0.3(Pa)1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m,其最大绝对误差为20m，试求其最大相对误差。相对误差max=绝加4100%=20410-6x100%2.31=8.66x10-4%1- 9、解：g=4,241.04230=9.81053m/s22.04804,2（4+停进行全微分,令h=h+h，并令g,h,12T代替dg,dh,dT得:h2T的最大相对误差为:ggAh2T=max2maxhTA.0.000052x-0.00051.0423042.0480=5.3625x10-4%从而gmaxg3#由g=呼U，得T=443141592xL。4220=2.047909.81053由g=h2Tmaxmax2maxghT，有TmaxABST(hmax2hmaxgTn),ABSc(g2hminhgmax)g#1-10检定&级（即引用误差为2.5%）的全量程为為V的电压表,发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是吿合格？最大引用误差=某量程最大示值误差4100%测量范围上限=侖x100%=2%2.5%该电压表合格1-11为什么在使用微安表等各种表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差:xxmaxmS%AA00即:s%max所以当真值一定的情况下，所选用的仪表的量程越小，相对误差越小，测量越准确。因此我们选择的量程应靠近真值，所以在测量时应尽量使指针靠近满度范围的三分之二以上1-12用两种方法分别测量Ll=50mm,L2=80mm。测得值各为50.004mm,80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。相对误差50.00450jL1:50mmL2:80mmX100%0.008%1 5080.00680X100%0.0075%2 80II12所以L2=80mm方法测量精度高。113多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm,优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？解：多级火箭的相对误差为：00.000010.001%10000射手的相对误差为：1cm0.01m0.00020.02%50m50m多级火箭的射击精度高。1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm,其测量误差分别为11m和9m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为12m,试比较三种测量方法精度的高低。相对误差1 11m0.01%1110mm9m0.0082%2 110mm12m0.008%3 150mmIII第三种方法的测量精度最高321第二章误差的基本性质与处理2-1试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义。答：从几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从N维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为N条线段的平均长度；52-2试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义及实际用途有何不同。2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率2-4.测量某物体重量共8次，测的数据(单位为g)为236.45,236.37,236.51,236.34,236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。0.05(0.03)0.11(0.06)(0.01)0.080.070x，236.4，236.43o,D2肯，0.0599n一1#oG-，0.0212xn2-5用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4,并比较2-6测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40,168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。-168.41168.54168.59168.40168.50x，5，168.488(mA)5v2ii，1，0.082(mA)51o,电，082,0.037(mA)xn5或然误差：R，0.6745o一，0.67450.037，0.025(mA)x平均误差：T，0.7979o一，0.79790.037，0.030(mA)x2- 7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据(单位为mm)为20.0015,20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定-20.001520.001620.001820.001520.0011测量结果。x，20.0015(mm)，0.00025正态分布p=99%时,t2.585to_limxx2.580.000257#0.0003(mm)测量结果：Xx+5(20.00150.0003)mmlimx27在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015,20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值ix一41一20.0015mmn求单次测量的标准差i.2610-8cuu“，一：i一一2.5510-4mmn-1计4求算术平均值的标准差，2.55x10-4,_=1.14x10-4mmxn5确定测量的极限误差因n=5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。