积分基本公式

2.基本积分公式表(1)0dx=C (2)=ln|x|+C(3) (m-1，x0)(4) (a0,a1)(5) (6)cosxdx=sinx+C(7)sinxdx=-cosx+C(8)sec2xdx=tanx+C(9)csc2xdx=-cotx+C(10)secxtanxdx=secx+C (11)cscxcotxdx=-cscx+C (12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注(1)不是在m=-1的特例(2)=ln|x|+C ，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|) =1/x事实上，对x0，(ln|x|) =1/x；若x0，则(ln|x|) =(ln(-x) =. (3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分 下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=j(x)分别在点y0=j(x0)与x0可导，则复合函数z=fj(x)在x0可导，且或(f o j) (x0)=f (y0)j (x0)证对应于自变量x0处的改变量Dx，有中间变量y在y0=j(x0)处的改变量Dy及因变量z在z0=f(y0)处的改变量Dz，（注意Dy可能为0）现Dz=f(y0)Dy+v，Dy=j(x0)Dx+u， 且令，则v=Day，（注意，当Dy=0时，v=Day仍成立）y在x0可导又蕴含y在x0连续，即Dy=0于是 =f (y0)j (x0)+0j (x0)=f (y0)j (x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程(2) 计算复合函数的过程：xy z 复合函数求导的过程：zy x ：各导数相乘例 求y=sin5x的导数解令u=5x，则y=sinu于是 y =cosu5=5cos5x例 求y=lncosx的导数解令u=cosx，则y=lnu于是 y = 例 求幂函数y=xm的导数，m为任意实数解因y=，令u=mlnx，则y=eu y =eum m是正整数n时，即例(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数： 复合函数的求值： xyzuvw 复合函数的求导：wvuzyx ：各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数例 求的导数解 = (5) 链锁法则的微分形式是：df(j(x)=f(j(x)dj(x) 例 求函数 y= 的微分解dy =dsin2x=2sinxdsinx =2sinx cosxdx=sin2xdx 思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算 设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式(1) (uv) = u v，d(uv) = dudv 公式(2) (uv) = u v+uv，d(uv) = vdu+udv 公式(3) (cu) = cu，d(cu) = cdu 公式(4) ，(v0)点击此处看公式(1)(4)的证明 例 求y=tanx的导数解(tanx) = =sec2x同理可得(cotx) =-csc2x例 求y=secx的导数解(secx) = =secx tanx同理可得(cscx) =-cscx cotx例 求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数解一y =(1+4x)(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3) =4(2x2-3x3)+(1+4x)(22x-33x2) =8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3 解二因y =2x2+5x3-12x4，故 y =22x+53x2-124x3=4x+15x2-48x3例 求函数y=(x+sinx)lnx的微分解dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx =lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)dx =lnx(dx+cosxdx)+dx =dx2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)如果xX-x0，我们称Dx=x-x0 0(D读作delta)为自变量的改变量，Dy=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率如果极限 存在，则称函数y=f(x)在点x0可导 (或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)记作因Dx=x-x0，x=x0+Dx，故还有此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)的切线方程是注意.Dx可正可负，依x大于或小于x0而定 根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：(1) 计算函数在自变量x0+Dx处的函数值f(x0+Dx)；(2) 计算函数的改变量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；(3) 写出函数的差商；(4) 计算极限，即导数值例 求常数函数y=c的导数解因Dy=y(x+Dx)-y(x)=c-c=0，差商=0，故 =0此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0例 设n是正整数，求幂函数y=xn 在点x处的导数解因y(x+Dx)=(x+Dx)n=xn+，Dy=y(x+Dx)-y(x)=，故= 特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1例 求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程解在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y(2)=322=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12(x-2) 12x-y-16=0注(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y(x)，xX 于是y(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数例如我们说常数函数y=c的导数是0， y=x的导数是1，y=xn的导数是等等，分别记作c =0，x =1，(xn) =等等(2)关于改变量的记号D，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sinx中的sin一样，绝不能把Dx看成D与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(Dx)2来表示Dx的平方而不写Dx2 从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明) 例 y=sinx的导数是(sinx) =cosx，y=cosx的导数是(cosx) =-sinx 例 y=logax(0a1)的导数是(logax) = 特别，(lnx) =1/x 例 指数函数y=ax(0a1)的导数是(ax) =axlna 特别，(ex) =ex 8. 导数的导数-二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y =f (x)，如果它还可导，我们又可得f (x)的导数：(y ) =f (x) ，称为y=f(x)的二阶导数，记作y =f (x)，或=如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，的导数，对任意正整数n ，n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1) ，n=2，3，统称为函数y 的高阶导数例 求y=sinx的n阶导数解y =cosx=sin，用归纳法不难求出 y(n)=sin例 若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s (t)=v(t)是运动速度又,二阶导数s(t)=v (t)=a(t)则是运动的加速度例 求y =arc tanx的二阶导数y 解y =，y =-(1+x2)-2(1+x2) =思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f (x)还可导，那么f (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式求导公式 求微分公式 (1) c =0 (2) ( xm) =mxm-1(3) (ax) =axlna (ex ) =ex(4) (logax) = (lnx) =(5) (sinx) =cosx(6) (cosx) =-sinx(7) (tanx) =sec2x(8) (cotx) =-csc2x(9) (secx) = secx tanx(10) (cscx) = -cscx cotx(11) (arcsinx) = (12) (arccosx) =-(13) (arctanx) =(14) (arccotx) =- dc=0 dxm=mxm-1dx，mRdax=axlnadx，0 a1dex=exdxdlogax=，0x0；在左侧时xx0动直线PQ是曲线的割线如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由QP产生的而QP即xx0设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为a, PT的斜率为k=tana现在割线PQ的斜率为：而切线PT的斜率为：(PQ的斜率) = ,由此得切线PT的方程是：y-f(x0)=k( x-x0)