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2.基本积分公式表(1)0dx=C (2)=ln|x|+C(3) (m-1,x0)(4) (a0,a1)(5) (6)cosxdx=sinx+C(7)sinxdx=-cosx+C(8)sec2xdx=tanx+C(9)csc2xdx=-cotx+C(10)secxtanxdx=secx+C (11)cscxcotxdx=-cscx+C (12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注(1)不是在m=-1的特例(2)=ln|x|+C ,ln后面真数x要加绝对值,原因是(ln|x|) =1/x事实上,对x0,(ln|x|) =1/x;若x0,则(ln|x|) =(ln(-x) =. (3)要特别注意与的区别:前者是幂函数的积分,后者是指数函数的积分 下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四则运算6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分,它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义定理.(链锁法则)设z=f(y),y=j(x)分别在点y0=j(x0)与x0可导,则复合函数z=fj(x)在x0可导,且或(f o j) (x0)=f (y0)j (x0)证对应于自变量x0处的改变量Dx,有中间变量y在y0=j(x0)处的改变量Dy及因变量z在z0=f(y0)处的改变量Dz,(注意Dy可能为0)现Dz=f(y0)Dy+v,Dy=j(x0)Dx+u, 且令,则v=Day,(注意,当Dy=0时,v=Day仍成立)y在x0可导又蕴含y在x0连续,即Dy=0于是 =f (y0)j (x0)+0j (x0)=f (y0)j (x0)为理解与记忆链锁法则,我们作几点说明:(1) 略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式,其右端似乎约去dy后即得左端,事实上,由前面定理的证明可知,这里并不是一个简单的约分过程(2) 计算复合函数的过程:xy z 复合函数求导的过程:zy x :各导数相乘例 求y=sin5x的导数解令u=5x,则y=sinu于是 y =cosu5=5cos5x例 求y=lncosx的导数解令u=cosx,则y=lnu于是 y = 例 求幂函数y=xm的导数,m为任意实数解因y=,令u=mlnx,则y=eu y =eum m是正整数n时,即例(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数: 复合函数的求值: xyzuvw 复合函数的求导:wvuzyx :各导数相乘(4) 在熟练掌握链锁法则以后,为简便写法,中间变量v,u,z,y等可不必写出,只要做到心中有数例 求的导数解 = (5) 链锁法则的微分形式是:df(j(x)=f(j(x)dj(x) 例 求函数 y= 的微分解dy =dsin2x=2sinxdsinx =2sinx cosxdx=sin2xdx 思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程,函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算,因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则,两个方面必须同时考虑.5. 导数与微分的四则运算 设u=u(x),v=v(x)为可导函数,c是常数,则有公式(1) (uv) = u v,d(uv) = dudv 公式(2) (uv) = u v+uv,d(uv) = vdu+udv 公式(3) (cu) = cu,d(cu) = cdu 公式(4) ,(v0)点击此处看公式(1)(4)的证明 例 求y=tanx的导数解(tanx) = =sec2x同理可得(cotx) =-csc2x例 求y=secx的导数解(secx) = =secx tanx同理可得(cscx) =-cscx cotx例 求y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数解一y =(1+4x)(2x2-3x3)+(1+4x)(2x2-3x3) =4(2x2-3x3)+(1+4x)(22x-33x2) =8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3 解二因y =2x2+5x3-12x4,故 y =22x+53x2-124x3=4x+15x2-48x3例 求函数y=(x+sinx)lnx的微分解dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx =lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)dx =lnx(dx+cosxdx)+dx =dx2. 