【方法指导】求解数列通项公式常用方法

【方法指导】求解数列通项公式常用方法求解数列通项公式的 常用方法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一观察法 例 例 1 ：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，„ （2）K ,17164 ,1093 ,542 ,211（3）K ,52,21,32, 1（4）K ,54,43,32,21- -解：（1）变形为：10 1 1，10 2 1，10 3 1，10 4 1，„„∴通项公式为：1 10 - =nna（2）;122+ =nnn a n（3）;12+=na n（4）1) 1 (1+ - =+nnann. 观察各项的特点，关键是找出各项与项数 n 的关系。二、 定义法例 例 2：已知数列a n 是公差为 d 的等差数列，数列b n 是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2 ，且 a 1 = f (d1)，a 3 = f (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1)， (1)求数列 a n 和 b n 的通项公式； 解：(1)a 1 =f (d1) = (d2) 2 ，a 3 = f (d+1)= d 2 ， ∴a 3 a 1 =d 2 (d2) 2 =2d， ∴d=2，∴a n =a 1 +(n1)d = 2(n1)；又 b 1 = f (q+1)= q 2 ，b 3 =f (q1)=(q2) 2 ， ∴2213) 2 (qqbb -= =q 2 ，由 q∈R，且 q≠1，得 q=2， ∴b n =bq n 1 =4(2) n 1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、 、叠加法例 例 3 ：已知数列 6，9，14，21，30，„求此数列的一个通项。解易知 , 1 21- = -n a an n , 31 2= -a a, 52 3= -a a, 73 4= -a a„„ , 1 21- = -n a an n 各式相加得 ) 1 2 ( 7 5 31- + + + + = - n a a n L ∴ ) ( 52N n n a n + =一般地，对于型如 ) (1n f a an n+ =+类的通项公式，只要 ) ( ) 2 ( ) 1 ( n f f f + + + L 能进行求和，则宜采用此方法求解。四、 叠乘法 例 例 4：在数列na 中，1a =1,(n+1)1 + na =nna ，求na 的表达式。解：由(n+1)1 + na =nna 得11+=+nnaann， 1aa n=12aa23aa34aa.1 - nnaa=n nn 1 1433221=- L所以na n1=一般地，对于型如1 + na = f (n)na 类的通项公式，当 ) ( ) 2 ( ) 1 ( n f f f L 的值可以求得时，宜采用此方法。五、 公式法若已知数列的前 n 项和nS 与na 的关系，求数列 na 的通项na 可用公式 -=-211n S Sn San nnnLL L L L 求解。例 例 5：已知下列两数列 na 的前 n 项和 s n 的公式，求 na 的通项公式。（1）13- + = n n S n。（2）12- = n s n解：（1）1 1 11 1- + = = S ana =1 -n nS S = 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (3 3- - + - - - + n n n n =3 2 32+ - n n此时，1 12 S a = = 。∴na =3 2 32+ - n n 为所求数列的通项公式。（2）01 1= = s a ，当 2 n 时1 2 1 ) 1 ( ) 1 (2 21- = - - - - = - =-n n n s s an n n由于1a 不适合于此等式 。∴ -=) 2 ( 1 2) 1 ( 0n nna n注意要先分 n=1 和 2 n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例 例 6. 设数列 na 的首项为 a 1 =1，前 n 项和 S n 满足关系) , 4 , 3 , 2 , 0 ( 3 ) 3 2 ( 31L = = + -n t t S t tSn n 求证：数列 na 是等比数列。解析：因为 ) 1 ( ) , 4 , 3 , 2 , 0 ( 3 ) 3 2 ( 31L L L = = + -n t t S t tSn n所以 ) 2 ( ) , 4 , 3 , 2 , 0 ( 3 ) 3 2 ( 32 1L L L = = + - -n t t S t tSn n 得：) 2 ( ) 1 ( -所以，数列 na 是等比数列。六、 阶差法例 例 7.已知数列 na 的前 n 项和nS 与na 的关系是nn nbba S) 1 (11+- + - =，其中 b 是与 n 无关的常数，且 1 - b 。求出用 n 和 b 表示的 a n 的关系式。