资源描述
2.3双_曲_线23.1双曲线的标准方程双曲线的定义我海军“洛阳”舰和“太湖”舰组成第十六批护航编队远赴亚丁湾,在索马里海域执行护航任务某日“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声,与“洛阳”舰相距1 600 m的“太湖”舰,3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)问题1:“太湖”舰比“洛阳”舰距离快艇远多少m?提示:远34031 020 m.问题2:若把“洛阳舰”和“太湖舰”看成两个定点A、B,快艇看成动点M,M满足什么条件?提示:|MB|MA|1 020.双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距双曲线的标准方程在平面直角坐标系中A(3,0),B(3,0),C(0,3),D(0,3)问题1:若动点M满足|MA|MB|4,则M的轨迹方程是什么?提示:1.问题2:若动点M满足|MC|MD|4,则点M的轨迹方程呢?提示:1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)焦点坐标F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的关系c2a2b21对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,且点P满足|PF1|PF2|2a,则点P在右支上;若点P满足|PF2|PF1|2a,则点P在左支上(2)在双曲线定义中,规定2a|F1F2|,若把|F1F2|用2c表示,则当2a2c时,P的轨迹为双曲线当2a2c时,P的轨迹为以F1,F2为端点的两条射线当2a2c时,动点P的轨迹不存在2对双曲线标准方程的三点认识(1)只有当双曲线的两焦点F1,F2在坐标轴上,并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程(2) 标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件, 这里b2c2a2与椭圆中b2a2c2相区别,且椭圆中ab0,而双曲线中a,b大小则不确定(3)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上,若y2项的系数为正,则焦点在y轴上双曲线定义的应用例1已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上一点P使得F1PF290,求F1PF2的面积思路点拨根据双曲线的定义和勾股定理分别列出关于|PF1|,|PF2|的方程,求得|PF1|,|PF2|或|PF1|PF2|即可精解详析由1,得a3,b4,c5.由双曲线定义及勾股定理得|PF1|PF2|6,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2102,(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100.|PF1|PF2|32.SF1PF2|PF1|PF2|16.一点通利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用,特别是与|PF1|2|PF2|2,|PF1|PF2|间的关系;二是要与三角形知识相结合,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等,同时要注意整体思想的应用1若点M在双曲线1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|3|MF2|,则|MF2|等于()A2B4C8 D12解析:双曲线中a216,a4,2a8,由双曲线定义知|MF1|MF2|8,又|MF1|3|MF2|,所以3|MF2|MF2|8,解得|MF2|4.答案:B2已知动圆M与圆C1:(x3)2y29外切且与圆C2:(x3)2y21内切,则动圆圆心M的轨迹方程是_解析:设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,所以|MC1|r3,|MC2|r1.相减得|MC1|MC2|4.又因为C1(3,0),C2(3,0),并且|C1C2|64,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,且有a2,c3.所以b25,所求的轨迹方程为1(x2)答案:1(x2)求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4,经过点A;(2)经过点(3,0),(6,3)思路点拨先设双曲线标准方程,再构造关于a,b的方程组,求a,b.精解详析(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为1(b0),把A点的坐标代入,得b20),把A点的坐标代入,得b29,所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0,b0),则有解得故双曲线标准方程为y21.答案:A4根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)过点P(3,),Q(,5)且焦点在坐标轴上;(2)与双曲线1有公共焦点,且过点(3,2)解:(1)设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0),双曲线过P(3,),Q(,5),解得所求双曲线方程为1.(2)设双曲线方程为1.由题意易求得c2.又双曲线过点(3,2),1.又a2b2(2)2,a212,b28.故所求双曲线的方程为1.