1.11位移分量与应变分量几何方程

第十节 位移分量与应变分量 几何方程由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。这个移动过程，弹性体将也许同步发生两种位移变化。 第一种位移是位置的变化，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。 第二种位移是弹性体形状的变化， 位移发生时不仅变化物体的绝对位置，并且变化了物体内部各个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为变形位移。 一般来说，上述两种位移是同步浮现的，固然对于弹性力学的研究，重要是讨论后一种位移，由于变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。根据持续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为持续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M（x，y，z），这一过程也将是持续的, 如图11.1所示 图10.1在数学上，x，y，z 必为x，y，z的单值持续函数。设MM=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。则u=x（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z（x，y，z）-z=w（x，y，z）显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值持续函数。后来的分析将进一步假定位移函数具有三阶持续导数。为进一步研究弹性体的变形状况，假设从弹性体中分割出一种微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。 对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表达这两种变形的。 对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z座标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为MA，MB，MC。 假设分别用ex, ey, ez表达x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变； 分别用gxy, gyz, gzx表达x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。则 对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz，Ozx平面来讨论。 显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小变形问题，这种转动所带来的影响较小。特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所拟定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。一方面讨论Oxy面上投影的变形。 设ma，mb分别为MA，MB的投影，ma，mb分别为MA，MB，即变形后的MA，MB的投影。 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz，M点的坐标为（x，y，z），u（x，y，z），v(x, y, z)分别表达M点x，y 方向的位移分量。 则A点的位移为u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）,B点的位移为u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）。按泰勒级数将A，B两点的位移展开，并且略去二阶以上的小量，则A，B点的位移分别为 由于 因此 同理可得 由此可以得到弹性体内任意一点微分线段的相对伸长度，即正应变。 显然微分线段伸长，则正应变ex, ey, ez 不小于零，反之则不不小于零。如下讨论切应变体现关系。 假设byx为与x轴平行的微分线段ma向y 轴转过的角度，bxy为与y轴平行的mb向x轴转过的角度。则切应变 由于 上式的推导中，运用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。同理可得byx和bxy可为正或为负，其正负号的几何意义为：byx不小于零，表达位移v随坐标x而增长，即x方向的微分线段正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变体现式，则 同理可得 切应变分量不小于零，表达微分线段的夹角缩小，反之则增大。综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为上述公式称为几何方程，又称柯西方程。 柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量相应三个位移分量，则其求解将相对复杂。 这个问题后来作专门讨论。 几何方程给出的应变一般称为工程应变。 如果使用张量符号，则几何方程可以体现为则应变分量eij 将满足二阶张量的座标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表达为第十一节 纯变形位移与刚性转动位移学习思路: 应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的变化做出定义。但是这还不能完全描述弹性体的变形，因素是没有考虑微分单元体的刚体转动。 通过度析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。刚体转动通过转动分量描述。 刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部分构成，平动位移和转动位移。如果发生变形，位移中还涉及纯变形位移。应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的变化做出定义。但是这还局限性以完全描述弹性体的变形，因素是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的变化，即单元体的刚体转动。 通过度析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。 设转动矢量为，OP之间的距离矢量为r ，如图12.1所示 图11.1则引入拉普拉斯算符矢量 设P点的位移矢量为S，有 S =ui +vj +wk由于位移矢量可以表达为 S =r ,因此即 其中 wx, wy, wz为转动分量，是坐标的函数，表达了弹性体内微分单元体的刚性转动。