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第二章 条件概率与统计独立性1、解:自左往右数,排第i个字母的事件为Ai,则,。所以题中欲求的概率为 2、解:总场合数为23=8。设A=三个孩子中有一女,B=三个孩子中至少有一男,A的有利场合数为7,AB的有利场合为6,所以题中欲求的概率P(B|A)为.3、解:(1)M件产品中有m件废品,件正品。设A=两件有一件是废品,B=两件都是废品,显然,则 , 题中欲求的概率为.(2)设A=两件中有一件不是废品,B=两件中恰有一件废品,显然,则 .题中欲求的概率为.(3)P取出的两件中至少有一件废品=4、解:A=甲取出一球为白球,B=甲取出一球后,乙取出一球为白球,C=甲,乙各取出一球后,丙取出一球为白球。则 甲取出的球可为白球或黑球,利用全概率公式得 甲, 乙取球的情况共有四种,由全概率公式得.5、解:设B=两数之和大于10,Ai=第一个数取到i,。则,;。由全概率公式得欲求的概率为.6、解:设A1=从甲袋中取出2只白球,A2=从甲袋中取出一只白球一只黑球,A3=从甲袋中取出2只黑球,B=从乙袋中取出2只白球。则由全概率公式得.7、解:A1=从第一袋中取出一球是黑球,Ai=从第一袋中取一球放入第二袋中,再从第袋中取一球放入第i袋中,最后从第i袋中取一球是黑球,。则.一般设,则,得.由数学归纳法得 .8、解:设A1=飞机第一部分中两弹,A2=飞机第二部分中两弹,A3=飞机第一部分中一弹,A4=其它情况,则A3=第一弹中第一部分且第二弹中第二部分,或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分,或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分,或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分,设B=飞机被击落,则 由全概率公式得9、解:设Ai=第i回出正面,记,则由题意利用全概率公式得 。已知,依次令可得递推关系式 解得当时利用等比数列求和公式得 (*)(1)若,则;(2)若,则当时,;当时,。若,则若,则不存在。(3)若,则由(*)式可得10、解:令分别表示第i次交换后,甲袋中有两只白球,一白一黑,两黑球的事件,则由全概率公式得,.这里有,又,所以,同理有,再由得。所以可得递推关系式为,初始条件是甲袋一白一黑,乙袋一白一黑,即,由递推关系式得,.11、解:设An=家庭中有n个孩子,n=0,1,2,,B=家庭中有k个男孩。注意到生男孩与生女孩是等可能的,由二项分布得由全概率公式得(其中)12、解:(1)设A=至少有一男孩,B=至少有2个男孩。,由得 ,.(2)C=家中无女孩=家中无小孩,或家中有n个小孩且都是男孩,n是任意正整数,则 A1=家中正好有一个男孩=家中只有一个小孩且是男孩,则,且,所以在家中没有女孩的条件下,正好有一个男孩的条件概率为.13、解:设A=产品确为合格品,B=检查后判为合格品。已知,求。由贝叶斯公式得 .14、解:设分别为自250米,200米,150米处射击的事件,B为“命中目标”事件,则,求。间互不相容,B能且只能与中之一同时发生,由贝叶斯公式得.15、解:记事件“发AAAA”为A4,事件“发BBBB”为B4,事件“发CCCC”为C4,事件“收ABCA”为D,则为求,考虑到发AAAA,而收到ABCD,有两个字母被准确收到,另两个字母被误收,故。同理可求得,欲求的概率是,而事件间两两互不相容,又D能且只能与之一同时发生,由贝叶斯公式得欲求的概率为.16、证:(1), 与C独立。 (2) AB与C独立。(3) ,与C独立。17、证: ,同理可证 ,.又有 ,所以相互独立。18、证:必要性。事件相互独立,用归纳法证。不失为一般性,假设总是前连续m个集取的形式。当时,。设当时有,则当时 从而有下列2n式成立:,其中取或。 充分性。设题中条件成立,则, (1). (2) , . (1)+(2)得 。 (3)同理有,两式相加得. (4)(3)+(4)得。同类似方法可证得独立性定义中个式子, 相互独立。19、证: (见本章第17题), ,同理可得 。证毕。20、解:P三次射击恰击中目标一次= P至少有一次命中=1-P未击中一次 21、解:(1)P所有的事件全不发生 。 (2)P至少发生其一 。(3)P恰好发生其一 。22、解:本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记=元件发生故障,=元件发生故障,=元件发生故障。则 P电路断开 。23、解:以表事件“A于第k次试验中出现”,由试验的独立性得,前n次试验中A都不出现的概率为。于是前n次试验中,A至少发生一次的概率为。这说明当重复试验的次数无限增加时,小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近,从而可看成是必然要发生的。24、解:我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的,由此可得。25、解:利用的二项分布可得。 26、解:利用二项分布得。27、解:(1)设A,B,C分别表示每局比赛中甲,乙丙获胜的事件,这是一个的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者,则需在未来的三次中,丙获胜三次;或在前三次中,丙获胜两次乙胜一次,而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为。