#第七章 线性变换(小结)

第七章线性变换(小结)本章的重点：线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法.本章的难点：不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一，它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广，它的理论和方法，(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示，在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换.一、线性变换及其运算1. 基本概念：线性变换，可逆线性变换和逆变换；线性变换的值域和核，秩和零度；线性变换的和和差，乘积和数量乘法，幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变；线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V的线性变换A的象Im(A)=AV和核kerA=A-i(0)(a) A的象Im(A)=AV和核kerQ=A-1(0)是V的(M)子空间.(b) 若dim(V)=n，则Im(A)由V的一组基的象生成：即设V的一组基a，a，.，a,Im(A)=AV=L(Ad,Ad，Ad)=Ah|aeV.12n12nkerA=A-1(0)=aeVIAd=0.(c) A的秩(dimIm(A)+A的零度(dimkerQ=n.(d) A是双射OA是单射OKer(A)=0OA是满射.(e)像空间的一组基的原像和核空间的一组基合并就是线性空间V的一组基:取ImA的组基卩,卩，卩，存在a,a，a,使得Aa二P,i=l,2,，r.12r12rii再取kerA的基a，a,则a,a，a,a，a,就是V的一组基.r+1n12rr+1n二、线性变换和矩阵1. 基本概念：(1) 线性变换在基下的矩阵：设A走L(V)，取定n维线性空间V的一组基a,a,.,a，则Aa,Aa，,Aa12n12n可由a,a，a线性表示，即12n(Aa，Aa，)=(a,a,.,a)A,12n12n矩阵A称为线性变换A在此基下的矩阵.(2) 个线性变换在不同基下的矩阵相似：设a,a,.,a，P,P,.,P是线性空间V的两组基，12n12n(P,P,.,P)=(a,a,.,a)P，12n12n(Aa，Aa，Aa)=(a,a,.,a)A,12n12n则(AP，AP，-AP)=(P,P,.,P)P-1AP.12n12n2. 基本结论(1) 若a,a，,a是线性空间V的一个基，VP,P，,PgV，则存在唯12n12n一AgL(V)，使得A(a)二P,i二1,2,n.ii(2) 在取定n维线性空间V的一个基之后，将V的每一线性变换和它在这个基下的矩阵相对应，则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换和可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之，若两个矩阵相似，则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.向量a的坐标为(x,x,x12,)，则A的秩=秩(A),Aa)的坐标若在线性空间V的一个基a,a，,a下，线性变换A对应的矩阵为A,12nfy11y2=A(x11x21yJ(x丿nn三、特征值和特征向量1. 基本概念(1)特征多项式设线性变换A在V的一组基a,a,a下的矩阵为A,则12nf(九)=1九EA=Xn一(a+aHFa)Xn-1hf(-1)n|AI1122nn称为A的特征多项式.(的根就是A的全部特征根).设X,X，,Xn是f(X)的全部根，贝Uf(X)=(X-X)(X-X)(X-X)=Xn-(X+X+X)Xn-1+(-1)n九九九.12n12n12n由大多项式相等，得Tr(A)=a+a+a=X+X+X,1122nn12nA=XXX.12n(2) 线性变换(或矩阵)的特征值和特征向量：若Aa=Xa,aO,贝UX称为A的特征根(特征值),a称为A的属于特征值X的特征向量.(3) 化零多项式设g(X)是一个多项式，使得g(A)=0(g(A)=0),则g(X)称为A(A)的化零多项式.(4) 最小多项式-化零多项式中次数最低者.(5) 特征子空间-A的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合：V=agVAa=Xa.)2基本结论：(1) 线性变换和相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略)(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值，反之不然.(4) Hamilton-Cayley定理:设线性变换a在某个基下的矩阵为A,f(九)=1九E-AI，则f(A)=0,f(a)=0四、对角化问题1. 基本概念：不变子空间-一设W是V的子空间，AL(V),若aWcW,则称W是A的不变子空间简称为A子空间.