杭州育才中学二零零九年中考二次函数专题复习

二零零九年中考二次函数专题复习一、 数学知识及要求层次数学内容维度数学内容子维度数学能力维度二次函数1、 二次函数表达式掌握2、 二次函数图象及其性质掌握3、用二次函数及其图象解决简单的实际问题灵活应用二、 近年二次函数考题及分值分布情况二七年卷型题号题型分值二八年卷型题号题型分值四月调考25解答12四月调考23解答102512五月调考25解答12五月调考25解答12样卷25解答12样卷25解答12中考25解答12中考12选择323解答102512纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：1、 综合性强。初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。2、 分值较重。从07年到08年，二次函数的分值逐年加大。3、 覆盖面广。二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。4、 09年展望。估计09年中考，题型不会有大的变化，主要出现在第12题、23题、25题中，且难易和08年相当。三、 典型例题及练习、（2008年武汉市中考题）第12题教学建议：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。下列命题中正确的是若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3练习 若b24ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。 当c=5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式为y=x25x+4。 若抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。 若抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。 若ab+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a0）必过一定点。 若b23ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。 若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。 若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。二 （2008年武汉市中考） 第23题 教学建议：本大题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件，设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为件y件。 求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。 如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润是多少？练习1，某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x元（x为10的正整数倍），每周销售量为y件 。 求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？练习2，某布鞋每双的进价为40元，现在的售价为每双50元，每月可卖出500双，市场调查反映：如果每双布鞋的售价每涨2元（售价每双不能高于100元），那么每月少卖10双，设每双布鞋涨价x元（x为2的正整数倍），每月销售量为y双 。 求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。 如何定价才能使每月的利润最大且每月销量较大？每月的最大利润是多少？练习3，某机械租凭公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营时间发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费，管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租凭公司租出该型号设备的月收益（收益=租金收入支出费用）为y（元）。 用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； 求y与x之间的二次函数关系式； 当月租金分别为300元和350元时，租凭公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说时理由； 请把中所求出的二次函数配方成顶点式的形式，关据此说明，当x为何值时，租凭公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？三（2007年武汉市四月调考）第25题 教学建议：本大题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件。如图，直线y=kxk2(k0)与x轴交于点A，与y轴交于点C,与抛物线y=ax2有唯一公共点B，点B在x轴上的正投影为点E，已知点D（0，4）。（1） 求抛物线的解析式；（2） 是否存在实数k，使经过D，O，E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B，若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由；（3） 连接DE，CE，已知点F（0，1），直线FA与CE相交于点M，直线AC与DE相交于点N，不论k取何值，在ENM=NCE，E设M=NCD两个等式中有一个恒成立。请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论。 图1 图2练习1、如图1，矩形OBSC的边OB、OC分别在x轴，y轴上，直线y=x+m与x轴交于E，与y轴交于F，将矩形沿EF折叠，使点o落在sc上的o处，点o在x轴上的正投影为A，抛物线y=ax2+bx16a4b经过A，B，C，已知点A（1，0）（1） 求抛物线解析式（2） 以点D（o,t）(t0)为圆心，2为半径作D，问：是否存在实求t，使直线y=kx既与抛物线有唯一公共点又和D也有唯一公共点？若存在，求出此时t的值，若不存在，请说明理由。（3） 如图2，连接BC，AC，过点N（0，）作NPx轴交抛物线于点P，连PC，PA。下列两个结论：PCB=ACBAPCPCB=ACBABC，其中只有一个正确，请选择正确的结论并予以证明。