现自由度为：v=n1=4；a=10.99=0.01,查t分布表有：ta=4.60极限误差为5xtq_=4.601.1410-45.2410-4mmlimax写出最后测量结果0.00155.2410-4#2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差,.04mm，若要求测量结果的置信限为士.05mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。正态分布p=99%时，t2.585_tlimxJn2.580.0040.0052.064#n4.26取n5#210用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差。=0.001mm，若要求测量的允许极限误差为0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有o土to_，土t0.0015xn根据题目给定得已知条件，有t0.0015n_0.001查教材附录表3有若n=5,v=4.a=0.05.有t=2.78,2.782.782.236，1.24若n=4,v=3,a=0.05.有t=3.18,3.183.18，1.59#即要达题意要求,必须至少测量5次。2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其权各为1,3,5,7,8,64,2,试求加权算术平均值及其标准差。PX.，102028.34(Pa)IIX，4HPi1=18Pv2ixio_，xi，186.95(Pa)(81)pii=12-13测量某角度共两次，测得值为a1，241336,a2，241324，其标准差分别为o，3.1,o，13.812,试求加权算术平均值及其标准差。1，19044:961o2219044x16+961x41P:P二12o21x，241320+，24133519044+961p19044pi=3.1,3.0xx.19044+961ip.=12-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角a各重复测量5次，测得值如下:a:7220,730,7235,7220,7215;甲a:7225,7。225,7。220,7。250,7。245;乙试求其测量结果。甲：X甲=72+20+60+35+20+15=7230甲)2+(02+52+(T)2+(-15)2甲5-1=18.4一甲=型=8.23x甲,/55乙乙：25+25+20+50+45=7233二13.5-=c乙=竺=6.04x乙55卩甲:役=3648:67738.2326.042(-+()2+(13)2+(1+(12)29#3648+6773p-=c甲xx甲p+p甲乙3648=8.23X3648+6773=4.87-px甲+px乙3648x30+6773x33x=甲乙=+72=7232P中+P.甲乙#X=x土3-=723215x2-15.试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。证明：解：因为n个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差：n个测量值算术平均值的标准偏差为：=已知权与方差成反比，设单次测量的权为Pl，算术平均值的权为P2,则11P:P:1：nn12G2G2xPnP212-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为0.014m/s2。另外30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为0.022m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。1111G2G20.014120.0221x12x220,30丿p:p12242:1472#242+147X242x9811+147x9.802u9.808(m/s2)u0.0025(m/s2)0.014242G_XX20242+1472-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.614.9,14.8,15.1,15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。X14.96按贝塞尔公式G0.26331按别捷尔斯法G1.253x2习vi=1u0.264210(10-1)#G得u=210.0034G1uT所以两组间存在系差2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.815.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。xI96按贝塞尔公式10.2633按别捷尔斯法21.253310(10-1)O2642u210.00340.67n1所以测量列中无系差存在。2-20对某量进行12次测量,测的数据为20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19,试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。解：(1)残余误差校核法X=20.125=(-0.065-0.055-0.065-0.045-0.025-0.005)-(-0.015+0.015+0.055+0.055+0.085+0.065)=-0.54因灵.显著不为0,存在系统误差。