2021-2022学年福建省龙岩市高一下学期期末教学质量检查数学试题【含答案】

2021-2022学年福建省龙岩市高一下学期期末教学质量检查数学试题一、单选题1设复数满足，则（）AB1CDC【分析】先由复数除法运算求出，再计算模长即可.【详解】，则.故选：C.2在中，已知，则（）A30B45C60D75B【分析】直接由正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得，即，解得，又，可得，则45.故选：B.3已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）ABCDB【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.4刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是（）ABCDC【分析】先列举出所有基本事件，再找出含有4或6的基本事件，由古典概型求解即可.【详解】随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为共8个，其中含有4或6的基本事件有共5个，则含有4或6的概率是.故选：C.5已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为（）ABCDA【分析】先由数量积的定义及运算律求出，再由夹角公式求解即可.【详解】，设与的夹角为，则，又，则与的夹角为.故选：A.6“学习强国”平台设立了“助农”栏目实施对口扶贫，销售各种农产品.根据2021年全年某农产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出了如图所示的双层饼图，根据双层饼图（季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比），下列说法错误的是（）A第三季度的销售额为160万元B2月份的销售额为90万元C12个月的月销售额的众数为60万元D12个月的月销售额的极差为60万元D【分析】先计算出总销售额及每个月的销售额，再由众数和极差的概念判断即可.【详解】由题意知，总销售额为万元，则第三季度的销售额为万元，A正确；2月份的销售额为万元，B正确；易得8月份和11月份的销售额占总销售额的百分比为，则12个月的月销售额依次为60万元、90万元、110万元、80万元、100万元、120万元、50万元、50万元、60万元、120万元、100万元、60万元，则12个月的月销售额的众数为60万元，C正确；12个月的月销售额的极差为万元，D错误.故选：D.7已知，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A如果，那么B如果，那么C如果，那么D如果，那么A【分析】根据空间中的线面关系、面面关系逐一判断即可.【详解】若，则，故A正确；若，则或，故B错误；由，推不出，故C错误；由，推不出，故D错误；故选：A8在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，则的值为（）A12B6CDB【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可【详解】因为，,所以，故选：B二、多选题9已知为虚数单位，以下说法中正确的是（）AB复数的虚部为C若，则复平面内对应的点位于第二象限D已知复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆AD【分析】由复数的代数运算、复数的虚部、共轭复数以及复数的模依次判断四个选项即可.【详解】对于A，A正确；对于B，复数的虚部为，B错误；对于C，则，对应的点位于第三象限，C错误；对于D，设，则，即，则在复平面内对应的点的集合是圆，D正确.故选：AD.10袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（）A甲与乙是对立事件B甲与乙是互斥事件C丙与丁相互独立D甲与丁相互独立BD【分析】先求出事件对应的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否为1判断A、B选项，再由独立事件的概率公式判断C、D选项即可.【详解】设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，丁包含的基本事件有，则，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确；对于C，则，则C错误；对于D，则，D正确.故选：BD.11中，内角，的对边分别为，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（）ABC若，则D若，则的最小值为ACD【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项.