(2)Jordan标准形设A走L(V),则必存在V的一组基，使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形.2. 基本结论：设A是数域P上n维向量空间V的一个线性变换，则(1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵oA有n个线性无关的特征向量.oV可以分解为n个一维不变子空间的直和OA的所有不同的特征子空间的维数之和等于nOA的最小多项式没有重根OV可以分解为特征子空间的直和.因而，当A有n个不同特征值时，A必在某个基下的矩阵是对角形式.(2) 设A为n阶矩阵，则A必和一个Jordan标准形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这个Jordan标准形是唯一的；而A和对角矩阵相似OA的最小多项式无重根于是，当A的特征多项式无重根时，A必和一个对角矩阵相似.第八章九-矩阵(小结)一、基本概念1. 九-矩阵A(九)矩阵A(九)的兀素是九的多项式.2. 可逆的九-矩阵-A(X)可逆的充要条件是|A(X)|二chO(是一个非零常数).3秩-A(X)的秩为r,若A(X)有一个r阶子式非零，任一个r+1阶子式均为零.4.九矩阵的初等变换r分r,cr(c工0),r+(九)r.(列变换类似)ijiij5任一个九-矩阵都可以经过初等变换化为标准形(d(九)1d(九)r0，1,d(A)(i二1,2,r)是首项系数为1的多项式，且id(A)Id(A)(i二1,2，r-1).ii+13. 两个A-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.4. 矩阵A(A)是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.5.两个sxn的九-矩阵A（九）和B（九）等价的充要条件为，有一个sxs可逆矩阵P（九）和一个nxn可逆矩阵Q（九），使B（九）=P（九）A（九）Q（九）.6. 设A,B是数域P上两个nxn矩阵.A和B相似的充要条件是它们的特征矩阵九E-A和九E-B等价.7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8. 首先用初等变换化特征矩阵九E-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.9. 每个n级的复数矩阵A都和一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.10. 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使3在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.11. 复数矩阵A和对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的（或A的不变因子都没有重根）.12. 数域P上nxn方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.13. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.第八章主要结论：1. A和B相似o九E-A和九E-B等价。它们有相同的各阶行列式因子o它们有相同的不变因子。它们有相同的初等因子.2. A的每一个初等因子决定一个Jordan块，全体初等因子决定了A的Jordan标准形.3矩阵A可以对角化o它的Jordan块都是一阶的。它的初等因子都是一次的o它的最小多项式无重根.。它的不变因子无重根.4.矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子.第七章和第八章主要掌握的计算1.求线性变换在某基下的矩阵.(1) n维向量空间；(2) n维多项式空间；(3) 2x2矩阵空间.例1.设V=R3,V(a,b,c)eR3,求A在基e=(1,0,0),e=(0,1,0),e二(0,0,1)和123a=(1,1,1),a=(1,1,0),二(1,0,0)下的矩阵，其中123A(a,b,c)=(2ab,a+b,c+a).210、解：(Ae,Ae,Ae)=(e,e,e)I110=(e,e,e)A.123123123U01丿111(a,a,a)=(e,e,e)P,P=110.123123I100丿(Aa,Aa,Aa)=(Ae,Ae,Ae)P=(e,e,e)AP=(a,a,a)p-1AP123123123123例2.V=Pxn1DeL(V),Df(x)=f(x),求D在基1,x,，xn下的矩阵.(12例3.V=P2x2,AeL(V),Q=，对任意的XeV,AX=QX,求A在基154丿E,E,E,E下的矩阵.11122122解：由于AE11=10、01、=E+5E,AE=Q0,11211205丿=E+5E,1222a0、P2、=2E+4E,AE=1121220幻2E+4E,1222AE21所以A在基E,E,E,E下的矩阵为11122122(1050010520400204丿2. 判断一个变换是否为线性变换.3. 求线性变换A的值域和核.4. 