残余误差观察法残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系统误差。,v2(3)=i二i=0.05i11县v=1.253i二i=0.062n(n-1).2=1U1u=2一1=0.191u=0.603n一1所以不存在系统误差。2-22熏朝時准则汁第钾3=3灿启27=0(嘲1抿酣董规牯砸则.第丨4次测応偵的殛余溟養|V|4|=0Ioj：新襄它苕有痕尢保墨，故钩它鸚除.再槪味叙卜的M牛测塚11斫.Hi=0.05.杳親那，席J41划筍3804也阴阿）=番拒氓14佥洲址他小含術fil丈溟睪隔B1盘洼命it討不啞自翟对xCI閃谱行制側吋：只健则障亍第三章误差的合成与分配3- 1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸为1140mm，112mm21二1.25mm311.005mm4。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为A11，0.7呵,“2+0.5呵Al3-03pm13#0.20pmAl+0.1pm,10.35pm,1=0.25pm,1=0.20pm,14lim1lim2lim3lim4。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。修正值=一(A1+A1+A1+A1)1234=(0.7+0.50.3+0.1)=0.4(pm)测量误差：=2+82+82+821hm11hm12hm13lim14=(0.35)2+(0.25)2+(0.20)2+(0.20)2=0.51(pm)3-2为求长方体体积V，直接测量其各边长为a16l.6mm,#Ab，0.8mmb44.5mm,c11.2mm,已知测量的系统误差为血l2mmAc5mm，测量的极限误差为0.8mm，0.5mmb0.5mm试求立方体的体积及其体积的极限误差。#VabcVf(a,b,c)Vabc161.644.511.2080541.44(mm3)体积V系统误差AV为：AVbeAa+acAb+abAc2745.744(mm3)沁2745.74(mm3)立方体体积实际大小为：VV，AV77795.70(mm3)0(苗)22+(曲)22+(苗)22iimvQaadbbdee(be)22+(ac)22+(ab)22abe3729.11(mm3)测量体积最后结果表示为:VVAV+(77795.703729.11)mm30limV33长方体的边长分别为a1，a2,a3测量时：标准差均为。；标准差各为。2。3。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为：Va-a-a123体积的标准差应为：GV(dVda1dVdV)2G2+()2G2+()2G21da2da323dVdVdV现可求出：aa-a-a；a-ada23da13da12123若：QQQQ123则有VVVVVVG,()2G2+()2G2+()2G2=G()2+()2+()2a1a2a3aaa123123=g(aa)2+(aa)2+(aa)2231312若：GGG123则有：g，(aa)2g2+(aa)2g2+(aa)2g2231132123P，UI，12.622.5，283.5(mw)3-4测量某电路的电流1=22-5mA,电压U=126V,测量的标准差分别为G/，0.5曲Gu=.1V，求所耗功率P，UI及其标准差GPP，f(U,I)U、I成线性关系/.p，1UIffffG，(J)2G2+(J)2G2+2(丿)(J)GGPUUIIUIuI，-g+敗g，Ig+Ug，22.50.1+12.60.5UuIiui，8.55(mw)3-9.测量某电路电阻R两端的电压U,按式I=U/R计算出电路电流，若需保证电流的误差为0.04A,试求电阻R和电压U的测量误差为多少？解：在I=U/R式中，电流I与电压U是线性关系，若需要保证电流误差不大于0.04A，则要保证电压的误差也不大于0.04xRo312按公式V=nr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm,h约为20cm，要使体积的相对误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？解：若不考虑测量误差，圆柱体积为V，n-r2-h，3.142220，251.2cm3根据题意，体积测量的相对误差为1%，即测定体积的相对误差为：G，1%V即g，V-1%，251.21%，2.51现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应为：G12.511G，0.007cmr2V/r1.412nhr测定h的误差应为：G12.511G，0.142cmh2V/h1.41n-r2153-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6,429.2,426.5,430.8。已知测量的已定系统误差，=一2.6g测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布,试求该质量的最可信赖值及其极限误差。序号极限误差/g误差传递系数随机误差未定系统误差12.1一12一1.513一1.014一0.5154.5一16一2.21.471.0一2.28一1.81428.6+429.2+426.5+430.8X=4=428.775(g)428.8(g)最可信赖值x=X一,=428.8+2.6=431.4(g)8=xi=1i21e2+i4i282ii=14.9(g)测量结果表示为:X=X-A+8=(431.44.9)gx第四章测量不确定度41某圆球的半径为r,若重复10次测量得r。=(3.1320.005)cm，试求该圆球最r大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D=2兀r其标准不确定度应为：加12”2=dr丿r(2兀”2=4x3.141592x0.0052r=0.0314cm确定包含因子。