变化率及导数的概念.ppt

变 化 率 问 题 与导数的概念,问题1.气球平均膨胀率.,吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?,解:可知:V(r)= r3,即：r(V)=,当空气容量从增加时，半径增加了,r(1)r(0) 0.62,气球平均膨胀率：,问题1.气球平均膨胀率.,当空气容量从加时，半径增加了,r()r() 0.,气球平均膨胀率：,可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小,思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢?,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间(单位：s)存在函数关系 我们可以用什么来描述在某段时间内的其运动状态呢？,平均速度,问题2：高台跳水,在0t0.5这段时间内， 在1t2这段时间内，,在0t 这段时间内，,0,问：运动员这段时间里是静止的吗？ 你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？,问题3.平均速度.,求s到s时的平均速度,解： S2S1= =14.7,t2t1= 1,问题3.平均速度.,思考：求t1s到t2s时的平均速度,平均变化率,如果上述的两个函数关系用f(x)表示,那么当自变量x从x1变化到x2时，,函数值就从y1变化到y2,则函数f(x)从x1到x2的,平均变化率：,它的几何意义是什么呢？,如图：PQ叫做曲线的割线,平均变化率的几何意义:,割线的斜率,平均变化率为,问题4：瞬时速度,如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？,能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？,（我们可以取t=3临近时间间隔内的平均速度当作t=3时刻的瞬时速度，不过时间隔要很小很小）,问题4：瞬时速度,如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？,解：取一小段时间：3,3+t,问题4：瞬时速度,解：取一小段时间：3,3+t,（平均速度的趋向为瞬时速度）,瞬时速度：,（平均速度的趋向为瞬时速度）,思考：在t0时刻的瞬时速度呢？,例1 一辆汽车按规律： 作直线运动，求： （1）这辆汽车在t=3秒时的瞬时速度； （2）t=0到t=2时的平均速度.,例2 若一物体运动方程如下： 求此物体在t=1和t=3时的瞬时速度,瞬时变化率：,思考：我们利用平均速度的趋向求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？,可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：,导数,我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数,小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：,例3.求y=x2在点x=1处的导数,解：,小结：,