高数课件20常微分方程

常微分方程常微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。法。本章先从解决这类实际问题入手，引出微本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。类型的微分方程的求解方法。重点重点五种标准类型的一阶方程的求解五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点难点求解全微分方程求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解求常系数非齐次线性方程的通解一、问题的提出一、问题的提出例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 2,1 yx时时其中其中 xdxy2,2Cxy 即即,1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/秒秒的的速速度度行行驶驶,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4.0 米米/秒秒2 2,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内 行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4.022 dtsd,20,0,0 dtdsvst时时14.0Ctdtdsv 2122.0CtCts 代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,204.0 tdtdsv故故,202.02tts 开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需),(504.020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502.02米米 s二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例,xyy ,32xeyyy ,0)(2 xdxdtxt,yxxz 实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏常微分方程偏常微分方程.微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数.分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程,0),(yyxF);,(yxfy 高阶高阶(n)微分方程微分方程,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy ;02)(2 xyyyx分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy .0)(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且独且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,yy 例例;xcey 通解通解,0 yy;cossin21xcxcy 通解通解(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.00),(yyyxfyxx一阶一阶:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分 方程方程0222 xkdtxd的解的解.并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx ,0,00 ttdtdxAx.0,21 CAC所求特解为所求特解为补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来).cosktAx 四、小结四、小结微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4,0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题一、一、填空题填空题:1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数.二二、确确定定函函数数关关系系式式)sin(21cxcy 所所含含的的参参数数,使使其其 满满足足初初始始条条件件1 xy,0 xy.三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微 分分方方程程.四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx,其其中中ba,为为任任意意常常 数数,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 .练习题答案练习题答案一一、1 1、3 3；2 2、2 2；3 3、1 1；4 4、2 2.二二、.2,121 CC 三三、02 xyy.四四、xyy 1.