图1 图2练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c与y 轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点。（1） 求此抛物线的解析式（2） 若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式。（3） 若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。四(2007年武汉市五月调考)第25题 已知直线y=kx+2k+2（其中k为常数），当k为任何实数时，直线y=kx+2k+2都会经过定点A，抛物线y=ax2+1经过点A。（1） 求抛物线y=ax2+1的解析式；（2） 如图，过C(0,2)任作一条直线，交抛物线于P，Q两点，P，Q两点在x轴上的正投影分别为点M，N。请探究PQ，PM和QN这三条线段之间的数量关系；（3） 在第（2）问的条件下，在MN2=2PMQN，MN2=4PMQN两个等式中有一个成立，请判断哪一个成立，并证明这个成立的结论。五（2007年武汉市中考题）第25题 如图1，在平面直角坐标系中，RtAOBRtCDA，且A（1，0）、B（0，2），抛物线y=ax2+ax2经过点C（1） 求抛物线的解析式；（2） 在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P，Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由。 图1（3） 如图2，E为BC的延长线上一动点，过A，B，E三点作O，连接AE，在O上另有一点F，且AF=AE，AF交BC于点G，连接BF，下列结论：BE+BF的值不变；BF/AF=BG/AG其中有且只有一个成立，请你判断那一个结论成立，并证明成立的结论 图2（六）（2008年武汉市四月调考题）第25题 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2axb与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于C点，且A（4，0），OC=2OB。（1） 求此抛物线的解析式；（2） 如图1，作矩形ABDE，使DE过点C，点P是AB边上的一动点，连接PE，作PHPE交BD于点H，设线段PB的长为X，线段BH的长为y，当P点运动时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围。在同一直角坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中y0的部分有何关系？ 图1（3） 如图2，在（1）的抛物线中，点T为其顶点，L为抛物线上一动点（不与点T重合），取点N（1，0），作MNLN且MN=LN（点M、N、L按逆时针顺序），当点L在抛物线上运动时，直线AM，TL是否存在某种确定的位置关系？若存在，写出并证明你的结论；若不存在，请说明理由。 图2练习1 如图，抛物线y=ax2+6ax-4(a0)交x轴于A、B，交y轴于C，且AB=OC。（1） 求抛物线解析式；（2） 设抛物线顶点为M，ABC的外接圆为P，连接MC并延长交x轴于N，判定直线MC与P的位置关系并证明。（3） 直线y=-+k(k0)交x轴于D，交y轴于E，交MC于F，连接PE，不论K为何值，结论EDA=CFP；EFC=EPD中那一个恒成立？请选择正确选择并证明。练习2 如图，已知抛物线-x2+(m+1)x+3与x轴交于点A、B（A在B左边），与y轴交于C点，当x1时，y随的增大而增大，当x1时，y随的增大而减小。（1） 求抛物线的解析式；（2） 如图，已知点P（1，t）（t0），设抛物线的顶点为E，问：是否存在实数，使以P为圆心的P恰好在线段AB和线段BE上截得的线段长相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由（3） 如图，若直线y=kx-k2(k0)与x轴交于N，交y轴于D，已知F（0，-），直线AF与DN交于点M，连CM、CN、CA，不论k取何值时，在MCN=MCD；MN/CN=定值两个等式中哪一个恒成立，判断并证明成立的结论。（七）（2008年武汉市五月调考题）第25题如图1，直线分别交x轴，y轴于点A，C，点B为线段AC中点，连接OB，将BOC折叠，使点B落在边OC上点F处，折痕为DE，EFx轴。（1） 求点E和点F的坐标；（2） 若经过点E、F的抛物线与x轴交于点G、H，且点G坐标为（，0），求该抛物线的解析式； 图1（3）若点P是（2）中抛物线上（x轴下方）一点（图2），PF交x轴于N，问是否存在使SGFNSGFP的点P？若存在，请求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由。 图2练习1 如图1，抛物线y=ax2+4ax+c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，3），点G为抛物线的顶点，且OG=。（1）求抛物线的解析式；（2）D点在y轴正半轴上，OD=OC，F是x轴正半轴上的一动点，EFDF交线段BC于E，设线段OF的长度为x，SDEF=y，当F点运动时，求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）如图2，设（1）中的抛物线顶点为G，将（1）中的抛物线沿x轴翻折，所得抛物线的顶点为N，问（1）中的抛物线上是否存在点P，使SPBG=S四边形AGBN？若存在，请求出点P的坐标；若不存在请说明理由。 图1 图2练习2 如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过N（2，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C。（1） 求抛物线的解析式；（2） 若直线y=kx+t经过C，M两点，且与x轴交于点D，判断四边形CDAN的形状并证明。（3） 设C点关于x轴对称的点为E，动点G、K都以一个单位/秒的速度分别从B、E两点同时出发，沿x轴y轴向O点运动，经过T秒后（0t3）到达如图的位置，延长CG交BK于F点，连BC，OF，GK，G、K在运动过程中，在，BCG=BKG两个等式中，有一个恒成立，请判断那一个恒成立，并证明这个成立的结论。 图1 图2（八）（2008年样卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=3。（1） 在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标。