MBA统计学08列联表及对数线性模型

统计学从数据到结论第八章列联表、列联表、c c2检验和对数线性模型检验和对数线性模型 三维列联表三维列联表（关于某项政策调查所得结果（关于某项政策调查所得结果:table7.txt）观点：赞成观点：不赞成低收入中等收入高收入低收入中等收入高收入男201055810女25157279列联表列联表l前面就是一个所谓的三维前面就是一个所谓的三维列联表列联表(contingency table).l这些变量中这些变量中每个都有两个或更多的可能取每个都有两个或更多的可能取值值。这些取值也称为。这些取值也称为水平水平；比如收入有三；比如收入有三个水平，观点有两个水平，性别有两个水个水平，观点有两个水平，性别有两个水平等。平等。该表为该表为322列联表列联表l在下面在下面SPSS数据中，表就和上面的不同，数据中，表就和上面的不同，收入的收入的“低低”、“中中”、“高高”用代码用代码1、2、3代表；性别的代表；性别的“女女”、“男男”用代码用代码0、1代表；观点代表；观点“赞成赞成”和和“不赞成不赞成”用用1、0代表。有些计算机数据对于这些代码的形代表。有些计算机数据对于这些代码的形式不限（式不限（可以是数字，也可以是字符串可以是数字，也可以是字符串）。）。列联表列联表l列联表的中间各个变量不同水平的交列联表的中间各个变量不同水平的交汇处，就是这种水平组合出现的频数汇处，就是这种水平组合出现的频数或或计数计数（count）。）。l二维的列联表又称为二维的列联表又称为交叉表交叉表（cross table）。）。l列联表可以有很多维。维数多的叫做列联表可以有很多维。维数多的叫做高维列联表。高维列联表。l注意前面这个列联表的变量都是定性注意前面这个列联表的变量都是定性变量变量;但列联表也会带有但列联表也会带有定量变量作为定量变量作为协变量。协变量。二维列联表的检验二维列联表的检验 l研究列联表的一个主研究列联表的一个主要目的是看这些变量要目的是看这些变量是否相关。比如是否相关。比如前面前面例子中的例子中的收入和观点收入和观点是否相关是否相关。l这需要形式上的检验这需要形式上的检验二维列联表的检验二维列联表的检验 l下面表是把该例的三维表简化成下面表是把该例的三维表简化成只有收入只有收入和观点的二维表和观点的二维表(这是这是SPSS自动转化自动转化的的:Analyze-Descriptive Statistics-Crosstabs-.).OPINION*INCOME CrosstabulationCount71519414525128252403112301OPINIONTotal123INCOMETotal二维列联表的检验二维列联表的检验l对于上面那样的二维表。我们检验的对于上面那样的二维表。我们检验的零假设和备选假设为零假设和备选假设为lH H0 0:观点和收入这两个变量不相关观点和收入这两个变量不相关;H H1 1:这这两个变量相关。两个变量相关。l这里的检验统计量在零假设下有（大这里的检验统计量在零假设下有（大样本时）样本时）近似的近似的c c2 2分布。分布。l当该统计量很大时或当该统计量很大时或p p-值很小时，就值很小时，就可以拒绝零假设，认为两个变量相关。可以拒绝零假设，认为两个变量相关。二维列联表的检验二维列联表的检验l实际上有不止一个实际上有不止一个c c2 2检验统计量。包括检验统计量。包括Pearson c c2 2统计量统计量和和似然比似然比（likelihood ratio）c c2 2统计量统计量；它们；它们都有渐近的都有渐近的c c2 2分布。分布。l对于我们的数据，根据计算可以得到对于我们的数据，根据计算可以得到（对于这两个统计量均有）（对于这两个统计量均有）p p-值小于值小于0.0010.001。因此可以说，收入高低的确影。因此可以说，收入高低的确影响观点。响观点。21niiiiOEQE12lnniiiiOTOEPearson c c2 2统计量统计量似然比似然比c c2 2统计量统计量二维列联表的检验二维列联表的检验l刚才说，这些刚才说，这些c c2 2统计量是近似的，统计量是近似的，那么那么有没有精确的统计量呢？有没有精确的统计量呢？l当然有。这个检验称为当然有。这个检验称为FisherFisher精确精确检验检验；它不是；它不是c c2 2分布，而是分布，而是超几何超几何分布分布。l对本问题对本问题,计算计算FisherFisher统计量得到统计量得到的的p p-值也小于值也小于0.0010.001。lFisherFisher精确检验的又一例子精确检验的又一例子二维列联表的检验二维列联表的检验l聪明的同学必然会问，既然有精确检聪明的同学必然会问，既然有精确检验验为什么为什么还要用近似的还要用近似的c c2 2检验呢？检验呢？