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6.1平面向量的概念及线性运算,第六章 平面向量、复数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 . (2)零向量：长度为 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 的向量. (4)平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向 的向量. (6)相反向量：长度相等且方向 的向量.,ZHISHISHULI,方向,模,0,1个单位,相反,相同,相反,2.向量的线性运算,ba,a(bc),|a|,相同,相反,0,()a,aa,ab,3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得 .,ba,1.若b与a共线，则存在实数使得ba，对吗？,【概念方法微思考】,提示不对，因为当a0，b0时，不存在满足ba.,2.如何理解数乘向量？,提示a的大小为|a|a|，方向要分类讨论：当0时，a与a同方向；当0时，a与a反方向；当0或a为零向量时，a为零向量，方向不确定.,3.如何理解共线向量定理？,提示如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使得ab.,基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.() (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.() (3)若ab，bc，则ac.(),(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.() (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.(),题组二教材改编,ba,1,2,3,4,5,6,ab,1,2,3,4,5,6,矩形,由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形.,1,2,3,4,5,6,题组三易错自纠 4.对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析若ab0，则ab，所以ab. 若ab，则ab0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件.,1,2,3,4,5,6,5.设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.,解析向量a，b不平行，a2b0， 又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，,1,2,3,4,5,6,2,题型分类深度剖析,PART TWO,题型一平面向量的概念,自主演练,1.给出下列命题： 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；,ab的充要条件是|a|b|且ab； 已知，为实数，若ab，则a与b共线. 其中真命题的序号是_.,解析错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；,错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件； 错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线.故填.,2.判断下列四个命题： 若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4,解析只有正确.,向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.,题型二平面向量的线性运算,多维探究,命题点1向量加、减法的几何意义,由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形 OACB为菱形，且CAO60， 故ABC的内角A等于30，故选A.,命题点2向量的线性运算,故选C.,解析作出示意图如图所示.,故选A.,命题点3根据向量线性运算求参数,点E在线段CD上，,平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.,2,题型三共线定理的应用,师生共研,又它们有公共点B，A，B，D三点共线.,(2)试确定实数k，使kab和akb共线.,解假设kab与akb共线， 则存在实数，使kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又a，b是两个不共线的非零向量， kk10. 消去，得k210，k1.,即4a(m3)b(ab).,故当m7时，A，B，D三点共线.,解因为kab与akb反向共线， 所以存在实数，使kab(akb)(0).,又0，k，所以k1. 故当k1时两向量反向共线,2.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？,(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. (2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.,证明(1)若mn1，,(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.,O，A，B不共线，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即(1)210，解得1或2.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因此A，B，D三点共线，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得AOCCODBOD60， 且OAC和OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形， 所以四边形OACD为菱形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析注意到N，P，B三点共线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以ABC是边长为2的正三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,直角三角形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,解析因为M，N，P三点共线，,所以2e13e2k(e16e2)， 又e1，e2为平面内两个不共线的向量，,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解取AC的中点D，连接OD，,O是AC边上的中线BD的中点， SABC2SOAC， ABC与AOC面积之比为21.,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由D，O，C三点共线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又a，b不共线，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又知A，B，D三点共线，,所以1，故选B.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设BC的中点为M，,P，M，A三点共线， 且P是AM上靠近A点的一个三等分点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.设W是由一平面内的n(n3)个向量组成的集合.若aW，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模.则称a是W的极大向量.有下列命题： 若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量； 给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量cab，使得Wa，b，c中的每个元素都是极大向量； 若W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1W2中的每一个元素也都是极大向量. 其中真命题的序号是_.,解析若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确； 由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确； 3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1a1，a2，a3，W2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量时，W1W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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