数值分析复习提纲

数 值 分 析 第一部分 线性方程组的数值解法一、基本要求1、 掌握每一种解法的基本思想，适用范围，收敛条件，计算公式以及误差估计.2、 在应用中不同解法的异同、优劣，加深对算法的理解，最好能上机计算.二、主要概念及结果主要概念定义1.1 对于方程通过某种方法建立了迭代法 （）如果对于任何使得极限成立，则称该迭代法是收敛的.定义1.2 如果，对于，都有成立，则称A是严格对角占优的.主要算法与定理高斯(Gauss)消去法 假设A的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为 计算步骤为1） 把上面的第一个方程除以，在分别乘上后与第k个方程相加（）,得到于是我们从第2到第n个方程中消去了.2） 把上面的第二个方程除以，再分别乘上后与第k个方程相加（）得到于是我们从第3到第n个方程中消去了.3） 继续这个过程直到我们得到 4） 由上面的最后一个方程很容易得到，然后按相反次序回代逐一计算出方程的解.高斯(Gauss)列主元消去法 假设A的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为 （1） 消元过程.对，进行以下运算：1） 选主元.找行号，使得；2） 交换中的两行；3） 消元：对于；对.（2） 回代过程.按下述公式；回代求解即可得到方程组的解.定理1.1 对于，如果A的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U和对角元素为1的下三角矩阵L,使得Doolittle分解 根据定理1.1，对于，如果A的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U和对角元素为1的下三角矩阵L,使得.可以直接计算分解式中的诸元素.为此，我们假设，用U的第k列（）乘L，然后与A的相应列比较，可以逐列（逐行）计算出L(U)的元素.定理1.2 设A是一个对称正定矩阵，则存在唯一的下三角阵L，其对角元素都是正的，使得定理1.3 设A是一个对称正定矩阵，则存在一个单位下三角阵L和对角矩阵D，使得定理1.4 迭代法对于任意收敛的充分必要条件是，其中是迭代矩阵的谱半径.如果及假设A的对角元素，令A=D-L-U,其中D是A的对角部分构成的矩阵.L和U分别是A的严格下（上）三角矩阵，则有以下几个具体算法：雅可比迭代法 高斯-赛德尔迭代法 关于这两个算法的收敛性有如下定理：定理1.5 如果方程组Ax=b的系数矩阵是严格对角占优的，则雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛.定理1.6 如果方程组Ax=b的系数矩阵是对称正定的，则高斯-赛德尔迭代法收敛.第二部分 非线性方程的数值解法一、基本要求掌握每种方法的基本思想、迭代公式、收敛条件以及与其他方法的差异.二、主要概念及结果主要概念定义2.1 对于方程，通过某种方法建立了迭代法 （2.1）如果存在使得极限，则称该迭代法是收敛的.主要算法与定理定理2.1 设有方程，如迭代函数在有根区间a，b上满足：（1） 当时，；（2） 在a，b上可导，且有，则有：（1） 方程在a，b上有唯一的根；（2） 对任意初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的唯一根，即；（3） 误差估计定理2.2 设是方程的根，在的某个邻域内连续，且有，则必存在的一个邻域，对于任意选取的初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的根.二分法 假设的隔根区间为，取，计算.如果，则取，否则取.继续这个过程直到取见足够的小，就可以把最后区间的中点作为方程的近似根.此法称为二分法.牛顿法 计算公式定理2.3 如果，且在的某个邻域内连续，则牛顿法是局部收敛的.弦截法 计算公式第三部分 插值法一、基本要求1、 在算法上要求熟练掌握拉格朗日插值法，等距节点插值法，牛顿插值法.2、 要求能按所给条件，选用适当的近似公式求出近似函数或计算出函数的近似值，并会估计其误差.二、主要概念及结果主要概念定义3.1 设在区间上有定义，且在上的个不同的点的函数值为，若存在一个代数多项式 （3.1）其中为实数，使得成立，则称为函数的插值多项式，点称为插值节点.主要算法与定理定理3.1 在个互异节点上满足插值条件的次数不高于的插值多项式存在且唯一.拉格朗日插值多项式的一般形式其中为插值基函数，插值余项为 其中是区间中的某一个值，且和有关，所以 牛顿插值多项式及余项余项 牛顿前插公式牛顿后插公式第四部分 数值积分与数值微分一、基本要求掌握梯形求积公式、辛普森求积公式以及复化的梯形公式、复化的辛普森公式和龙贝格公式的构造方法.二、主要概念及结果主要概念定义4.1 若求积公式对于任意不高于次的代数多项式都准确成立，而对于次多项式却不能准确成立，则称该求积公式具有次代数精度.定义4.2 将个节点的具有次代数精度的插值型求积公式 称为高斯型求积公式，节点称为高斯点，称为高斯系数.主要算法与定理插值型求积公式 其中 牛顿-柯特斯公式 其中 梯形公式辛普森公式柯特斯公式其中 复化梯形公式复化辛普森公式复化柯特斯公式其中 龙贝格求积公式定理4.1 节点为高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不大于的多项式在上正交，即 .第五部分 常微分方程的数值解法一、基本要求掌握欧拉公式、经典的龙格-库塔公式二、主要概念及结果主要算法和定理显式欧拉方法 隐式欧拉方法梯形公式预报-校正方法预估 校正 龙格-库塔方法二阶龙格-库塔公式 经典的四阶龙格-库塔公式