l这是因为当数目很大时，超几何分布这是因为当数目很大时，超几何分布计算相当缓慢（比近似计算会差很多计算相当缓慢（比近似计算会差很多倍的时间）；而且在计算机速度不快倍的时间）；而且在计算机速度不快时，根本无法计算。因此人们多用大时，根本无法计算。因此人们多用大样本近似的样本近似的c c2 2统计量。而列联表的有关统计量。而列联表的有关检验也和检验也和c c2 2检验联系起来了。检验联系起来了。具体运算：先具体运算：先加权加权，加权之后，按照次序选，加权之后，按照次序选AnalyzeDescriptive StatisticsCrosstabs。在打开的对话框中，把在打开的对话框中，把opinion和和income分别选入分别选入Row（行）和（行）和Column（列）；至于哪个放入行或（列）；至于哪个放入行或哪个放入列是没有关系的。哪个放入列是没有关系的。如果要如果要Fisher精确检验则可以点精确检验则可以点Exact，另外在，另外在Statistics中选择中选择Chi-square，以得到，以得到c c2检验结果。检验结果。最后点击最后点击OK之后，就得到有关之后，就得到有关Pearson c c2统计量、统计量、似然比似然比c c2统计量以及统计量以及Fisher统计量的输出了统计量的输出了(这里这里的的Sig就是就是p-值值)。Chi-Square Tests20.456a2.000.00021.1902.000.00020.713.00020.290b1.000.000.000.000123Pearson Chi-SquareLikelihood RatioFishers Exact TestLinear-by-LinearAssociationN of Valid CasesValuedfAsymp.Sig.(2-sided)Exact Sig.(2-sided)Exact Sig.(1-sided)PointProbability0 cells(.0%)have expected count less than 5.The minimum expected count is 10.33.a.The standardized statistic is-4.504.b.下面就是下面就是SPSSSPSS计算机对于这个问题的输出计算机对于这个问题的输出高维列联表和高维列联表和(多项分布多项分布)对数线性模型对数线性模型 l前面例子前面例子原始数据是个三维列联表，原始数据是个三维列联表，其检验和对两维类似。其检验和对两维类似。l但高维列联表在计算机软件的选项但高维列联表在计算机软件的选项上有所不同，而且可以构造一个所上有所不同，而且可以构造一个所谓谓(多项分布多项分布)对数线性模型对数线性模型(loglinear model)来进行分析。来进行分析。l利用对数线性模型的好处是不仅可利用对数线性模型的好处是不仅可以直接进行预测，而且可以增加以直接进行预测，而且可以增加定定量变量作为模型自变量的一部分。量变量作为模型自变量的一部分。对数线性模型对数线性模型l现在简单直观地通过二维表介绍一下对数线性模现在简单直观地通过二维表介绍一下对数线性模型，假定不同的行代表第一个变量的不同水平，型，假定不同的行代表第一个变量的不同水平，而不同的列代表第二个变量的不同水平。用而不同的列代表第二个变量的不同水平。用mij代表二维列联表第代表二维列联表第i行，第行，第j列的频数。人们常假列的频数。人们常假定这个频数可以用下面的公式来确定：定这个频数可以用下面的公式来确定：ln()ijijijm这就是所谓的对数线性模型。这里这就是所谓的对数线性模型。这里 i i为行变量的为行变量的第第i个水平对个水平对ln(mln(mijij)的影响，而的影响，而 j j为列变量的第为列变量的第j个水平对个水平对ln(mln(mijij)的影响，这两个影响称的影响，这两个影响称为主效应为主效应（main effect）；ijij代表随机误差。代表随机误差。(多项分布多项分布)对数线性模型对数线性模型l该模型看上去和回归模型很象，但由该模型看上去和回归模型很象，但由于分布假设不同，不能简单地用线性于分布假设不同，不能简单地用线性回归的方法来套用回归的方法来套用(和和LogisticLogistic回归类回归类似似)；计算过程也很不一样；计算过程也很不一样(把这个留把这个留给计算机去操心给计算机去操心)。只要利用数据来拟。只要利用数据来拟合这个模型就可以得到对于参数合这个模型就可以得到对于参数m m的估的估计计(没有意义没有意义)，以及，以及 i i和和 j j的的“估计估计”。