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第3章 线性方程组第4章 矩阵的特征值及二次型一、单项选择题1 用消元法得的解为（C）A B C D 2 线性方程组（B） A 有无穷多解 B 有唯一解 C 无解 D 只有零解注：经初等行变换，有,线性方程组有唯一解. 3 向量组，得秩为（A）A 3 B 2 C 4 D 54 设向量组为，则（B）是极大无关组。A B C D 注：极大无关组为：或.5 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组有解，则（A）A B C D 6 若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解，则该线性方程组（A） A 可能无解 B 有唯一解C 有无穷多解 D 无解注：若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明：系数矩阵的秩等于未知量的个数，至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。例与7 以下结论正确的是（D） A方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D齐次线性方程组一定有解（至少有零解，所以正确）8 若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出。 A 至少有一个向量 B 没有一个向量C 至多有一个向量 D 任何一个向量 定理3.69设A,B 为n 阶矩阵，既是A又是B的特征值，既是A又是B的属于的特征向量，则结论（A）成立。 A 是的特征值 B 是的特征值C 是的特征值 D 注：由已知得，从而 选A B 和 D不正确10 设A,B,P 为n阶矩阵，若等式（C）成立，则称A和B相似。A B C D 定义4.2二、填空题1 当1时，齐次线性方程组有非零解.注：2 向量组， 线性相关. 注： 第五行：包含零向量的向量组一定是线性相关的.3 向量组，得秩是3.4 设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有非零解，且系数列向量是线性相关的.5 向量组的极大线性无关组是.6 向量组的秩与矩阵的秩相等. 注： 定理3.97 设线性方程组中有5个未知量，且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.8 设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为：（为任意常数）.9 若是的特征值，则是方程的根. 注： （3）10 若矩阵满足为方阵且，则称为正交矩阵.注： 定义4.5三、解答题1 用消元法解线性方程组解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵：于是知，为唯一解.2 设有线性方程组，为何值时，方程组有唯一解？或有无穷多解？解：方法一：当时，有，方程组有唯一解，于是有于是当且时，方程有唯一解。当时，有，有，知有无穷多解. 当时，有由，方程组无解.于是，当时，方程组有无穷多解.方法二：于是当时，方程组无解. 当时，方程组有无穷多解.当且时，方程有唯一解。3 判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式.其中：，解：若能由向量组线性表示，有 写作线性方程组即为：，于是有 ，所以不能由线性表出.4 计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关？ ，解：由矩阵（以为列）进行初等行变换，有 知向量组的秩为3，由于，所以向量组线性相关.5 求齐次线性方程组的一个基础解系.解：将系数矩阵进行初等行变换，有于是有即，令，得化简，令，则为齐次线性方程组的一个基础解系.6 求线性方程组的全部解.解：将增广矩阵进行初等行变换，有 令，得相应的解向量，令，得相应的解向量，令，得相应的特解，于是线性方程组的全部解为： （其中为任意常数）.7 试证：任一4维向量都可由向量组 ，线性表出，且表出方式唯一，写出这种表出方式.证：由已知可由线性表示，有写作线性方程组，有因为系数行列式所以由克拉默法则，线性方程组有唯一解又因为所以.且表出方式唯一。8 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解.证：本题前提条件为：线性方程组有解首先证明 “” 即： “有唯一解对应齐次线性方程组只有零解”由 线性方程组有解判定定理，有当，即满秩时，线性方程组有唯一解.这时当然有对应齐次方程组，即满秩，所以，对应齐次线性方程组只有零解.其次证明 “”即: “对应齐次线性方程组只有零解有唯一解“首先，由线性方程组有解，有；又对应齐次线性方程组只有零解，有，即满秩；于是有，有结论：线性方程组有唯一解.9 设是可逆矩阵的特征值，且，试证：是矩阵的特征值.证；由已知条件有非零向量，使得 即 上式两端左乘，得-即 整理得 由定义可知，是矩阵的特征值，命题得证.10 用配方法将二次型化为标准型，并写出满秩的线性变换.解：先将含的各项配成一个含的一次式的完全平方，即 令，有 由有即满秩的线性变换为：.可复制、编制，期待你的好评与关注！
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