查t分布表1001(9)=3.25,及K=3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：17U=Ku=3.25X0.0314=0.102求圆球的体积的测量不确定度4圆球体积为：V=3,r3其标准不确定度应为：aVYc2=(4,r2)Q2=163.1415923.13240.0052=0.616(Qr丿rr确定包含因子。查t分布表1001(9)=3.25,及K=3.25最后确定的圆球的体积的测量不确定度为U=Ku=3.25X0.616=2.0024-2.望远镜的放大率D=fl/f2，已测得物镜主焦距flol=(19.80.10)cm,目镜的主焦距f2o2二(0.8000.005)cm,求放大率测量中由fl、f2引起的不确定度分量和放大率D的标准不确定度。4-3.测量某电路电阻R两端的电压U,由公式I=U/R计算出电路电流I,若测得Uou=(16.500.05)V,RoR=(4.260.02)Q、相关系数PUR=-0.36，试求电流I的标准不确定度。4-4某校准证书说明，标称值10O的标准电阻器的电阻R在20C时为10.0007420土129卩。(P=99%),求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。-由校准证书说明给定属于B类评定的不确定度.R在10.000742O-129卩。,10.000742+129卩。范围内概率为99%，不为100%不属于均匀分布,属于正态分布a=129当p=99%时，K=2.58pU1292.584- 5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而l=40mml=10mml=2.5mmf成,其尺寸分别是：1,2,3,量块按“级”使用,经查手册得其研合误差分别不超过0.45呵、0.3呵、.25呵(取置信概率P=99.73%的正态分布)，求该量块组引起的测量不确定度。L二52.5mml=40mm119l10mml2.5mm23l1l3l10.450.25l2p99.73%0.15m).U0.08(pm)l30.300.10(pm)0.20(pm)第五章线性参数的最小二乘法处理3x+y2.95-1测量方程为x-2y0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为2x-3y1.9v2.9-(3x+y)1v0.9-(x-2y)2v1.9-(2x-3y)3工aax+aayi1i1i1i2=Xa/i1i列正规方程(总g乙aax+乙aayi2i1i2i2i1=Xa/i2i代入数据得i1i1i1#14x-5y13.4x0.962-5x+14y-4.6解得y=0.015v2.9-(3x0.962+0.015)=-0.0011将x、y代入误差方程式v20.9(0.9622x0.015)-.032V1.9-(2x0.962-3x0.015)=0.0213#测量数据的标准差为工V2i10.0383-2工V21n-1#求解不定乘数d11d21d12d2214d-5d=111125d+14d=0111214d5d=021225d+14d=12122解得d=d=0.0821122X、y的精度分别为x=cdii=0.01G=Gdy22=0.015-7不等精度测量的方程组如下：x3y=5.6,p=1i4x+y=8.1,p=222xy=0.5,p=33试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。v=5.6(x3y),p=111列误差方程5v=8.1(4x+y),p=222v=0.5(2xy),p=333正规方程为工paax+工paay工pal1111ii1i1ii1i2ii1ii=1i=1i=1工paax+工paay=工ii2订i=1i=1+工paay=乙palii2i2ii2ii=1i=1代入数据得45xy=62.2x+14y=31.5解得x=1.434y=2.352将x、yv=0.0221代入误差方程可得5v=0.0122v=0.0163工pv2ii则测量数据单位权标准差为G=0.03932求解不定乘数d11d21d12d2245dd=11112d+14d=0111245dd=02122d+14d=1212221解得d=0.02211d=0.07222x、y的精度分别为=d=0.006d=0.010x11y22#第六章回归分析6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下：正应力x/Pa26.825.428.923.627.723.9抗剪强度y/Pa26.527.324.227.123.625.9正应力x/Pa24.728.126.927.422.625.6抗剪强度y/Pa26.322.521.721.425.824.9假设正应力的数值是正确的，求（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。（2）当正应力为24.5Pa时，抗剪强度的估计值是多少?1）设一元线形回归方程y=bbxN二120rib二ll二43.047l=29.533xxxxxyb=y一bx0x=311.6=25.9712b=I=一29.533=0.69y=297.2=24.77l43.04712xxb=24.77(0.69)x25.97=42.690y=42.690.69x2)当X=24.5Pay=42.690.6924.5=25.79(Pa)6-10用直线检验法验证下列数据可以用曲线y=abx表示。x30354045505560y-0.4786-2.188-11.22-45.71-208.9-870.9-3802y=abxnlog(y)=log(a)Z二log(-y)取点做下表603.58z2304050Z1-0.321.052.32以Z1与Z2画图23#所得到图形为一条直线，故选用函数类型y二abx合适#