l有了估计的参数，就可以预测出任何有了估计的参数，就可以预测出任何i i，j j水平组合的频数水平组合的频数m mijij了了(通过对数通过对数)(多项分布多项分布)对数线性模型对数线性模型l注意，这里的估计之所以打引号是注意，这里的估计之所以打引号是因为一个变量的各个水平的影响是因为一个变量的各个水平的影响是相对的相对的,l只有事先固定一个参数值只有事先固定一个参数值(比如比如 1 1=0=0),),或者设定类似于或者设定类似于SSi i=0=0这样这样的约束，才可能估计出各个的值。的约束，才可能估计出各个的值。l没有约束，这些参数是估计不出来没有约束，这些参数是估计不出来的。的。（多项分布）对数线性模型（多项分布）对数线性模型l二维列联表的更完全的对数线性模型为二维列联表的更完全的对数线性模型为ln()()ijijijijm 这里的这里的(ijij代表第一个变量的第代表第一个变量的第i i个水平个水平和第二个变量的第和第二个变量的第j j个水平对个水平对ln(mln(mijij)的共同的共同影响，称为影响，称为交叉效应交叉效应。即当单独作用时，。即当单独作用时，每变量的某水平对每变量的某水平对ln(mln(mijij)的影响只有的影响只有 i i(或或 j j)大，但如这两个变量共同影响就不仅是大，但如这两个变量共同影响就不仅是 i i+j j，而且还多出一项。，而且还多出一项。这里的交叉项的诸参数的大小也是相对的，这里的交叉项的诸参数的大小也是相对的，也需要也需要约束条件约束条件来得到其来得到其“估计估计”。用用table7.txttable7.txt数据拟合对数线性模型数据拟合对数线性模型l假定（多项分布）对数线性模型为假定（多项分布）对数线性模型为 这里这里 i为收入（为收入（i1,2,31,2,3代表收入的低、中、高三代表收入的低、中、高三个水平），个水平），j为观点（为观点（j1,21,2代表不赞成和赞成两代表不赞成和赞成两个水平），个水平），g gk为性别（为性别（k1,21,2代表女性和男性两代表女性和男性两个水平）个水平）,mijk代表三维列联表对于三个变量的第代表三维列联表对于三个变量的第ijk水平组合的出现次数，水平组合的出现次数，ijk为残差为残差 而从相应的参数估计输出结果，可以得到对而从相应的参数估计输出结果，可以得到对 i i的的三个值的估计为三个值的估计为0.5173,0.2549,0.0000,0.5173,0.2549,0.0000,对对 j j的的两个值的估计为两个值的估计为-0.6931,0.0000,-0.6931,0.0000,对对g gk k的两个值的两个值的估计为的估计为 0.1139,0.0000 0.1139,0.0000。(多项对数线性模型多项对数线性模型无常数项无常数项)ln()ijkijkijkmg对数线性模型对数线性模型l高维表的检验统计量和二维表一样高维表的检验统计量和二维表一样也包含了也包含了Pearson c c2统计量和似然统计量和似然比比c c2统计量统计量,检验对数线性模型拟检验对数线性模型拟合的好坏程度的。合的好坏程度的。l就我们这里的三维列联表问题，如就我们这里的三维列联表问题，如果只考虑各个变量单独的影响，而果只考虑各个变量单独的影响，而不考虑变量组合的综合影响，计算不考虑变量组合的综合影响，计算机输出的机输出的Pearson c c2统计量和似然统计量和似然比比c c2统计量得到的统计量得到的p-值分别为值分别为0.0029和和0.0011。多项分布对数线性模型的多项分布对数线性模型的SPSS实现实现l数据数据table7.sav 假定已经加权假定已经加权(加权一次并存盘了既加权一次并存盘了既可可)l这时的选项为这时的选项为AnalyzeLoglinearGeneral,l首先选择格子中频数的分布首先选择格子中频数的分布,这里是多项分布这里是多项分布(其默认值其默认值是是Poisson对数线性模型对数线性模型).l然后把三个变量然后把三个变量(sex,opinion,income)选入选入Factors(因因子子);l再选再选Model(模型模型)，如果选，如果选Saturated(饱和模型饱和模型),那就是那就是所有交叉效应都要放入模型所有交叉效应都要放入模型;但如果不想这样但如果不想这样,可以选可以选Custom(自定义自定义),在在Building Terms(构造模型的项构造模型的项)选选Main effect(主效应主效应),再把三个变量一个一个地选进来再把三个变量一个一个地选进来(如果两个或三个一同选入，等于选入交叉效应如果两个或三个一同选入，等于选入交叉效应).l如果想要知道模型参数，在如果想要知道模型参数，在Options中选择中选择Estimates。l最后最后Continue-OK即可得出结果即可得出结果.l在计算机输出的结果中可以找到我们感兴趣的结果。在计算机输出的结果中可以找到我们感兴趣的结果。