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2.3函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数图像描述自左向右看图像是_自左向右看图像是_(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_或_，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有_；(2)存在x0I，使得_(3)对于任意xI，都有_；(4)存在x0I，使得_结论M为最大值M为最小值难点正本疑点清源1函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间3单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结1(课本改编题)f(x)x22x (x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.2(课本改编题)函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_3已知函数yf(x)在R上是减函数，A(0，2)、B(3,2)在其图像上，则不等式2f(x)2的解集为_4下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)e2 Df(x)ln(x1)5已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f0.(1)若2f(1)f(1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数；(3)若函数f(x)在区间1，)上是增函数，求a的取值范围探究提高(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是：取值作差变形确定符号下结论(2)利用导数证明的一般步骤：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论导数法是比较常用的一种方法 已知f(x) (xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内是递增的；(2)若a0且f(x)在(1，)内是递减的，求a的取值范围题型二求函数的单调区间例2求函数y(x23x2)的单调区间探究提高求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(5)本题的易错点是忽视函数的定义域 求函数y的单调区间题型三抽象函数的单调性及最值例3已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，y0都有ff(x)f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明(3)若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域2.函数的单调性与不等式试题：(12分)(2011太原模拟)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.审题视角(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”，是本小题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(2)2213，f(a2a5)2f(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2)12分解函数不等式的问题一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1.构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)x2)；(2)作差f(x1)f(x2)，然后变形；(3)判定f(x1)f(x2)的符号；(4)根据定义得出结论2求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义，利用图像和单调函数的性质，利用导数的性质3复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称为：同增异减失误与防范1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上是增加的或减少的单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示2两函数f(x)、g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1给定函数y，y(x1)，y|x1|，y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是() A BC D2若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是 ()A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,13已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A一定大于0 B一定小于0C等于0 D正负都有可能二、填空题4函数f(x)的单调增区间为_5设x1，x2为yf(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1x2)f(x1)f(x2)0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；0且a1，若函数f(x)loga(ax2x)在3,4上是增函数，则a的取值范围是_三、解答题7已知函数f(x) (a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值8试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0)B组专项能力提升题组一、选择题1若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增2已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)3已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)二、填空题4已知函数f(x) (a1)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_5若函数f(x)a|xb|2在0，)上为增函数，则实数a、b的取值范围是_6设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_7已知函数f(x) (a是常数且a0)对于下列命题：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)在R上是单调函数；若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a1；对任意的x10，x20且x1x2，恒有f0成立(1)判断f(x)在1,1上的单调性；(2)解不等式：f(x)f()；(3)若f(x)m22am1对所有的a1,1恒成立，求实数m的取值范围答案要点梳理1(1)f(x1)f(x2)上升的下降的(2)增函数减函数区间D2(1)f(x)M(2)f(x0)M (3)f(x)M(4)f(x0)M基础自测11,482.，13.(3,0)4.A5.C题型分类深度剖析例1(1)解由2f(1)f(1)，可得22aa，得a.(2)证明任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2)ax1ax2a(x1x2)a(x1x2)(x1x2).0x1，0x2，00，f(x)在0，)上单调递减(3)解任取1x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)，f(x)单调递增，所以f(x1)f(x2)0.又x1x20恒成立1x1x1，x1，x2.相加得(x1x2)，0a.变式训练1(1)证明任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内是递增的(2)解任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知00，则x2.函数y(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而yu在(0，)上是单调减函数，y(x23x2)的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1)变式训练2解令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)例3(1)证明设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)0，y0时，ff(x)f(y)，令xy0，则f(1)f(x)f(x)0.(2)设x1，x2(0，)，且x1x10.1，f0.f(x2)f(x1)，即f(x)在(0，)上是增函数(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函数f(x)minf(1)0，f(x)maxf(16)，f(4)2，由ff(x)f(y)，知ff(16)f(4)，f(16)2f(4)4，f(x)在1,16上的值域为2,4课时规范训练A组1B2.D3.A4.3，)5.6(1，)7(1)证明设x2x10，设x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是单调递增的(2)解f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，f，f(2)2.易得a.8解设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x20，x10，x10.1x1x20.0.因此，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数在(1,1)上为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0且b061，)78解(1)任取x1，x21,1，且x10，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1,1上是增函数(2)f(x)在1,1上单调递增，x1.(3)f(1)1，f(x)在1,1上是递增的在1,1上，f(x)1.问题转化为m22am11，即m22am0，对a1,1成立下面来求m的取值范围设g(a)2mam20.若m0，则g(a)00，对a1,1恒成立若m0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)0，对a1，1恒成立，必须g(1)0，且g(1)0，m2，或m2.m的取值范围是m0或m2或m2.
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