解析：首先由公式： -=-211n S Sn San nnnLL L L L得：) 2 1 ( 1) 1 (1121+=+=+-nbbabbabbann n 12221) 1 1(1+- -+=+nn nbbabbabb L L L L133322) 1 1( )1(+- -+=+nn nbbabbabb 111122) 1 1( )1(+- -+=+nnn nbbabbabb11 2111 3 211) 1 ( ) 1 1 ( 1+-+-+ + +=+ + + + += nnnnnnnnbb b bbbbb b b babbaLL 12) 1 (+ + += nnnbb b baL+ -=+1) 1 )( 1 (12111bb bb bbnnnnLL L L L 利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即 其和为 n 。) , 2 (33 20 ) 3 2 ( 3) , 4 , 3 , 2 , 0 ( 0 ) )( 3 2 ( ) 3112 1 1N n nttaaa t tan t S S t S S tnnn nn n n n += = + - = = - + - - - -L （七、 待定系数法例 例 8：设数列 nc 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c 1 =2，c 2 =4，c 3 =7，c 4 =12，求通项公式 c n解：设1) 1 (-+ - + =nnbq d n a c1322111212 37 242-+ = = + += + += + += +nnn cabdqbq d abq d abq d ab a 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列 na 为等差数列：则 c bn a n + = ， cn bn s n + =2（b、为常数），若数列 na为等比数列，则1 -=nnAq a ， ) 1 , 0 ( - = q Aq A Aq snn。八、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例 例 9.在数列 na 中， 11= a ， 22= a ，n n na a a31321 2+ =+ +，求na 。解析：在n n na a a31321 2+ =+ +两边减去1 + na ，得 ) (311 1 2 n n n na a a a - - = -+ + + ∴ n na a -+1是以 11 2= -a a 为首项，以31- 为公比的等比数列， ∴11)31(-+- = -nn na a ，由累加法得 na =1 1 2 2 1 1) ( ) ( ) ( a a a a a a an n n n+ - + + - + - - -= + -2)31(n+ -3)31(n„ 1 1 )31( + + - =311)31( 11+- - n= 1 )31( 1 431+ - - n= 1)31(4347- -n 例 例 10.设0a 为常数，且112 3- =nnna a （*N n ）， 证明：对任意 n≥1，02 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 51a an n n nn - + - + =证明：设， ) 3 ( 2 311- - - = -nnnnt a t a用112 3- =nnna a 代入可得51= t∴ 53 nna - 是公比为 2 - ，首项为531 -a 的等比数列， ∴10) 2 ( )532 1 (53- - - = -nnna a （*N n ）， 即：012 ) 1 (52 ) 1 ( 3a an nn n nn - + - +=- 型如 a n+1 =pa n +f(n) (p 为常数且 p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等. (1)f(n)= q (q 为常数)，可转化为 a n+1 +k=p(a n +k)，得 a n +k 是以 a 1 +k 为首项，p 为公比的等比数列。例 例 11：已知数 na 的递推关系为 1 21+ =+ n na a ，且 11 =a 求通项na 。解： 1 21+ =+ n na a∴ ) 1 ( 2 11+ = + n na a令 1 + =n na b则辅助数列 nb 是公比为 2 的等比数列 ∴11-=nnq b b 即n nnq a a 2 ) 1 ( 111= + = +-∴ 1 2 - =nna例 例 12 ：已知数列na 中 11= a 且11+=+nnnaaa （ N n ）， ，求数列的通项公式。解：11+=+nnnaaa∴ 11 1 11+ =+=+ n nnna aaa，设nnab1= ，则 11+ =+ n nb b故nb 是以 1111= =ab 为首项，1 为公差的等差数列∴ n n b n = - + = ) 1 ( 1∴n bann1 1= =例 例 13.设数列 na 的首项113(01) 2 3 42nnaa a n- = = ， ， ，. （1）求 na 的通项公式；解：（1）由132 3 42nnaa n-= = ， ，.