高等数学(一)复习教程

高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知解： （洛必达）3. （重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求 （洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a解：令 （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1. （洛必达）2. （洛必达或Taylor）3. （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=13.决定，则 B.曲线切法线问题4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。解：5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求，等式取x-0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题6.已知，求点的性质。解：令，故为极小值点。7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，D.幂级数展开问题9.或：10.求解：= E.不等式的证明11.设，证：1）令 2）令F.中值定理问题12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点证：其中将x=1，x=-1代入有两式相减：13.，求证： 证：令令 （关键：构造函数）三、补充习题（作业）1.2.曲线3.4.证明x0时 证：令 第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.2.3.设，求解：4.B.积分性质5.连续，,且，求并讨论在的连续性。解： 6. C.积分的应用7.设在0，1连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解： 8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。解：切线绕x轴旋转的表面积为 曲线绕x轴旋转的表面积为 总表面积为三、补充习题（作业）1.2.3.第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.有二阶连续偏导，满足，求解：2.3.，求B.空间几何问题4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：5.曲面在点处的法线方程。C.极值问题6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。三、补充习题（作业）1.2.3. 第五讲 多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分二、题型与解法A.重积分计算1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：2.为与围域。（3.，求 (49/20)B.曲线、曲面积分4. 解：令 5.,。解：取包含(0,0)的正向， 6.对空间x0内任意光滑有向闭曲面S， ，且在x0有连续一阶导数，,求。解： 第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程会求3.二阶线性常系数(齐次)(非齐次)(非齐次)二、题型与解法A.微分方程求解1.求通解。（2.利用代换化简并求通解。（）3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。解：三、补充习题（作业）1.已知函数在任意点处的增量。(）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七讲 无穷级数一、理论要求1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开3.Fourier级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求的Fourier级数与正余弦级数第十讲 总结1.极限求解变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1. (几何级数)2. (对数替换)3.4.5.6.，求2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导1.2.，求dy/dx3.决定函数，求dy4.已知，验证5.,求3.一元函数积分1.求函数在区间上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函数微分1.，求2.由给出，求证：3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求6.证明满足7.求内的最值。5.多元函数积分1.求证：2.3.4.改变积分次序5.围域。6.常微分方程1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。高等数学考研题型分析 填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用