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专项二 解答题专项,十一、几何综合探究题(针对陕西中考第25题),中考解读：中考解读：几何综合探究题为陕西中考解答题的必考题，题位为第25题，分值为12分。题目综合性强，多涉及类比的思想，设问方式多样，要求学生逐步突破。涉及的图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。涉及的图形变换为平移变换、对称变换、旋转变换。涉及的知识点有全等和相似的性质和判定、勾股定理、一元二次方程、二次函数的最值、圆的有关性质等。主要考查的类型有(1)探究线段长度的最值问题；(2)探究图形面积的最值问题；(3)探究图形面积的分割问题；(4)探究符合条件的点的问题。,解答题专项,类型1 探究线段长度的极值和定值问题 核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数学思想方法:数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。 3.常用解题方法：代数法和几何法。,解答题专项,(一)单动点问题 常见模型一、利用三角形的三边关系解决最值问题 【问题情境】 1.如图，直线l表示河岸，河两岸有A,B两村,现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题,那么水塔修在何处,它到A，B两村的距离和最短? 2.如图，直线l表示河岸，河岸同侧有A，B两村,现在要在河岸边建一座水塔以解决两村的用水问题,那么水塔修在何处,它到A，B两村的距离差最长? 【通解通法】 知识必备：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的两边之差小于第三边。,解答题专项,【问题解决】 三角形的两边之和大于第三边 (1)找点。如图，连接AB交直线l于点P,点P即为所求。 (2)说理。如图，在直线上另取一点P。在APB中，AP+PBAB，当A，P，B三点共线时，AP+PB=AB,此时AP+PB最短。 【反思】此模型实际上是线段公理的证明和有效说理。 三角形的两边之差小于第三边 (1)找点。如图，延长AB交直线l于点P,则|PA-PB|最大。 (2)说理。如图，在直线l上找一点P,连接PB，PA。在APB中，|PA-PB|AB,当A,B,P三点共线时，|PA-PB|=AB，故此时PA-PB最大。,解答题专项,常见模型二、垂线段最短 【问题情境】 1.如图，P为线段BC上一动点，当点P运动到何处时，AP最短？ 【通解通法】 知识必备：垂线段最短。 【问题解决】 垂线段最短 (1)找点。如图，过点A作APBC交BC于点P,点P即为所求。 (2)说理。垂线段最短。,解答题专项,(二)双动点问题 常见模型三、轴对称的性质、垂线段最短 【问题情境】 1.如图，在直线l1和l2上分别找两点B，C,使ABC的周长最小？ 2.如图，在ABC中，AB=2,BAC=45，AD平分BAC,M，N分别为AD,AB上的两个动点，怎样确定点M,N能使BM+MN的值最小？ 【通解通法】 知识必备：(1)轴对称的性质；(2)垂线段最短。,解答题专项,【问题解决】 轴对称的性质 (1)找点。如图，分别找出点A关于直线l1和l2的对称点A1和A2,连接A1A2分别交直线l1和l2于点B,C,此时ABC的周长最小。 (2)说理。由对称性可知，AB=A1B,AC=A2C,故ABC的周长为AB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2。根据“两点之间， 线段最短”可知，此时ABC的周长最小。 垂线段最短 (1)找点。如图，找出点B关于AD的对称点B,过点 B作BNAB分别交AD于点M,交AB于点N。M，N即为 所求。 (2)说理。AD平分BAC,点B关于AD的对称点B在线段AC上，BM=BM。又BNAB于点N,BM+MN=BM+MN=BN。由垂线段最短可知，此时BM+MN的值最小。,解答题专项,常见模型四、平移+将军饮马 【问题情境】 1.如图11，在直线l上找出两个动点P，Q(P，Q两动点之间的距离为定值)，使AP+PQ+BQ的值最小。 【通解通法】 知识必备：(1)平移的性质；(2)轴对称的性质。 【问题解决】 (1)找点。如图12,将点A沿过点A且与直线l平行的直线平移PQ长度得到定点A,作定点A关于直线l的对称点A,连接AB,交直线l于点Q，将点Q沿直线l向左平移PQ长度，得到点P，连接AP，则AP+PQ+BQ的值最小。 (2)说理。请自己完成证明过程。,解答题专项,常见模型五、动点定值模型 “平行定位”法 【问题情境】 1.如图13，在ABC中，BC=a，M是BC上一动点，连接AM,取AM的中点P，随着点M从点B运动到点C,求动点P的路径长。 【通解通法】 知识必备：(1)三角形中位线；(2)平行线间的距离处处相等。 【问题解决】 (1)如图14，过点P作直线EFBC分别交AB，AC于点E，F。点P运动的轨迹在线段EF上。,解答题专项,(2)说理。由动点M找动点P的运动轨迹，过点P，点A分别作BC的垂线交BC于点G，H(如图)，则PGAH。P为AM的中点，PG= AH。又AH为BC边上的高线，点P到BC的距离为定值。在ABC中，EF= BC= a，故动点P的路径长为 a。 “夹角定位”法(又称“旋转+直线型”) 理论依据：平面内，过定点并且与定直线的夹角为定值的点在直线上运动。如图15，已知直线l与定点A，若直线BA与直线l的夹角确定，则动点B始终在直线AB上。 如图16，在ABC中，AB=AC,BAC=90，点P为BC上一动点，AP=AD,PAD=90，线段BC长为定值，在点P从点B向点C运动的过程中，动点D运动的路线是什么，长度等于多少？,解答题专项,【问题解决】 易证ABPACD，故动点D的运动轨迹是一条线段，该线段所在直线垂直于BC，且点D运动的路线的长度为BC长。 此类问题分三步进行思考：(1)找准主动点、从动点以及绕哪一定点运动；(2)由旋转不变性可知，主动点的轨迹和从动点的轨迹相同，位置不同。分析从动点、主动点与定点之间的数量关系(比值)，从而由一个动点确定另一个动点的运动轨迹的长度；(3)整体捆绑，画出图形，解决问题。,解答题专项,例1 (2018陕西中考)【问题提出】 (1)如图，在ABC中，A=120，AB=AC=5，则ABC的外接圆的半径R的值为 。 【问题探究】 (2)如图，O的半径为13，弦AB=24，M是AB 的中点，P是O上一动点，求PM的最大值。 【问题解决】 (3)如图，AB，AC， 是某新区的三条规划路， 其中AB=6 km，AC=3 km，BAC=60， 所 对的圆心角为60。新区管委会想在 路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E，F，也就是，分别在 ，线段AB和AC上选取点P，E，F。由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输，因此要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP。为了快捷、环保和节约成本，要使线段PE，EF，FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值。(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计),解答题专项,解答题专项,解答题专项,类型2 探究图形面积的最值问题 核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。 3.常用解题方法：代数法和几何法。 常见模型一 【问题情境】 1.如图，在ABC中，BC=a,A=，那么ABC的面积和周长是 否有最值？ 【通解通法】 知识必备：(1)三角形的面积公式;(2)同弧所对的圆周角相等。 【问题解决】 如图，BC确定，BC边所对的角确定，故点A在ABC的外接圆的 上。因为BC为定值，所以当BC边上的高最大时ABC的面积最大，而当点A在 的中点A时,ABC为等腰三角形(BC为底边)，此时BC边上的高最大，则ABC的面积最大。,解答题专项,如图，延长BA到点C,使AC=AC,连接CC,取BC的中点O,以O为圆心，OB长为半径作O，延长BO交O于点D,连接DC，则D=C,B，C，C，D四点共圆。因为BD为直径，所以当点A在点O时，ABC为等腰三角形(BC为底边)，此时ABC的周长最大。 结论：定边对定角，等腰时面积最大，周长最大。 常见模型二 【问题情境】 如图,在ABC中，BAC=45，高AD=4，则线段BC的最小值为多少，ABC的面积的最小值是多少？ 【通解通法】 知识必备：(1)三角形的面积公式；(2)同弧所对的圆周角相等；(3)同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；(4)垂径定理。,解答题专项,【问题解决】 如图，作ABC的外接圆O,连接OA，OB，OC,过点O作OEBC交BC于点E。 设BC=2x,则在RtBOE中，BE=OE=x，OB=OA= x。