中学数学竞赛中常用的几个重要定理

中学数学竞赛中常用的几个重要定理数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，且满足=1，则D、E、F三点共线.【例1】已知ABC的重心为G，M是BC边的中点，过G作BC边的平行线AB边于X，交AC边于Y，且XC与GB交于点Q，YB与GC交于点P. 证明：MPQABC【例2】 以ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AMBC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点. 求证：OPF=OEP【练习2】 在ABC中，A=900，点D在AC上，点E在BD上，AE的延长线交BC于F.若BE：ED=2AC：DC，则ADB=FDC塞瓦定理：设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则塞瓦定理的逆定理： 设M、N、P分别在ABC的边AB、BC、CA上，且满足，则AN、BP、CM相交于一点. 【例1】BE是ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，过D作DNCG交BG于N，DGL及FGM是正三角形.求证：LMN为正三角形.【例2】在ABC中，D是BC上的点=，E是AC中点.AD与BE交于O，CO交AB于F求四边形BDOF的面积与ABC的面积的比【练习1】设P为ABC内一点，使BPA=CPA，G是线段AP上的一点，直线BG，CG分别交边AC，AB于E，F.求证：BPF=CPE【练习2】 在ABC中，ABC和ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD平分BAC，过点D作垂线DPAB于P，DQAC于Q，CP于BQ相交于K. 求证：AKBC托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有ABCD+ADBC=ACBD【例1】 已知在ABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E，过E作EFAB，垂足为F.求证：2AF=AB-AC【例2】经过XOY的平分线上的一点A，任作一直线与OX及OY分别相交于P，Q. 求证：+为定值【例3】 解方程+=【练习1】 设AF为O1与O2的公共弦，点B，C分别在O1，O2上，且AB=AC，BAF，CAF的平分线交O1，O2于点D，E. 求证：DEAF【练习2】O为正ABC的外接圆，AD是O的直径，在弧BC上任取一点P（与B，C不重合）.设E，F分别为PAB，PAC的内心.证明：PD=PE-PF西姆松定理：点P是ABC外接圆周上任意一点，PDBC，PEAC，PFAB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线.【例1】过正ABC外接圆的弧AC上点P作PD直线AB于D,作PEAC于E,作PFBC于F.求证：+=【练习1】设P为ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC，AC所在的直线的对称点分别为P1，P2.求证：直线P1P2经过ABC的垂心.三角形的五心内心 【例1】设点M是ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点.求证：AE等于内切圆半径r【例2】在ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，A的平分线AD交ABC的外接圆于K.O，I分别为ABC的外心，内心.求证：OIAK【练习】 在ABC中，BAC=300，ABC=700，M为形内一点，MAB=MCA=200求MBA的度数.外心【例1】锐角ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，ABC=4OMN，ACB=6OMN.求OMN【例2】在等腰ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.【练习】1、O1与O2相交于P，Q，O1的弦PA与O2相切，O2的弦PB与O1相切.设PAB的外心为O，求证：OQPQ重心【例1】在ABC中，G为重心，P是形内一点，直线PG交直线BC，CA，AB于F，E，D.求证：+=3【例2】已知ABC的重心G和内心I的连线GIBC，求证：AB+AC=2BC【练习】1、设M为ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求ABC的面积.2、设O是ABC的外心，AB=AC，D是AB的中点，G是ACD的重心，求证：OGCD垂心三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.【例1】ABC的外接圆为O，C=600，M是弧AB的中点，H是ABC的垂心.求证：OMOH【例2】已知AD，BE，CF是锐角ABC的三条高，过D作EF的平行线RQ，RQ分别交AB和AC于R，Q，P为EF与CB的延长线的交点.证明：PQR的外接圆通过BC的中点M.旁心【例1】在锐角XAY内部取一点，使得ABC=XBD，ACB=YCD.证明：ABC的外心在线段AD上.【例2】AD是直角ABC斜边BC上的高（ABCD，K，M分别是腰AD，CB上的点，DAM=CBK，求证：DMA=CKB其他的一些数学竞赛定理1、 广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和.推论2：设ABC三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为ma、mb、mc则：ma=；mb=；mc=2、 三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果1=2，则有外角平分线定理：如图，AD是ABC中A的外角平分线交BC的延长线与D，则有3、 三角形位似心定理：如图，若ABC与DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P4、 正弦定理、在ABC中有（R为ABC外接圆半径）余弦定理： a、b、c为ABC的边，则有： a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC; 5、欧拉定理：ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d2=R2-2Rr.6、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线.17 / 17