，整理得 111 (1 )2n na a- = - - 又11 0 a - ，所以 1 na - 是首项为11 a - ，公比为12- 的等比数列，得1111 (1 )2nna a- = - - - 注：一般地，对递推关系式 a n+1 =pa n +q (p、q 为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成 )1(11pqa ppqan n- =-+ 则pqa n-1成等比数列，实际上，这里的pq- 1是特征方程 x=px+q 的根。(2) f(n)为等比数列，如 f(n)= q n(q 为常数) ，两边同除以 q n ，得 111+ =+nnnnqapqaq ，令b n =nnqa，可转化为 b n+1 =pb n +q 的形式。例 例 14.已知数列a n 中，a 1 =65， a n+1 =31a n +（21）n+1 ，求 an 的通项公式。解：a n+1 =31a n +（21）n+1乘以 2 n+1得2 n+1 an+1 =32(2n an )+1 令 b n =2n an则 b n+1 =32b n +1易得 b n = 3 )32(341+ - n即2n an = 3 )32(341+ - n ∴a n =n n2332+ -(3) f(n)为等差数列 例 例 15.已知已知数列a n 中，a 1 =1，a n+1 +a n =3+2 n，求 a n 的通项公式。解：a n+1 +a n =3+2 n，a n+2 +a n+1 =3+2(n+1)，两式相减得 a n+2 -a n =2因此得，a 2n+1 =1+2(n-1), a 2n =4+2(n-1),∴ a n =+ 是偶数是奇数n nn n, 2,。注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。(4) f(n)为非等差数列，非等比数列 例 例 16.在数列 na 中，11 12 (2 )2 ( )n nn na a a n l l l+ *+= = + + - N ， ，其中 0 l （）求数列 na 的通项公式； 解：由11(2 )2 ( )n nn na a n l l l+ *+= + + - N ， 0 l ， 可得1112 21n nn nn na al l l l+ - = - + ， 所以2nnnal l - 为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故21nnnanl l - = - ，所以数列 na的通项公式为 ( 1) 2n nna n l = - + 这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。九、 归纳、猜想如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。例 例 17.已知点的序列*), 0 , ( N n x An n ，其中 01= x ， ) 0 (2 = a a x ，3A 是线段2 1 AA 的中点，4A 是线段3 2 AA 的中点，„，nA 是线段1 2 - - n nA A 的中点，„ （1）写出nx 与2 1 , - - n nx x 之间的关系式（ 3 n ）。（2）设n n nx x a - =+1，计算3 2 1, , a a a ，由此推测 na 的通项公式，并加以证明。（3）略 ：解析：（1） nA 是线段3 2 - - n nA A 的中点， ∴ ) 3 (22 1+=- -nx xxn nn （2）a a x x a = - = - = 01 2 1， 21 22 3 22xx xx x a -+= - = = a x x21) (211 2- = - - ， 32 33 4 32xx xx x a -+= - = = a x x41) (212 3= - - ， 猜想 *) ( )21(1N n a ann - =-，下面用数学归纳法证明 01当 n=1 时， a a =1显然成立； 02假设 n=k 时命题成立，即 *) ( )21(1N k a akk - =-则 n=k+1 时，kk kk k kxx xx x a -+= - =+ + +211 2 1=k k ka x x21) (211- = - -+= a ak k)21( )21)(21(1- = - - ∴ 当 n=k+1 时命题也成立，∴ 命题对任意*N n 都成立。例 例 18：在数列na 中， 1 , 221 1+ - = =+na a a an n，则na 的表达式为。分析p ：因为 1 , 221 1+ - = =+na a a an n，所以得：5 , 4 , 34 3 2= = = a a a ， 猜想：1 + = n a n 。十 、 倒数法数列有形如 0 ) , , (1 1=- - n n n na a a a f 的关系，可在等式两边同乘以 ,11 - n n aa先求出. ,1nnaa再求得例 例 19 设数列 na 满足 , 21= a ), N (31+=+naaannn求 .na解：原条件变形为 . 31 1 n n n na a a a = + + +两边同乘以 ,11 +n na a得11 13 1+= +n na a. 11321 1,21 1)21 13-+= + + = +nn n na a a（∴ .1 3 221- =- nna综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析p 求通项公式并不困难.第 15 页 共 15 页