导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题,我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义,y0=f(x0)如果xX-x0,我们称Dx=x-x0 0(D读作delta)为自变量的改变量,Dy=f(x)-f(x0)为函数的(对应)改变量,比值为函数的差商或平均变化率如果极限 存在,则称函数y=f(x)在点x0可导 (或可微),该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)记作因Dx=x-x0,x=x0+Dx,故还有此时,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的切线方程是注意.Dx可正可负,依x大于或小于x0而定 根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是:(1) 计算函数在自变量x0+Dx处的函数值f(x0+Dx);(2) 计算函数的改变量Dy=f(x0+Dx)-f(x0);(3) 写出函数的差商;(4) 计算极限,即导数值例 求常数函数y=c的导数解因Dy=y(x+Dx)-y(x)=c-c=0,差商=0,故 =0此处x可为任意实数,即常数函数y=c在任意点x处的导数为0例 设n是正整数,求幂函数y=xn 在点x处的导数解因y(x+Dx)=(x+Dx)n=xn+,Dy=y(x+Dx)-y(x)=,故= 特别,当n=1时,函数y=x在任意点x处的导数为1例 求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程解在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2,于是在点(2,8)处的切线斜率是:y(2)=322=12,故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y-8=12(x-2) 12x-y-16=0注(1)从上述例子我们看到,一般情况下,给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导,这样可求出X内每一点的导数y(x),xX 于是y(x)成为X内有定义的一个新函数,我们称它为给定函数y=f(x)的导函数,且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”,甚至简称f(x)的导数例如我们说常数函数y=c的导数是0, y=x的导数是1,y=xn的导数是等等,分别记作c =0,x =1,(xn) =等等(2)关于改变量的记号D,应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量,就象sinx中的sin一样,绝不能把Dx看成D与x的乘积,特别,为避免误解,我们用(Dx)2来表示Dx的平方而不写Dx2 从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例2.3.4,例2.3.5,例2.3.6证明) 例 y=sinx的导数是(sinx) =cosx,y=cosx的导数是(cosx) =-sinx 例 y=logax(0a1)的导数是(logax) = 特别,(lnx) =1/x 例 指数函数y=ax(0a1)的导数是(ax) =axlna 特别,(ex) =ex 8. 导数的导数-二阶导数一般来说,函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数:y =f (x),如果它还可导,我们又可得f (x)的导数:(y ) =f (x) ,称为y=f(x)的二阶导数,记作y =f (x),或=如果它还可导,我们就可继续逐次求三阶,四阶,的导数,对任意正整数n ,n阶导数被定义为y(n)=(y(n-1) ,n=2,3,统称为函数y 的高阶导数例 求y=sinx的n阶导数解y =cosx=sin,用归纳法不难求出 y(n)=sin例 若s =s(t)为质点运动的路程函数,则s (t)=v(t)是运动速度又,二阶导数s(t)=v (t)=a(t)则是运动的加速度例 求y =arc tanx的二阶导数y 解y =,y =-(1+x2)-2(1+x2) =思考题.对于可导函数y=f(x)来说,导数f (x)表示曲线的切线斜率,请你考虑,如果f (x)还可导,那么f (x)的正或负,反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数,使二阶导数取正或负值,然后作出函数的图像,观察二阶导数对函数图像的影响.7. 基本初等函数的导数与微分公式求导公式 求微分公式 (1) c =0 (2) ( xm) =mxm-1(3) (ax) =axlna (ex ) =ex(4) (logax) = (lnx) =(5) (sinx) =cosx(6) (cosx) =-sinx(7) (tanx) =sec2x(8) (cotx) =-csc2x(9) (secx) = secx tanx(10) (cscx) = -cscx cotx(11) (arcsinx) = (12) (arccosx) =-(13) (arctanx) =(14) (arccotx) =- dc=0 dxm=mxm-1dx,mRdax=axlnadx,0 a1dex=exdxdlogax=,0x0;在左侧时xx0动直线PQ是曲线的割线如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限则称PT为曲线在P点的切线为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由QP产生的而QP即xx0设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为a, PT的斜率为k=tana现在割线PQ的斜率为:而切线PT的斜率为:(PQ的斜率) = ,由此得切线PT的方程是:y-f(x0)=k( x-x0)
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