OA+OEAD,即 x+x4,解得x4( -1)，即BCmin=8( -1)。 高AD为定值，ABC的面积的最小值为16( -1)，此时AB=AC, ABC为等腰三角形，此时，易证ABC的周长也最小。 结论：定角夹定高，等腰时面积最小，周长最小。 常见模型三 【问题情境】如图，在ABC中，AB=c，BC=a,B=，高AD=h, 求SABC的定值和最值。 【通解通法】知识必备：解直角三角形及锐角三角函数。 【问题解决】如图，在RtABD中，h=csin ，所以SABC= ah= acsin 。 所以SABC的定值为 acsin ，最大值为 ac。 注：sin 1,当sin =1时，=90。,解答题专项,常见模型四 【问题情境】 如图，在四边形ABCD中，对角线AC=m,BD=n,AOB=，求四边形ABCD的面积的最大值。 【通解通法】 知识必备：(1)解直角三角形；(2)斜大于直。 【问题解决】 如图，分别过点A，C作AFBD,CGBD,垂 足分别为F，G，则S四边形ABCD=SABD+SBCD。 在RtAOF和RtCOG中，AF=OAsin ,CG=OCsin , S四边形ABCD= BDAF+ BDCG= n(AF+CG)= (OA+OC)n sin = mn sin 。 四边形ABCD的面积的最大值为 mn。,解答题专项,注：sin 1,当sin =1时，=90。 面积定值或最值问题常见其他考点：面积与图形变换(旋转、平移、对称、位似)相结合；面积与函数相结合等等。 知识必备：(1)相似三角形的相似比等于对应高的比；,解答题专项,例2 (2016陕西中考)【问题提出】 (1)如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形。 【问题探究】 (2)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它的周长的最小值；若不存在，请说明理由。 【问题解决】 (3)如图，有一矩形板材ABCD，AB=3 m， AD=6 m。现想从此板材中裁出一个面积尽可 能大的四边形EFGH部件，使EFG=90， EF=FG= m，EHG=45。经研究，只 有当点E，F，G分别在边AD，AB，BC上，且AFBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件。试问：能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由。,解答题专项,解答题专项,解答题专项,解答题专项,类型3 探究图形面积的分割问题 核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。 3.解题方法：代数法和几何法。 (一) 过定点的三角形面积等分线 常见模型一 1.如图，在ABC中 ，过点A作一条直线，将 三角形的面积平分。 【通法通解】 (1)理论依据：等底同高的三角形的面积相等。 (2)作法：如图，找出BC边的中点D，过AD作一条直线即可平分ABC的面积。,解答题专项,常见模型二 三角形等积变换(又称“蝴蝶型”) 如图，已知ABC，求作DBC，使SABC=SDBC。 理论依据：同底等高的三角形的面积相等。 作法： 如图，过点A作线段BC的平行线l,直线l上(点A除外)的任何一点满足题目要求。易证SBOD=SAOC。 模型拓展 中线+蝴蝶型1 如图，在ABC中，D为BC上一点，过点D作一条直线，把ABC的面积平分。,解答题专项,【通法通解】 (1)理论依据：等底同高的三角形的面积相等；同底等高的三角形的面积相等。 (2)作法：找出边BC上的中线AE，连接AD，过点E作EFAD,连接DF，DF即为所求。 (3)说理:运用转化思想，找出BC的中点E,则SABE=SACE。由EFAD，得SDEF=SAEF，故SFDC=SACE。即直线DF即为所求。 模型拓展 中线+蝴蝶型2 如图，在四边形ABCD中，过点A作一条直线，把四边形 ABCD的面积平分。 (1)理论依据：同上例。 (2)作法：连接AC,过点D作DEAC交BC的延长线于点E，连接AE，作ABE的边BE上的中线AF，直线AF即为所求。 【结论】三角形的中线将三角形的面积平分，对于多边形来说，经过特定点的一条直线将面积平分等问题往往是“中线+蝴蝶型”的应用，它是平面图形面积平分的有效方法之一。,解答题专项,(二)中心对称图形的面积等分线 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,过点O作一条直线，将四边形ABCD的面积平分。 