l如果如果SPSS的的Viewer输出不完全，可以选中不完全的输输出不完全，可以选中不完全的输出，利用出，利用Edit-Copy Objects来复制到例如记事本那样来复制到例如记事本那样的文件中，就可以看到完整输出了的文件中，就可以看到完整输出了注意，无论你对模型假定了多少注意，无论你对模型假定了多少种效应，并不见得都有意义；有种效应，并不见得都有意义；有些可能是多余的。本来没有交叉些可能是多余的。本来没有交叉影响，但如果写入，也没有关系，影响，但如果写入，也没有关系，在分析过程中一般可以知道哪些在分析过程中一般可以知道哪些影响是显著的，而那些是不显著影响是显著的，而那些是不显著的。然后可决定舍取变量。的。然后可决定舍取变量。另一种对数线性模型另一种对数线性模型l常用的对数线性模型主要是两种常用的对数线性模型主要是两种,我们已经介绍了我们已经介绍了多项分布多项分布对数线性对数线性模型模型(格子里面的频数满足多项分格子里面的频数满足多项分布布)。l另一类为另一类为PoissonPoisson对数线性模型对数线性模型.它它假定每个格子里面的频数满足一假定每个格子里面的频数满足一个个PoissonPoisson分布分布.l在统计软件的选项中会有关于分布在统计软件的选项中会有关于分布的选项的。的选项的。Poison Poison对数线性模型对数线性模型 l有的时候，类似的高维表并不一定满足多项分布对数线性模型。有的时候，类似的高维表并不一定满足多项分布对数线性模型。下面例子是关于哮喘病人个数和空气污染程度，年龄和性别的下面例子是关于哮喘病人个数和空气污染程度，年龄和性别的数据（数据（asthma.txt）l数据为某地在一段时间记录下来的数据为某地在一段时间记录下来的60组在不同空气污染状态的组在不同空气污染状态的不同年龄及不同性别的人的发生哮喘的人数。不同年龄及不同性别的人的发生哮喘的人数。Poison Poison对数线性模型对数线性模型 l其中性别为定性变量其中性别为定性变量S（sex,1代表女性，代表女性，2代表男性），代表男性），l空气污染程度空气污染程度P也是定性变量（也是定性变量（polut,1、2、3分别代表轻度、中度和严重污染），分别代表轻度、中度和严重污染），l年龄年龄A(age)为定量变量，为那一组人的平为定量变量，为那一组人的平均年龄；均年龄；l数目数目C(count)为相应组的哮喘人数。为相应组的哮喘人数。l该表格和前面的列联表的不同点在于每一该表格和前面的列联表的不同点在于每一格的计数并不简单是前面三个变量的组合格的计数并不简单是前面三个变量的组合的数目（某个年龄段，某种性别及某种污的数目（某个年龄段，某种性别及某种污染下的人数），而是代表了某个年龄段，染下的人数），而是代表了某个年龄段，某种性别及某种污染下发生哮喘的人数。某种性别及某种污染下发生哮喘的人数。PoissonPoisson对数线性模型对数线性模型l假定哮喘发生服从假定哮喘发生服从PoissonPoisson分布；但是由于条件分布；但是由于条件不同，不同，PoissonPoisson分布的参数分布的参数l l也应该随着条件的变也应该随着条件的变化而改变。这里的条件就是给出的性别、空气污化而改变。这里的条件就是给出的性别、空气污染程度与年龄。当然，如何影响以及这些条件影染程度与年龄。当然，如何影响以及这些条件影响是否显著则是我们所关心的。这个模型可以写响是否显著则是我们所关心的。这个模型可以写成成 这里这里m m为常数项，为常数项，i i为性别（为性别（i=1,2i=1,2分别代分别代表女性和男性两个水平），表女性和男性两个水平），j j为空气污染为空气污染程度（程度（j=1,2,3j=1,2,3代表低、中高三个污染水代表低、中高三个污染水平），平），x x为连续变量年龄，而为连续变量年龄，而g g为年龄前面为年龄前面的系数，的系数，ijij为残差项。为残差项。ln()ijijxlmgPoissonPoisson对数线性模型对数线性模型l从对于数据从对于数据(a s t h m a.t x t)(a s t h m a.t x t)的的PoissonPoisson对数线性模型的相应对数线性模型的相应SPSSSPSS输出，可以得到对输出，可以得到对m m的估计为的估计为4.98204.9820，对对 i i的 两 个 值 的的 两 个 值 的“估 计估 计”为为-0.06080.0608、0.0000 0.0000，对，对 j j的三个值的三个值的的“估计估计”为为-0.1484-0.1484，0.12230.1223、0.00000.0000，对，对g g的估计为的估计为 0.0126 0.0126。l注意，这里的对主效应注意，这里的对主效应 I I和和 j j的估的估计只有相对意义；它们在一个参数计只有相对意义；它们在一个参数为为0 0的约束条件下得到的。的约束条件下得到的。