（2） 若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（5，0），求抛物线的解析式；（3） 若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（4） 若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式。（九）(2008年武汉市中考题)第25题 如图1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B。（1） 求此抛物线的解析式；（2） 若直线y=kx-1(k0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值； 图1（3） 如图2，过点E（1，-1）作EFx轴于点F，将AEF绕平面内某点旋转180后得MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标。 图2练习1已知：抛物线y=ax2+2ax+b与x轴交于点A（1，0）和B两点，与y轴正半轴交于点C，且ABC的面积为（1） 求该抛物线的函数解析式；（2） 在y轴上有一点P（0，），在抛物线上是否存在一点Q。使得四边形BCQP为平行四边形？若存在，求E点的坐标，若不存在，请说明理由。（3） 如图，若有一个角为30的三角板CMN绕着点C旋转，MCN=90，M=30，则在旋转过程中，BM和AN存在什么样的关系？试猜想并证明你的结论。图1 图2练习2，如图1，抛物线y=ax2-4ax+m与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴正半轴交于C，SABC=3。（1） 求抛物线解析式；（2） 点P是对称轴右侧抛物线上的一点，PCB=ACB，点M为线段CP上一动点，设点M（x,y），ACM的面积为S，求S与x的函数关系式，并求自变量的取值范围。（3）如图2，过O，C两点的O1，在第一象限内与直线y=x交于点K，点O1在x轴的正投影为点S，问：OK+OS的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。 图1 图2练习1，如图1，直线y=kx-k(k0)与x轴交于点B，与y轴交于点D，与对称轴为直线x=2，且过B，C（0，3）两点的抛物线交于点E，设抛物线与x轴的另一交点为A， 求抛物线的解析式； 是否存在实数K，使经过A,B,C三点的M恰为满足EAM=45，若存在，请求出K值，若不存在，请说明理由，如图1； 如图2，直线y=mx-5m（m0）与x轴交于点F，交y轴于s，F轴抛物线上的一点P在x轴上的E投影，设抛物线的顶点为Q,连接PQ，AQ ，FQ，AC，不论m取何值，在 PQA= ACB； AFQ= ACB 两个等式中有一个恒成立，请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论。 图1 图2练习2，如图1，在平面直角坐标系中，矩形OBDC的边OB,OC分别在x轴，y轴的正半轴 ，且点D的坐标为（8，6），将矩形沿BE折叠,使D点落在BC上的D处，经过C,B,E三点的抛物线与x轴交于另一点A. 求抛物线的解析式； 若点R是第四象限的抛物线上的一点，且SRBC =20,求点R 的坐标。（如图1） 设直线y=kx+6与抛物线交于点P,问：是否存在实数K，使PBC的面积恰好是PAC面积的一半？若存在，求出K的值，若不存在，请说明理由。（如图2） 图1 图2练习1，如图1，正方形OABC的顶点O在坐标原点，BC交轴于点D,OA和AB边所在的直线解析式分别为y=x和y=-x+ ，E为边AB的中点。抛物线顶点为F(0,-1)且经过点A,并交 x 轴负半轴于点G. 求抛物线的解析式； 若P为OA上一动点（点P与点O，A不重合），是否存在点P,使过C,O,P三点的圆与AB刚好相切于点E，若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由。 Q是以OD为直径的半圆上动点，连接GQ,过Q作GQ的垂线交于y 轴于R,延长DQ交 x轴于点S，当Q点运动时，在RDOS RDGQ两式中，请判断哪个式子的值是定值，并证明此结论。 图1 图2练习2，如图，矩形AOCB的两边OC,OA分别位于 x轴，y 轴上，点B的坐标为B（-，5），D是AB边上的一点，将ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处。 若过点E,A的抛物线的对称轴为 x=-，求抛物线的解折式。 在中的抛物线的对称轴上，是否存在点P,使PAM的周长最小？若存在求出P点坐标，若不存在，说明理由。 在中的抛物线上是否存在点Q,使MAQ=45? 若存在，求直线AQ与 x轴交点坐标;若不存在，请说明理由。四，根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。一三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。二顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。三交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。四定点式。1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。五平移式。1， 把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2， 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.六距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。七对称轴式。1， 抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2， 已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。八对称式。1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2， 求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。九切点式。1，已知直线y=ax-a2(a0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。十判别式式。1， 已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2， 已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3， 已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。第7页 共7页