设M点的坐标为（x，y，z），位移（u，v，w）。与M点邻近的N点，坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）， 位移为（u+du，v+dv，w+dw）。 则MN两点的相对位移为（du，dv，dw）。由于位移为坐标的函数，因此同理可得 以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体同样转动的刚性转动位移。 刚性转动位移的物理意义为， 如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分构成。分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某一点，一般还要发生变形，因此位移中还涉及纯变形位移。总的来讲，与M点无限邻近的N点的位移由三部分构成的： 1 随同M点作平动位移。 2 绕M点作刚性转动在N点产生的位移。 3 由于M点及其邻近区域的变形在N点引起的位移。 转动分量w x, w y， w z 对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于变形的一部分。三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅拟定了微分单元体形状的变化，并且拟定了方位的变化。 位移增量公式如果使用矩阵形式表达，可得 显然，位移的增量是由两部分构成的，一部分是转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分量引起的变形位移增量。第十二节 应变的坐标变换与应变张量 上一节我们引入了应变分量，本节将讨论不同坐标系下一点的应变分量的关系。与坐标转轴时的应力分量的变换同样，我们将建立应变分量转轴的变换公式，即已知e ij 在旧坐标系中的分量，求其在新坐标系中的各分量e ij 。 根据几何方程，坐标平动将不会影响应变分量。因此只需坐标转动时的应变分量变换关系，设新坐标系Oxyz 是旧坐标系 Oxyz 通过转动得到的，如图13.1所示 图12.1新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为 如图所示，设变形前的M点，变形后移至M点，设其位移矢量MM =S，则因此,新坐标系的位移分量为， 根据几何方程，根据复合函数的微分关系 同理推导可得其他五个应变分量的变换公式，即如果以 nij（i，j=1，2，3）表达新旧坐标系之间的夹角的方向余弦，并注意到应变张量体现式，则上述应变分量变换公式可以写作eij=nii njj eij 因此，如果将应变分量写作下列形式则应变分量满足张量变换关系。 与应力张量相似，应变张量也是二阶对称张量。 由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦拟定，则任意坐标系下的应变分量均可拟定，即一点的应变状态就完全拟定了。不难理解，坐标变换后各应变分量均发生变化，但它们作为一种整体，所描述的一点的应变状态是不会变化的。第十三节 体积应变本节简介物体变形后的单位体积变化，即体积应变。 讨论微分平行六面体单元，如图14.1所示 图13.1 变形前，单元体的三条棱边分别为MA，MB，MC， 长dx，dy，dz， 其体积为：V=dxdydz 设M点坐标为（x，y，z），则A，B，C点坐标分别为（x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。 弹性体变形后，其三条棱边分别变为MA，MB，MC。其中若用V 表达变形后的微分单元体体积，则 将行列式展开并忽视二阶以上的高阶小量，则 若用表达单位体积的变化即体积应变，则由上式可得 显然体积应变 就是应变张量的第一不变量J1。因此常写作 体积应变 不小于零表达微分单元体膨胀，不不小于零则表达单元体受压缩。若弹性体内 到处为零，则物体变形后的体积是不变的。第十四节 主应变和应变不变量弹性体内任一点的六个应变分量，即应变张量随着坐标轴的旋转而变化。因此与否可以像应力张量同样，对于某一种拟定点，在某个坐标系下所有的切应变分量都为零，仅有正应变分量不等于。即能否找到三个互相垂直的方向，在这三个方向上的微分线段在物体变形后只是各自变化长度，而其夹角仍为直角。 答案是肯定的。 在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。 具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主应变。 设e ij为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变e 1，e 2，e 3 及应变主轴方向n1, n2, n3。设MN 为M点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l，m，n，主应变为e。令dr 表达MN 的长度, 则MN相对伸长为e dr ，如图15.1所示 图14.1 设M点的位移为（u，v，w），则N点的位移为（u+du，v+dv，w+dw）。由于 du=在x方向的变形位移分量+刚性转动位移在x方向的分量=e l dr + 刚性转动位移在x方向的分量根据公式 即du等于纯变形位移与刚性转动位移在x方向的分量之和。根据上述公式，可得 或者写作 同理可得 上述公式是有关l，m，n的齐次线性方程组。对于l，m，n的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数行列式的值为零。即 将上式展开，可得求解主应变得特性方程， 其中 显然与应力不变量相似，J1，J2，J3为应变不变量，分别称为第一，第二和第三应变不变量。 根据特性方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式，并注意到任意一点三个方向余弦的平方和等于1，则可解应变主轴的方向余弦。 由应力张量和应变张量，应力不变量和应变不变量之间的公式的比较可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的。第十五节 应变协调方程学习思路: 变形协调方程的数学意义是：要使以三个位移分量为未知函数的六个几何方程不矛盾，则应变分量必须满足的必要条件。 应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形持续性质作出解释。如果变形不满足一定的关系，变形后的物体将浮现缝隙或嵌入现象，不能重新组合成持续体。 为使变形后的微分单元体持续，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程，又称圣维南（Saint Venant）方程。 如果弹性体是单连通域的,应变协调方程不仅是变形持续的必要条件，并且也是充足条件。 