PoissonPoisson对数线性模型对数线性模型l看来，年龄和性别对哮喘影响不很显看来，年龄和性别对哮喘影响不很显著。轻度污染显然比中度污染和严重著。轻度污染显然比中度污染和严重污染哮喘要好。但是似乎严重污染时污染哮喘要好。但是似乎严重污染时哮喘稍微比中度污染少些哮喘稍微比中度污染少些(不显著不显著)。l通过更进一步的分析通过更进一步的分析(这里略这里略)，可以发，可以发现，中度和严重空气污染（无论单独现，中度和严重空气污染（无论单独还是一起）和轻度空气污染比较都显还是一起）和轻度空气污染比较都显著增加哮喘人数，而中度及严重污染著增加哮喘人数，而中度及严重污染时的哮喘人数并没有显著区别。时的哮喘人数并没有显著区别。Poisson对数线性模型的对数线性模型的SPSS实现实现l数据数据asthma.sav 假定已经加权假定已经加权 l这时的选项为这时的选项为AnalyzeLoglinearGeneral,l首先选择格子中频数的分布首先选择格子中频数的分布,这里是这里是Poisson分布。分布。l然后把两个变量（然后把两个变量（sex，polut）选入）选入Factors（因子），（因子），把把age选入选入Cell Covariate(s)。l再选再选Model（模型），这里以选（模型），这里以选Custom（自定义），（自定义），在在Building Terms（构造模型的项）选（构造模型的项）选Main effect（主效应），再把三个变量一个一个地选进来。（主效应），再把三个变量一个一个地选进来。l如果想要知道模型参数，在如果想要知道模型参数，在Options中选择中选择Estimates。最后最后Continue-OK即可得出结果。即可得出结果。l在结果中可以找到有关在结果中可以找到有关Pearson c c2统计量和似然比统计量和似然比c c2统统计量的检验结果及参数的估计（如果计量的检验结果及参数的估计（如果SPSS的的Viewer输输出不完全，可以选中不完全的输出，利用出不完全，可以选中不完全的输出，利用Edit-Copy Objects来复制到例如记事本那样的文件中，就可以看来复制到例如记事本那样的文件中，就可以看到完整输出了）。到完整输出了）。思考思考：列联表与列联表与Poisson对数线性模型，对数线性模型，以及后以及后面要介绍的试验设计的面要介绍的试验设计的数据表有什么区别？数据表有什么区别？Fisher精确检验一例精确检验一例Chi-Square TestsChi-Square Tests10.288b1.001.002.0019.1071.00310.4961.001.002.001.002.001113Pearson Chi-SquareContinuity CorrectionaLikelihood RatioFishers Exact TestN of Valid CasesValuedfAsymp.Sig.(2-sided)Exact Sig.(2-sided)Exact Sig.(1-sided)Computed only for a 2x2 tablea.0 cells(.0%)have expected count less than 5.The minimum expected count is23.45.b.SPSS:Weight-Describ-crosstab-exact返回返回table7.txt 其中有变量性别其中有变量性别(sex)、观点、观点(opinion)和收入和收入(income)；每一列相应于其代表的变量的每一列相应于其代表的变量的水平水平;每一行为一种水平的组合每一行为一种水平的组合(共有共有23212种组合种组合(12行行),),而每种组合的数目而每种组合的数目(也就是列联表中的频数也就是列联表中的频数)在在number那一列上面，这就是每种组合的权重那一列上面，这就是每种组合的权重(weight),),需要把这个数目考虑进去需要把这个数目考虑进去,称为加权称为加权(weight).).如果不加权，最后结果按照所有组合只如果不加权，最后结果按照所有组合只出现一次来算出现一次来算(也就是说，按照列联表每一格的频也就是说，按照列联表每一格的频数为数为1).).由于在后面的选项中没有加权的机会由于在后面的选项中没有加权的机会,因因此在一开始就要加权此在一开始就要加权.方法是点击图标中的小天平方法是点击图标中的小天平(“(“权权”就是天平的意思就是天平的意思),),出现对话框之后点击出现对话框之后点击Weught cases，然后把，然后把“number”选入即可。选入即可。返返回回9、静夜四无邻，荒居旧业贫。22.8.1022.8.10Wednesday,August 10,202210、雨中黄叶树，灯下白头人。