第四讲无穷小与无穷大、极限运算法则少课时

目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 当一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则1 1、无穷小无穷小定义定义1.若0 xx 时,函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如:,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小无穷小.时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!0 xx 时,函数,0)(xf(或 )x则称函数)(xf为0 xx 定义定义1.若(或 )x则时的无穷小无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为0 xx 时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0 Axf)(,目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的重要性质n有界量与无穷小量的乘积是无穷小；有界量与无穷小量的乘积是无穷小；n有限多个无穷小量的和是无穷小；有限多个无穷小量的和是无穷小；n常数与无穷小量的乘积是无穷小；常数与无穷小量的乘积是无穷小；n有限多个无穷小量的乘积也是无穷小。有限多个无穷小量的乘积也是无穷小。目录 上页 下页 返回 结束 2、无穷大无穷大）（)(limxfx定义定义2.若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数)(xf当时为无穷大,使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为则记作)(lim)(0 xfxxx(正数正数 X),记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束）（-)(lim)(0 xfxxx目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时,)(xf不是无穷大!oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明11lim1xx证证:任给正数 M,要使即只要取则对满足10 x的一切 x,有所以.11lim1xx11xy若,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线.渐近线1说明说明:xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 3、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小;若)(xf为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2.在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理3 .若)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBAB0时，目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:定理 可推广到有限个函数加减与乘的情形.推论推论 1.)(lim)(limxfCxfC(C 为常数)推论推论 2.nnxfxf)(lim)(lim(n 为正整数),)(lim,)(limBxgAxf且.BA),()(xgxf定理定理4.4.若目录 上页 下页 返回 结束 定理定理5 5.若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3 直接得出结论.目录 上页 下页 返回 结束 极限的四则运算基本运算见教材P45：例1，例2 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(,)(xQxP都是多项式,0)(0 xQ试证:.)()(lim00 xRxRxx 若说明说明:若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则.目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)nmba,0(00mn 当(如如 P47 例例5)(如如 P47 例例6)(如如 P47 例例7)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当目录 上页 下页 返回 结束 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则说明：在定理说明：在定理6的条件下，求复合函数的极限时，函数符的条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序。号与极限符号可以交换次序。定理定理6 6).()(lim)()(lim,)(lim00 xxafxfafufaxxxau目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小无穷大运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx 时,用代入法(要求分母不为 0)0)2xx 时,对00型,约去公因子、分子有理化x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法