28、解:利用两个的二项分布,得欲副省长的概率为。29、解:事件A出现奇数次的概率记为b,出现偶数次的概率记为a,则,。利用,可解得事件A出现奇数次的概率为。顺便得到,事件A出现偶数次的概率为。30、解:事件“在出现m次之前出现k次A”,相当于事件“在前次试验中出现k次A,次,而第次出现”,故所求的概率为注:对事件“在出现m次之前出现k次A”,若允许在出现m次之前也可以出现次A,次A等,这就说不通。所以,事件“在出现m次之前出现k次A”的等价事件,是“在出现m次之前恰出现k次A”。而对事件“在出现m次之前出现k次A之前”(记为B)就不一样,即使在出现m次之前出现了次A,次A等,也可以说事件B发生,所以事件B是如下诸事件的并事件:“在出现m次之前恰出现i次A”,。31、解:设经n次试验后,黑球出现在甲袋中,经n次试验后,黑球出现在乙袋中,第n次从黑球所在的袋中取出一个白球。记 。当时,由全概率公式可得递推关系式:,即 。初始条件,由递推关系式并利用等比级数求和公式得。若,则时,当时。若,则对任何n有。若,则(N越大,收敛速度越慢)。32、解:利用普阿松逼近定理,查表计算得,。设以90%的概率希望废品件数不超过k,则,解得。33、解:P=有10个或更多个终端同时操作=P有10个或不足10个终端不在操作。34、解:利用普阿松逼近定理计算,则打中两弹或两终以上的概率为35、解:设A表事件“某事实际上是可行的”,表事件“某事实际上是不可行的”,B表“多数人说可行”,表“多数人说不可行“,利用二项分布得所以作出正确决策的概率为。36、解:(1)由题意得,产生了k个细菌,且这k个细菌全部是甲类细菌的概率为,所以产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为。 (2)产生乙类细菌而无甲类细菌的概率与(1)中概率相同,所以欲求的条件概率为P有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类。37、解:事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用的二项分布得欲求的概率为。38、解:每个错字出现在每页上的概率为,500个错字可看成做500次努里试验,利用普阿松逼近定理计算,得P某页上至少有三个错字=1-P某页上至多有两个错字.39、解:设月初库存k件,则应有.当时,;时,。所以在月初进货时要库存件才行。40、解:设每盒装100+k只,为使每盒有100只以上的好钉,每盒次品数应当,则应有 .由于k值不大,有利用普阿松逼近定理计算,上式可以写成.查表得当时,;当时,。取,。所以一盒应装103只,才能保证每盒中有100只以上好钉的概率小于80%。41、解:每一毫升平均含一个细菌,每2毫升含2个,所以每只试管中含有细菌数服从的普阿松分布。由此可得P5个试管中都有细菌;P至少有三个试管中有细菌.计算时利用了的二项分布。42、解:设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从的普阿松分布,则P1分钟内无车由此得,2分钟内通过的汽车数服从的普阿松分布,从而2分钟内多于一车的概率为.43、解:若蚕产i个卵,则这i个卵变为成虫数服从概率为的二项分布,所以P蚕养出n只小蚕 44、解:设s=该分子在时刻s还没有再受到碰撞,则,令得 ,积分得 .当时,所以,从而 .45、证:可利用巴纳赫氏问题证明。某数学家带着两盒火柴,每次用时他在两盒中任意抓一盒,从中取出一根,因此连续地抽取构成了一串的贝努里试验。假定最初每盒火柴恰巧包含N根,我们考虑:数学家第一次发现空盒子地时刻。在这一时刻,另一盒火柴可能还有r为0,1,N根火柴。设从第一盒中选取为“成功”。“当发现第一盒火柴空时,第二盒中尚有r根火柴“这一事件,等价于”恰有次失败发生在第N+1次成功之前“,这个事件的概率为(见巴斯卡分布)。考虑到两盒火柴所处的地位相同,可得事件”发现一盒空,另一盒中尚有r根火柴“(记为)的概率为.r取0到N的诸事件之和显然是必然事件,由此可得,两边同乘以并利用组合性质变形得,令,并注意到对应r从0变到N,而k是从N变到0,即得要证的等式.46、证:任何一个非1的自然数,皆可唯一地(不计次序时)分解为素数的乘积,要证两数互素,只需验证这两数没有公共素因子就行了。为此,把素数排列为,对任何(自然数)定义事件中独立地取两整数,与不含公因子。把所要求的“事件”的概率定义为。为计算,定义自1,2,N中独立地取两整数,它们有公因子。则由事件容许的和的概率公式得 (1)显然有,因而 (2)(2)式左端的的来由是,而和式中一共有项。由(1),(2)得 (3)在(3)中令得,再令,并利用黎曼函数(参看华罗庚著“数论导引”P236,225)得,欲求的概率为47、解:假设产品合格率,不妨设。现从10000件中抽100件,可视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布,利用普阿松逼近定理得,次品件数不小于两件的概率为此非小概率事件,所以不能据此断定该车间谎报合格率。(注意,这并不代表可据此断定,该车间没有谎报合格率。)
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