求线性变换(矩阵)的特征值和特征向量，判断矩阵是否可以对角化.求出A在V的一组基a,a,，a下的矩阵A.12n求出特征多项式f(X)=|XE-AI,在求出其全部根即为全部的特征值九,九，,九.12s对每一个特征值九，求解齐次线性方程组i(九E-A)X二0,i得到基础解系，耳=(c,c,.,c),k=1,2,.,r.则(c,c,.,c),k=1,2,.,r就kk1k2knik1k2kni是A的属于特征值九的特征向量g在基a,a,，a下的坐标，于是特征向量ik12n为g=ca+cahfca,k=1,2,.,r.kk11k22knni当A有n个线性无关的特征向量g,g，,g时,A在此基g,g，,g下的矩阵1-为对角形.止匕日寸，设g=cex+cex+cakk11k22(c11cT=12knc21C22c)n1cn2c1nc丿nn则T-1AT为对角形，主对角线上的元素为相应的特征值，顺序和T中特征向量的顺序相同.例4.求例3中线性变换A及矩阵A的特征值特征向量，判断是否可以对角化.并求A(A)的最小多项式.r344)0九-10九-102(X2-5九6)00-20九一4(九+1)2(九一6)2.当心1时，求解线性方程组(-E-A)X=O,X-10-20-20X-100X-10-2c吕c10X-10-2-50X-4031X-40-500-50X-40-50X-4解：f(九)=J20-20、r10100-20-2T0101-50-5000000-50一5丿0000丿基础解系为n1=(-1,0,1,0),耳2=-1,0,1).当心6时，求解线性方程组(6E-A)X=0,r50-20、r50-20、050-2T050-2-502000000-502丿0000丿+E11121基础解系为n3=(2,0,5,0),n4=(0,2,0,5).,A二-E+E.属于特征21222所以属于特征值-1的特征向量为A二-E值6的特征向量为A二2E+5E,A二2E+5E.3112141222A在基A,A,A,A下的矩阵为对角形D=diag(-1,-1,6,6).23“1(-10100-10120500205丿,则T-1AT=D=diag(-1,-1,6,6).A的最小多项式为m(x)=(x+1)(x-6).一些相关题目101.设A(九)=2.设A(九)=00100则R(A(X)=.A(九)是否可逆，为什么?3.设A(九)=1、3,则R(A(!)=1J0、0!+1丿.A(九)是否可逆，为什么?,则其不变因子是?4设A的全部初等因子为九，(九-2)2,(!+1)3,A是一个几阶矩阵？A的Jordan标准形是？(3)A的不变因子是？(3135.A=03的初等因子是？最小多项式是？不变因子的？13丿6判断命题是否正确，不正确者请改正：(1) 若n阶矩阵A可以对角化，则A必有n个互不相同的特征值.(2) 若两个n阶矩阵A和B的特征值相同，则它们相似.(3) 若矩阵A和B相似，则它们有相同的特征向量.(4) n阶矩阵A不可逆的充要条件是A至少有一个特征值为零.设aL(V),a,a,.,agV,若，,Ab线性无关，贝U12s12sa,a,.,a线性无关.12s设AGL(V),a,a,.,agV,若a,a,.,a线性相关，则AaA,Aa,12s12s12Aa线性相关.s(7)设AGL(V),a,a，.,agV,若a,a,.,a线性无关，则Aa,AK,12s12s12Aa线性无关.s若PTAP=B,P可逆，则A和B相似.若对任意的(a,b,c)wR3,A(a,b,c)=(a2.b+c,a+c),则A是R3上的线性变换.r1r1i(10)矩阵2与22丿相似.(11) 设AL(V),dimV=n,则A可逆的充要条件是(a) A有n个线性无关的特征向量；(b) A有n个互不相同的特征值；(c) A在V的某一组基下的矩阵为对角形；(d) A的特征值均非零；(e) AV=V;(f) A-1(0)=0.r11r112222(c)2(d)12J12J12r1r1、r12121212(g)12(h)212丿(b)(a)(e)(12) 设A的初等因子为九-1和(九-2)3,则A的Jordan标准形为:17.填空)A,则P,P,P可逆的12s设a,aa线性无关,(P,PP)=(a,aa12s12s12充要条件是(2)设三阶矩阵A的特征多项式是f(九)亠-3九2-2九+3,则IAI二_.设A的主对角线上的元素之和a+a+a=.112233若A2=E,则A的特征值只能是若A2-3A+2E=0,则A的特征值只能是.设A=厂3-47-71-11-6002-1征值之乘积外九2九3九4=0010丿A可逆吗？矩阵的三大关系,则A的全部特征值之和九+九2+九3+九4=-全部特12等价相似合同对象mxn矩阵n阶方阵n阶实对称矩阵来源A可经初等行变换得到B一个线性变换在不同基下的矩阵二次型经非退化线性变换后，新旧矩阵之间的关系刻划存在P,Q可逆，使得B=PAQ存在P可逆，使得B=P-1AP存在P可逆，使得B=PtAP共同点都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变最简形式re0|_00mxn有n个线性无关的特征向量时相似于对角形矩阵Ep-Er0性质秩相同有相同的特征多项式，有相同的特征值有相同的秩和正惯性指数等价类个数r+1,r=min(m,n)无限多个12(n+1)(n+2)