20:11:2320:11:2320:118/10/2022 8:11:23 PM11、以我独沈久，愧君相见频。22.8.1020:11:2320:11Aug-2210-Aug-2212、故人江海别，几度隔山川。20:11:2320:11:2320:11Wednesday,August 10,202213、乍见翻疑梦，相悲各问年。22.8.1022.8.1020:11:2320:11:23August 10,202214、他乡生白发，旧国见青山。2022年8月10日星期三下午8时11分23秒20:11:2322.8.1015、比不了得就不比，得不到的就不要。2022年8月下午8时11分22.8.1020:11August 10,202216、行动出成果，工作出财富。2022年8月10日星期三20时11分23秒20:11:2310 August 202217、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。下午8时11分23秒下午8时11分20:11:2322.8.109、没有失败，只有暂时停止成功！。22.8.1022.8.10Wednesday,August 10,202210、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。20:11:2320:11:2320:118/10/2022 8:11:23 PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。22.8.1020:11:2320:11Aug-2210-Aug-2212、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。20:11:2320:11:2320:11Wednesday,August 10,202213、不知香积寺，数里入云峰。22.8.1022.8.1020:11:2320:11:23August 10,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年8月10日星期三下午8时11分23秒20:11:2322.8.1015、楚塞三湘接，荆门九派通。2022年8月下午8时11分22.8.1020:11August 10,202216、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2022年8月10日星期三20时11分23秒20:11:2310 August 202217、空山新雨后，天气晚来秋。下午8时11分23秒下午8时11分20:11:2322.8.109、杨柳散和风，青山澹吾虑。22.8.1022.8.10Wednesday,August 10,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。20:11:2320:11:2320:118/10/2022 8:11:23 PM11、越是没有本领的就越加自命不凡。22.8.1020:11:2320:11Aug-2210-Aug-2212、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。20:11:2320:11:2320:11Wednesday,August 10,202213、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。22.8.1022.8.1020:11:2320:11:23August 10,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年8月10日星期三下午8时11分23秒20:11:2322.8.1015、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2022年8月下午8时11分22.8.1020:11August 10,202216、业余生活要有意义，不要越轨。2022年8月10日星期三20时11分23秒20:11:2310 August 202217、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。下午8时11分23秒下午8时11分20:11:2322.8.10MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blandit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis ut cursus.感 谢 您 的 下 载 观 看感 谢 您 的 下 载 观 看专家告诉