曲线类型的讨论例3(12分)已知方程kx2y24,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型精解详析(1)当k0时,y2,表示两条与x轴平行的直线;(2分)(2)当k1时,方程为x2y24,表示圆心在原点,半径为2的圆;(4分)(3)当k0时,方程为1,表示焦点在y轴上的双曲线;(7分)(4)当0k1时,方程为1,表示焦点在y轴上的椭圆(12分)一点通将方程化为标准方程的形式,假如方程为1,则当mn0时,方程表示双曲线若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线5“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:当方程表示双曲线时,一定有ab0,反之,当ab0时,若c0,则方程不表示双曲线答案:A6若方程3表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是()A(1,2) B(2,)C(,2) D(2,2)解析:由题意,方程可化为3,解得:m0,b0)或1(a0,b0)或mx2ny21(mn0)定量:根据已知条件列出关于a,b,c(或m,n)的方程组解方程组,将解代入所设方程即为所求1双曲线方程为x22y21,则它的右焦点坐标为()A.B.C. D(,0)解析:将双曲线方程化为标准方程为:x21,a21,b2,c2a2b2,c,故右焦点坐标为.答案:C2已知点F1(4,0)和F2(4,0),曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,则曲线方程为()A.1 B.1(y0)C.1或1 D.1(x0)解析:由双曲线的定义知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为1(x0)答案:D3已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为()A(1,1) B(1,)C(,1) D(,1)(1,)解析:由题意得解得即1k1.答案:A4椭圆1与双曲线y21有公共点P,则P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为()A48 B24C24 D12解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,5),又由椭圆与双曲线的定义可得所以或又|F1F2|10,PF1F2为直角三角形,F1PF290.因此PF1F2的面积S|PF1|PF2|6824.答案:B5设m是常数,若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点,则m_.解析:由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上,所以m0,且m952,解得m16.答案:166已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断:当1t4或t1时,曲线C表示双曲线;若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)解析:错误,当t时,曲线C表示圆;正确,若C为双曲线,则(4t)(t1)0,t4;正确,若C为焦点在x轴上的椭圆,则4tt10.1t4.答案:7已知双曲线的一个焦点为F1(,0),点P位于双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),求双曲线的标准方程解:设双曲线方程为1(a0,b0)因为c,c2a2b2,所以b25a2,a25.所以1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点坐标为(,4),代入双曲线方程得1,解得a21(a225舍去)故双曲线的标准方程为x21.8已知ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度;(2)求顶点C的轨迹方程解:(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25,b21,c2a2b24,则A(2,0),B(2,0),|AB|4.(2)sin Bsin Asin C,由正弦定理得|CA|CB|AB|21)23.2双曲线的几何性质已知双曲线方程1(a0,b0)问题1:双曲线的对称轴和对称中心各是什么?提示:坐标轴、坐标原点问题2:双曲线与坐标轴有交点吗?提示:与x轴有两个交点(a,0),(a,0),与y轴没有交点问题3:双曲线方程中x,y的取值范围是什么?提示:|x|a,yR.双曲线的几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa,yRya或ya,xR顶点(a,0),(a,0)(0,a),(0,a)对称性关于x轴、y轴和原点对称轴长实轴长2a,虚轴长2b渐近线0或yx0或yx离心率e(e1)对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性,由双曲线的方程1(a0,b0),得11,x2a2,|x|a,即xa或xa;(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越大,双曲线的开口越大,反之亦然;(3)对称性:由双曲线的方程1(a0,b0),若P(x,y)是双曲线上任意一点,则P1(x,y),P2(x,y)均在双曲线上,因P与P1,P2分别关于y轴,x轴对称,因此双曲线分别关于y轴,x轴对称已知双曲线的标准方程求其几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨精解详析双曲线的方程化为标准形式是1,a29,b24,a3,b2,c.又双曲线的焦点在x轴上,顶点坐标为(3,0),(3,0),焦点坐标为(,0),(,0),实轴长2a6,虚轴长2b4,离心率e,渐近线方程为yx.一点通已知双曲线的方程求其几何性质时,若方程不是标准形式的先化成标准方程弄清方程中的a,b对应的值,再利用c2a2b2得到c.