运用位移函数的微分沿任意途径重新积分可以拟定的位移必然是单值位移的条件，可以证明应变协调方程。 对于多连通域问题，应变分量满足变形协调方程只是位移持续的必要条件，只有加上位移持续补充条件作为充足条件。几何方程表白，六个应变分量是通过三个位移分量表达的，因此六个应变分量将不也许是互不有关的，应变分量之间必然存在某种联系。 这个问题对于弹性力学分析是非常重要的。由于如果已知位移分量，容易通过几何方程的求导过程获得应变分量；但是反之，如果已知应变分量，则几何方程的六个方程将仅面对三个未知的位移函数，方程数显然超过未知函数的个数，方程组将也许是矛盾的。 随意给出六个应变分量，不一定能求出相应的位移。例如： 例1 设应变分量为：，求其位移解： 显然该应变分量没有相应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。 如下我们将着手建立这一条件。一方面从几何方程中消去位移分量，把几何方程的第一式和第二式分别对x和y求二阶偏导数，然后相加，并运用第四式，可得 若将几何方程的第四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数，然后四和六两式相加并减去第五式，则将上式对x求一阶偏导数，则 分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式， 上述方程称为应变协调方程或者变形协调方程，又称圣维南（Saint Venant）方程.变形协调方程的数学意义是：要使三个位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则应变分量必须满足的必要条件。 应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形持续作出解释。如果物体分割成无数个微分六面体单元，变形后每一单元体都发生形状变化，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成持续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的微分单元体仍能重新组合成持续体，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程。 如果弹性体是单连通域的,则应变分量满足应变协调方程不仅是变形持续的必要条件，并且也是充足条件。 为证明应变协调方程是变形体持续的必要和充足条件，我们可运用弹性体变形持续的物理意义，反映在数学上则规定位移分量为单值持续函数的性质。 我们的目的就是证明：如果已知应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就一定可以通过几何方程的积分求得单值持续的位移分量。 下面我们推导单连通域的变形协调关系。所谓的单连通域，是指该物体内任一条闭曲线可以收缩到一点而不越出界外。设应变分量eij单值持续，并有持续的二阶导数，则由轮换x, y, z计算，可得dv，dw 和dw y，dw z 。 如果可以通过积分，计算出 上述位移和转动分量如果是单值持续的，则可得到弹性体的位移单值持续的条件。保证上述位移单值持续的条件是其积分与积分途径P0P无关。其充足与必要条件为根据上述公式的第三式，可得同理根据上述公式的第四和第八式，可得w x对y，z的偏导数。即 将计算w x对y，z的偏导数回代到公式的第一式，则可以得到转动分量w x体现式。 如使wx单值持续，其必要与充足条件是或写作 同理讨论w y和w z 的单值持续条件可得出类似的四个公式。将单值持续的w x,w y和w z 代入位移计算公式，则可得到单值持续的位移u，v，w。 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值持续的必要和充足条件。如果弹性体中的一条封闭曲线，若收缩至一点必须越出域外，则为:多连通域物体。 一种多连通域物体，可用若干个截面将物体部分的截开，使之成为单连通域。如果所需的截面数为n，则物体为n+1连域。 平面为有两个环形孔的物体，两个截面即可使其成为单连通域，所觉得三连域。 对于多连通域问题，应变满足变形协调方程并不能保证位移在分割后的单连通域内单值持续。由于当位移分别从截面两侧趋近于截面上的某一点时，一般的说其将趋于不同的值。 分别用u+，v+，w+和u-，v-，w-表达截面两侧的位移，则多连通域的位移单值持续条件还需要 补充条件， u+=u-， v+=v-， w+=w- 因此，对于多连通域问题，应变分量满足变形协调方程只是位移持续的必要条件，只有加上上述补充条件后，条件才是充足的。第十六节 弹性应变能函数 弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同步外力的势能也要发生变化。当外力缓慢地(不致引起物体产生加速运动)加到物体上时，视作静力，便可略而不计系统的动能，同步也略去其她能量(如热能等)的消耗，则外力势能的变化就所有转化为应变能(一种势能)储存于物体的内部。我们给出单位体积应变能的体现式。为此，以作用在微小单元ABCD两对边为例来阐明(图18.1)。图16.1 由图可知，作用在ABCD单元上的外力为AD与CB边的。而在AD边单位应变上所做的功为,在CB边单位应变上所做的功为。因此，外力在ABCD变形上所做的总功为 (16.1)而y方向虽有变形，但没有外力作用，因此没有做功。上述所做的功，将所有转化为系统的应变能。如令总应变能为U，则应有 (16.2)此处，U。为单位体积的应变能 (16.3) 上述讨论，不难推广到一般状况，即物体的总应变能为 (16.4)其中 (16.5)或简写为 (16.6)在上式中引入广义胡克定律可得 (16.7)及 (16.8)由上式看出，U。恒为正。 由式(16.7)、(16.8)可知下式成立 (16.9) 及 (16.10) 此处分别为用应力分量及应变分量表达的单位体积应变能(应变能密度)，统称为应变能函数。对于抱负弹性体，则在每一拟定的应变状态下，都具有拟定的应变能。应变能函数是正定的势函数，因此弹性变形能又叫弹性势。式(16.9), (16.10)表达，弹性应变能对任一应变分量的变化率等于相应的应力分量；而弹性应变能对任一应力分量的变化率，就等于相应的应变分量。 前已叙及，物体的变形可以分解为两部分，一部分为体积的变化，一部分为形状的变化。因而应变能也应可以分解为相应的两部分。容易理解，引起体积变化的各向同性的平均正应力(称为静水应力)为，而与之相应的平均正应变为，就是说，下列应力状态不引起微小单元体的形状变化： 因而，由于体积变化所储存在单位体积内的应变能(简称为体变能)为 (16.11) 引起形状变化的应力状态为应力偏量如令由于形状变化所储存在单位体积内的应变能(简称为畸变能)为 (16.12)此处，为应力偏量，为应变偏量。为简便计，我们给出用主应力表达的的体现式， (16.13)从而总应变能密度为 (16.14)由上式看出，系统的总应变能密度与坐标的选择无关，U。是一种不变量。