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332 简单的线性规划（基本概念）29*学习目标*1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的最值问题*要点精讲*1. 研究一个问题:设，式中变量满足下列条件。求的最大值和最小值分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线:2x+y=0平行的直线:2x+y=t,tR（或平行移动直线），从而观察t值的变化： 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线：2x+y=0上.作一组与直线平行的直线（或平行移动直线):2x+y=t,tR.可知，当在的右上方时，直线上的点（x,y)满足2x+y0, 即t0.而且，直线往右平移时，可以发现t随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点B（5，2）的直线所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线所对应的t最小.所以： =25+2=12，=21+3=3。2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域, 最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件。t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解*范例分析*例1给出下列命题：线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量或的值；线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其中正确的是( )A. B. C. D.例2已知变量满足约束条件。求的最大值和最小值。例3（1）已知变量满足约束条件，。若目标函数 (其中)仅在点处取得最大值，则a的取值范围是 。（2）已知平面区域D由以为顶点的三角形内部边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数zxmy取得最小值，则等于（ ）A2 B1 C1 D4例4设实数x、y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设，在（1）所求的区域内，求函数的最值规律总结1用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线 （3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解（4）最后求得目标函数的最大值及最小值2已知变量满足约束条件，当时，将直线向上平移时，目标函数的越来越大；当时，将直线向上平移时，目标函数的越来越小。*基础训练*一、选择题1在约束条件下，则目标函数的最优解是（ ）A（0，1），（1，0） B（0，1），（0，-1）C（0，-1），（0，0） D（0，-1），（1，0）2设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）4 11 12 143设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A B C D 4设R为平面上以A（4，1），B（1，6），C（3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x3y的最大值与最小值分别为（ ） A、最大值14，最小值18 B、最大值14，最小值18 C、最大值18，最小值14 D、最大值18，最小值145如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数 取得最小值的最优解有无数个，则为（ ）A、 B、2 C、 D、6二、填空题6已知, 则4a2b取值范围是 。7已知实数、满足则的最大值是 。8设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点 是 。三、解答题9求目标函数的最大值及对应的最优解，约束条件是10求的最大值和最小值，其中满足约束条件。四、能力提高11在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）A. B. C. D. 12己知满足条件：且 (1)试画出点的存在范围；(2)求的最大值.332 简单的线性规划（基本概念）29例1解：选D。注意对概念的辨析。例2分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线：平行的直线：（或平行移动直线），从而观察t值的变化： 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线：2x+y=0上.作一组与直线平行的直线（或平行移动直线):.因为直线化成，斜率为，在轴的截距为，当直线往右平移时，轴的截距为随之增大，因此随之减小。在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点B（5，2）的直线所对应的t最大，以经过点的直线所对应的最小.所以： ，。例3（1）解：变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，目标函数（其中） 中的z表示斜率为a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+)。（2）依题意，令z0，可得直线xmy0的斜率为，结合可行域可知当直线xmy0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数zxmy取得最小值，而直线AC的斜率为1，所以m1，选C。例4解：（1）已知的不等式组等价于解得点所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界） 其中，（2）表示直线在y轴上的截距，且直线与（1）中所求区域有公共点, 当直线过顶点C时，最大C点的坐标为（-3，7）， 的最大值为如果-12，那么当直线过顶点A（2，-1）时，最小，最小值为-1-2.如果2，那么当直线过顶点B（3，1）时，最小，最小值为1-3评注：由于直线的斜率含参数，所以在求截距的最值时，要注意对参数进行讨论，方法是直线动起来*参考答案*1A；2B；3B；提示：设变量、满足约束条件在坐标系中画出可行域ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数 的最小值为3，选B. 4A；5A；提示：当目标函数移动到与直线重合时，取得最小值的最优解有无数个，67已知实数、满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别 是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)， 的最大值是4.8(2,3).；9. 解：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1）， 作直线l0：10 x +15 y =0，再作与直线l0平行的直线l：10 x +15 y =z， 由图象可知，当l经过点（10，1）时使 取得最大值， 显然，此时最优解为（10，1）10先作平面区域，再设，向上平移，过点A(0,2)时，取最大值，过点B(2,2)时，取最小值。11解：由交点为，（1）当时可行域是四边形OABC，此时，（2）当时可行域是OA此时，故选D.12.
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