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5.4平面向量的应用,知识梳理,双击自测,1.向量在平面几何中的应用,知识梳理,双击自测,2.向量在三角函数中的应用 向量与三角的交汇是高考常见题型,解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题. 3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答. 4.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.,知识梳理,双击自测,答案,解析,知识梳理,双击自测,A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形,答案,解析,知识梳理,双击自测,答案,解析,知识梳理,双击自测,答案,解析,知识梳理,双击自测,5.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态.已知|F1|=1 N,|F2|=2 N,F1,F2成120角,则F1与F3所成的角为.,答案,解析,知识梳理,双击自测,自测点评 1.实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算. 2.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 3.要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解题.,考点一,考点二,考点三,考点四,向量在平面几何中的应用(考点难度),A.正方形B.矩形 C.菱形D.平行四边形,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结用向量方法解决平面几何问题可分三步: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练已知ABC的外接圆半径为2,D为该圆上一点,且 ,则ABC的面积的最大值为(),答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,向量在三角函数和解三角形中的应用(考点难度) 【例2】 (2017江苏高考)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结1.解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键:准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决. 2.给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=2,若向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,求a,b的值.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,向量在解析几何中的应用(考点难度),(1)求点P的轨迹方程;,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结向量在解析几何中的作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用abab=0;aba=b(b0)可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.,考点一,考点二,考点三,考点四,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,平面向量在物理计算题中的应用(考点难度) 【例4】 如图所示,已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上),F的大小为50 N,F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F、摩擦力f所做的功分别为多少?,考点一,考点二,考点三,考点四,解:设木块的位移为s,所以摩擦力f的大小为|f|=(80-25)0.02=1.1(N), 所以fs=|f|s|cos 180=1.120(-1)=-22(J).,方法总结由于向量具有大小和方向,物理中的矢量就是数学中的向量,例如力的合成与分解就是向量的加、减法的几何意义,合力相当于向量的加法,所以向量在物理中有多方面的应用.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为.,答案,解析,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.,答案,解析,答题规范平面向量与三角函数问题的综合应用 平面向量作为工具,在三角函数、解析几何中应用广泛.在利用向量解决相关问题时主要是利用向量数量积的运算,注意向量计算的准确性.,【典例】 (14分)设函数f(x)=mn,其中向量m=(2cos x,1),n=(cos x, sin 2x),xR. (1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间; (2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知f(A)=2,b=1,答题指导向量只是题目的载体,结合三角恒等变换条件转化才是解题关键.,(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;,(2)由向量的数量积,余弦定理结合基本不等式可得边BC的最小值.,高分策略1.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有:,2.解决向量与解析几何的综合问题可将向量用点的坐标表示,利用向量运算及性质转化为解析几何问题. 3.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数.,
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