然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4 D4解析:双曲线方程可变形为1,所以a24,a2,2a4.答案:C2已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆1的长轴端点、焦点,则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0 B3x4y0C4x5y0 D5x4y0解析:由已知得,双曲线焦点在x轴上,且c5,a3,双曲线方程为1.渐近线方程为0即0.答案:A由双曲线的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的双曲线标准方程(1)虚轴长为12,离心率为;(2)顶点间距离为6,渐近线方程为yx;(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线,且过点M(2,2)的双曲线方程思路点拨精解详析(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0,b0)由题知2b12,且c2a2b2,b6,c10,a8,标准方程为1或1.(2)法一:当焦点在x轴上时,由且a3,b.所求双曲线方程为1.当焦点在y轴上时,由且a3,b2.所求双曲线方程为1.法二:设以yx为渐近线的双曲线方程为(0),当0时,a24,2a26,当0)若已知双曲线的渐近线方程yx,还可以将方程设为(0),可避免讨论焦点的位置3若双曲线的一个焦点为(0,13),且离心率为,则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c13,又,所以a5,b12,故其标准方程为1.答案:D4与椭圆1共焦点,离心率之和为的双曲线标准方程为_解析:椭圆的焦点是(0,4),(0,4),c4,e,双曲线的离心率等于2,2,a2.b2422212.双曲线的方程为1.答案:1.求双曲线的离心率例3已知F1,F2是双曲线1(a0,b0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果PF2Q90,则双曲线的离心率为_思路点拨精解详析设F1(c,0),由|PF2|QF2|,PF2Q90,知|PF1|F1F2|2c,|PF2|2c.由双曲线的定义得2c2c2a.e1.所以所求双曲线的离心率为1.答案1一点通(1)求双曲线的离心率的常见方法:一是依据条件求出a,c,计算e;二是依据条件提供的信息建立关于参数a,b,c的等式,进而转化为关于离心率e的方程,再解出e的值(2)求离心率的范围时,常结合已知条件构建关于a,b,c的不等关系5双曲线的渐近线为yx,则双曲线的离心率是()A. B2C.或 D.或解析:若双曲线焦点在x轴上,则.e .若双曲线的焦点在y轴上,则,.e .答案:C6设a1,则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(,2) B(, )C(2,5) D(2, )解析:e2221,a1,01,112,2e21,e0,b0),不妨设一个焦点为F(c,0),虚轴端点为B(0,b),则kFB.又渐近线的斜率为,所以由直线垂直得1,即b2ac,又c2a2b2,故c2a2ac,两边同除以a2,得方程e2e10,解得e(负值舍去)答案:1已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,然后由方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等2如果已知双曲线的渐近线方程为yx,那么双曲线方程可设为(0)3双曲线的离心率e (a0,b0)1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍,则m()AB4C4 D.解析:双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍, m0),则ca,一条渐近线为yx,a22.双曲线方程为x2y22.答案:B4已知双曲线C:1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:已知c5,双曲线的一条渐近线方程为yx经过点(2,1),所以a2b,所以254b2b2,由此得b25,a220,故所求的双曲线方程是1.答案:A5在平面直角坐标系xOy中,若双曲线1的离心率为,则m的值为_解析:由题意得m0,a,b,c,由e得5,解得m2.答案:26设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为_解析:设椭圆C1的方程为1(a1b10),由已知得:焦距为2c110.又80,b20),则a24,c25,b524232,曲线C2的方程为1.答案:17已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,)(1)求此双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求证:MF1MF2.解:(1)离心率e,ab.设双曲线方程为x2y2n(n0),(4,)在双曲线上,n42()26.双曲线方程为x2y26.(2)证明:M(3,m)在双曲线上,则m23.又F1(2,0),F2(2,0),kMF1kMF21.MF1MF2.8已知双曲线的方程是16x29y2144.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|PF2|32,求F1PF2的大小解:(1)由16x29y2144得1,a3,b4,c5.焦点坐标F1(5,0),F2(5,0),离心率e,渐近线方程为yx.(2)由双曲线的定义,得|PF1|PF2|6,cosF1PF20,F1PF290.友情提示:部分文档来自网络整理,供您参考!文档可复制、编制,期待您的好评与关注!20 / 20
展开阅读全文