【通法通解】 (1)理论依据：中心对称图形的性质；全等三角形的 面积相等。 (2)作法:过点O任作一条直线，即可将其面积平分。 (3)说理：易证SAOE=SCOF，SDOE=SBOF，SAOB=SDOC,故EF平分平行四边形的面积。 【结论】平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对角线交点的任何一条直线，都可以将平行四边形的面积平分。矩形、菱形、正方形等特殊的平行四边形，同样可以采用此法将其面积平分。 模型拓展 组合图形面积平分,解答题专项,【通法通解】 (1)理论依据：中心对称图形的性质。 (2)作法：对于组合图形，只要我们把它分割成两个常见基本图形，如图，可分割成两个平行四边形，分别找出每个图形的对称中心，然后过两个对称中心作直线，该直线即可将组合图形的面积平分。 (三)轴对称图形的面积等分线 常见模型三 如图，正五边形的对称轴将正五边形的面积平分。 【通法通解】 (1)理论依据：轴对称图形的性质。 (2)作法:根据图形的特点，画出它的对称轴。 轴对称图形的对称轴是它的面积平分线。,解答题专项,【模型特例】 等分积周线 轴对称图形：它的对称轴既平分它的面积又平分它的周长；中心对称图形：过对称中心的任何一条直线既平分它的面积又平分它的周长。这样的线叫做这个图形的等分积周线。 以三角形为例：一般三角形，是否有等分积周线？ 如图，作ABC的BC边上的中线AD,由模型一可知，AD平 分ABC的面积。又ABAC，BD=DC,ABD与ACD 的周长不相等。过定点不存在这样的线。,解答题专项,分类讨论思想： 如图，假设存在这样一条直线EF,与边BC，AB分别交于E，F两点，并且平分ABC的周长，作FGBC，AHBC。设ABC的面积为S，AB=c，BC=a，AC=b，则周长C=a+b+c。 EF平分ABC的周长,BF+BE= ,AH= 。设BE=x，则BF= 。 易证BGFBHA,则 ,即 ，FG= ,当SBFE= SABC时，建立方程,即 。 若有解，则EF为等分积周线。若无解，则AB， AC上不存在等分积周线。同理在AB，AC；AC，BC边上分别寻找 满足条件的直线。其他两种情况，请同学们自己完成求解过程。,解答题专项,例3 (2017陕西中考)【问题提出】 (1)如图，ABC是等边三角形，AB=12，若点O是ABC的内心，则OA的长为 。 【问题探究】 (2)如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由。 【问题解决】 (3)某城市街角有一草坪，草坪是由ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图。管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头,解答题专项,来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水。于是，他让喷灌龙头的转角正好等于AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，再转回，这样往复喷灌)，同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了。 如图，已测出AB=24 m，MB=10 m，AMB的面积为96 m2；过弦AB的中点D作DEAB交 于点E，又测得DE=8 m。 请你根据以上提供的信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？(结果保留根号或精确到0.01 m),解答题专项,解答题专项,解答题专项,类型4 探究符合条件的点的问题 核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。 3.解题方法：代数法和几何法。 (一)图形中符合条件的点的问题 常见模型一 1.满足最大张角(视野)的点的问题(米勒张角) 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中的第一个极值问题。因为德国数学家米勒曾提出这个问题，所以最大视角问题又称为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下： 如图，已知点A，B是MON的边ON上的两个定点，在OM边上求作一点P，使得APB最大。,解答题专项,【通法通解】 (1)知识必备：射影定理；圆的切线判定；圆中同弧所对圆内 角、圆周角、圆外角的关系。 (2)找点：如图，以OB的长为直径作圆;过点A作ON的垂线交 前圆于点D；连接OD，以点O为圆心，以OB的长为半径画弧， OM于点P;连接PA，PB，则点P就是所要求作的点。 (3)说理：以P，A，B为三点作圆，连接BD，则ODB=90。又DAOB,易证OADODB,OD2=OAOB。又OD=OP,OP2=OAOB，得 。又POA=BOP,OPAOBP,OPA=PBO,OP为O的切线，P为切点，根据同弧所对圆周角大于圆外角，故APB最大。 【反思】最大视角问题在近几年中考中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查，若能从题设中挖掘出其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈，大大减少运算量，降低思维难度，缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则,这类问题会成为学生的一道难题甚至一筹莫展，即使求得结果也费时费力，在此，我们继续强化数学建模思想在压轴题中的运用。,解答题专项,常见模型二 2.图中符合条件的定角问题 在矩形ABCD中，以AB为一边，AB=a,ADa,在其他三边上是否存在点P,使APB=45，若存在，请找出点P，若不存在，请说明理由。 【通法通解】 (1)知识必备：圆中圆心角与圆周角的关系。 (2) 找点：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO,使AOB=90;过点A以点O为圆心，以OA的长为半径画弧，分别交AD,DC,BC于点P;连接PA,PB，则点P就是所要求作的点。 (3)说理:(分类讨论)AB=a，AD=BCa,故以点O为圆心， OA(或OB)为半径的圆与AD,BC必有交点。当aAD 时， 与BC边有两个交点P;当AD= 时，与DC边有一个交点;当 AD 时，与DC没有交点。,解答题专项,【反思】“数无形时难直观，形缺数时难入微”，根据条件运用基本知识点借助“隐圆”找点，再通过相关数据准确地判断满足条件的点的个数，达到数形结合万般好的效果，实现逢河架桥、逢山开路之境界！ 隐形圆的判定：1.到定点距离等于定长的点共圆；2.一组对角互补的四边形共圆； 3.一个外角等于和它不相邻的内对角的四边形共圆；4.蝴蝶型对应角相等；5.定边对定角、定高对定角必有隐形圆。,(二)平面中符合条件的其他图形的点的存在性问题 符合条件的图形的点及解的问题处理策略： 等腰三角形：利用“两圆一线”法找点，建立坐标系或用方程解决问题； 直角三角形：“两线一圆”法找点，利用勾股定理或相似解决问题； 平行四边形：“平行线构造”法或“对角线互相平分”法找点，利用平移规律、中点坐标公式、全等解决问题。 以上模型，前文已有详细讲解，此处不再赘述。,解答题专项,【小技巧】(1)60角考虑等边三角形或特殊直角三角形，探究点的问题，常见“隐圆”常做脚手架；(2)当出现90角的问题，常与“隐圆”、相似、三角函数转移角结合；(3)点的特殊性决定角或边的情况，分类讨论是灵魂。 相似三角形中的几个重要结论和模型： 1.如图，普通母子型,结论：AC2 =ADAB。 2.如图，射影定理(特殊母子型) 结论：AC2 =ADAB;BC2 =BDAB;CD2 =BDAD。 3.一线三等角 如图，三垂直(C=ABE=D),ACBBDE。 如图，三个60(B=ADE=C),ABDDCE。 如图，三等角(B=ACE=D), ABCCDE。,解答题专项,例4 【问题探究】 (1)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,如果BC边上存在点P，使APD为直角三角形，那么请画出满足条件的一个直角三角形，并求出此时AP的长； (2)如图，在四边形ABCD中，ABCD,B=90,AD=10,AB=7,CD=1,点P在边BC上，且APD=90，求BP的长。 【问题解决】 (3)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分 别是某单位的门房及两个仓库，其中OA=100 m， AB=200 m，OC=300 m，单位负责人想选一点P安装 监控装置，用来监控AB,使APB的面积最大，且 APB=2ACB,是否存在满足条件的点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。,解答题专项,
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