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抛物线的 简单几何性质,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,抛物线的定义及标准方程,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,例1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.,例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。,F,y,x,O,解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。,A,设抛物线的标准方程是： 由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得,抛物线方程为y2=45/2x 焦点坐标为（45/8,0）,课堂练习,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .,2、顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程是 .,解：由已知可设抛物线的方程为x2=ay,将点(4,1)代入,得a=16,故方程为x2=16y.,3、已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则 。,4,4、顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,谢谢,
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