校本教案四、常见的对称问题1

校本教案四、常见的对称问题及求解方法对称问题在课本中没有具体说明,但却是高考中的热点之一,因此同学们在学习中应牢固掌握。对称问题主要有两大类：中心对称和轴对称。下面就这两方面来做具体说明：一、中心对称1、点关于点的对称，可以利用中点坐标公式求解例1、已知点和点，求点关于点的对称点。解：设，由题意可知点为点与点的中点，即有，解得所以点的坐标为。2、直线关于点的对称，可以利用点到直线的距离来求解例2、已知直线和点，求直线关于点对称的直线。分析：与互相平行，且点到直线的距离等于点到直线的距离解：设直线的方程为：，则有，解得或（舍）所以直线的方程为：。3、图形关于点的对称，可以转化为点关于点的对称来求解例3、求曲线的图象关于点对称的曲线的解析式。解：在曲线上任取一点，则它关于点的对称点为，由点在上可得 即曲线的解析式为。二、轴对称1、点关于直线的对称，可以利用垂直平分线的性质求解例4、已知直线和点，求点关于直线的对称点的坐标。解：设，则由点与点关于直线对称可得，且点与点的中点在直线上。 故有 解得 所以点的坐标为。2、直线关于直线的对称（1）平行线之间的对称，可以利用平行线间的距离公式求解例5、已知直线，求关于的对称直线的方程。解：设直线，则有解得，所以直线的方程为。（2）相交直线之间的对称，可转化为点关于线的对称来求解例6、已知直线，求关于的对称直线的方程。分析：直线与关于直线对称，则直线过直线与的交点，且上的点关于直线的对称点在直线上，由直线方程的两点式即可求出直线的方程。解：由可得，即与的交点为在直线上取点，它关于直线的对称点为在直线上，则有，即，解得，即所以直线的方程为，即。3、图形关于直线的对称，可以转化为点关于点的对称来解决例7、求曲线的图象关于直线对称的曲线的解析式。解：在曲线上任取一点，它关于直线的对称点为，则有 解得 即点的坐标为由点在上可得，即曲线的解析式为。总之，不论是点，线，还是一般图形的对称问题，最终都可以转化为点的对称来解决。 对称思想【例 8】光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。分析：由光学知识知道，入射角与反射角相等，所以反射光线一点经过M点关于x轴的对称点，从而可知，要求的反射光线只要求出M的对称点，再与P点求解直线方程。解：如图2-1-28所示，因为入射角与反射角相等，OyxM图2-1-28P所以反射光线一点经过M点关于x轴的对称点，又因为M关于x轴的对称点的坐标为（-2，-3）所以反射光线的方程为，即。点拨：由于入射角与反射角相等，所以有关反射的问题一般都转化为求解对称点的问题。例9的顶点A(4,1) 其它两角平分线,求BC边所在直线方程分析：三角形一个顶点关于另两角平行线的对称点在这个顶点的对边上解：关于的对称点为，设关于的对称点为则：图B解得： 由两点式可得BC所在直线的方程为评注：本题主要应用对称思想，求出关于两个角平分线的对称点在它的对边上 【例 10】（广东惠州2010年模拟）在平面直角坐标系中，矩形，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为 PBCOyxA图2-1-33分析：将矩形折叠，使点落在线段上，假设O与BC上的点P重合，我们将图形再展开以后，会发现折痕与OP直线垂直，且平分OP，如图2-1-33所示，故折痕所在的直线的斜率可以由于直线OP的斜率决定，故可以取P的两个极端点B与C，决定OP的斜率的取值范围，再求解折痕所在的直线的斜率。当落在时，因为直线OC的斜率不存在，所以折痕所在直线的斜率为；当落在时，因为OB直线的斜率为，所以折痕所在直线的斜率为，所以由于图形可知痕所在直线的斜率的取值范围为。答案：点拨：要求解痕所在直线的斜率，首先要观察出痕所在直线与O点，以及O对应的点之间的关系，也就是本题中痕所在直线与OP垂直，从而将考察痕所在直线的斜率问题，转化为直线OP的斜率的取值范围问题。三、关于点对称问题的一些常用结论（1）点关于原点的对称点为；（2）点关于轴的对称点为；（3）点关于轴的对称点为；（4）点关于直线的对称点为；（5）点关于直线的对称点为；（6）点关于直线的对称点为；（7）点关于直线的对称点为；（8）点关于直线的对称点为；（9）点关于直线的对称点为。