【详解】设，则，三式联立解得，对于A，A正确；对于B，则，B错误；对于C，若，则，则，即，即，则，C正确；对于D，若，则，取中点，连接，则，显然当时，最小，此时，则，则的最小值为，D正确.故选：ACD.12如图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（）A平面B存在点，使得C平面与平面所成的角为D的最小值为AC【分析】由及证得平面即可判断A选项；若存在，可得，又推出矛盾，即可判断B选项；找出即为平面与平面所成角的平面角即可判断C选项；在平面中，由平面几何知识求出的最小值为即可判断D选项.【详解】对于A，连接，则为线段的中点，易得平面为平面，显然平面，平面，则，又，平面，则平面，即平面，A正确；对于B，由A知，平面，又平面，则，若存在点，使得，则，连接，又为线段的中点，则，显然，矛盾，则不存在点，使得，B错误；对于C，由A知，平面即平面，即平面，则平面平面，连接，又，平面，平面，则，即为平面与平面所成角的平面角，又，则平面与平面所成的角为，C正确；对于D，在平面中，作关于的对称点，过作交于点，作交于点，又，则，所以，所以，又因为，所以的最小值为，D错误.故选：AC.本题的关键点在于确定平面即为平面，再由线面垂直的判定及几何法求面面角即可求解；至于最小值，在平面中，由平面几何的知识求解即可.三、填空题13某年级举行合唱比赛，8位评委对某班级代表队的评分如下：82，79，78，81，95，88，84，92，则该组数据的第75百分位数是_.90【分析】按照百分位数的定义直接求解.【详解】把数据从小到大排列如下：78，79，81，82，84，88，92，95.因为，所以该组数据的第75百分位数是.故90.14已知向量，则在上的投影向量的坐标为_.【分析】利用投影向量公式进行计算.【详解】由题意得：在上的投影向量的坐标为故15正四面体中，为棱上一点，且的最小值为，若为线段的中点，则过点的平面截该正四面体外接球所得截面面积的最小值为_.【分析】先由侧面展开图及的最小值求得正四面体棱长为3，再求出外接球半径，再由垂直于截面时截面面积最小求解即可.【详解】将正四面体的侧面和展开至同一平面，如图所示，此时即为的最小值，即，设，由可得，则，则，；在正四面体中，设的中心为，外接球球心为，连接，易得在上，设外接球半径为，则，解得；又过点的平面截外接球所得截面均为圆，要使截面面积最小，即截面圆的半径最小，显然当垂直于截面时，即为圆心时，圆心到截面的距离最大为，此时截面圆的半径最小为，面积为，即过点的平面截该正四面体外接球所得截面面积的最小值为.故答案为.四、双空题16某班同学的体重状况调查中，已知30名男生的平均体重为60kg，方差为50，20名女生的平均体重为50kg，方差为60，那么该班50名同学的平均体重为_kg，方差为_. 56； 78【分析】直接计算50名同学的平均体重即可；由总体样本方差公式求出50名同学的方差即可.【详解】该班50名同学的平均体重为；由总体样本方差公式可得该班50名同学的方差为.故56；78.五、解答题171.已知向量，.(1)当实数k为何值时，向量与共线？(2)若，且，求实数m的值.(1)(2)【分析】（1）两向量与共线满足；（2）两向量与垂直满足【详解】(1)因为，所以，当向量与共线时，解得：，故当时，向量与共线(2)，.18某校组织学生观看“太空授课”后抽取100名学生参加科学探索知识竞赛，并将所得成绩分成6组：，进而绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计100名学生成绩的众数，并求图中的值；(2)用分层抽样的方法从成绩落在内的学生中抽取6人，再从这6人中选出2人作问卷调查，求这2人在同一组中的概率.(1)众数75，；(2)【分析】（1）直接由频率最大的组的中点值估计出众数，再由频率和为1求出即可；（2）分别计算出三组的频率，由分层抽样计算出三组人数，列举出所有的基本事件，找出2人在同一组的基本事件，再由古典概型计算概率即可.【详解】(1)由频率分布直方图可得众数为，又，解得；(2)三组，对应的频率分别为0.05，0.1，0.15，则在内应抽取1人，记为；在内应抽取2人，记为；在内应抽取3人，记为，则从这6人中选出2人包含的基本事件为，共15个，其中2人在同一组包含的基本事件为共4个，则这2人在同一组中的概率为.19如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接交于，由即可证得平面；（2）先由余弦定理证得，进而得到，由面面垂直性质证得平面，得到，结合证得平面，即可证得平面平面.【详解】(1)连接交于，连接，易得为中点，又为线段的中点，则，又平面，平面，则平面；(2)由余弦定理得：，即，则，则，平行四边形为矩形，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，则，又是半圆弧上的点，则，又，平面，则平面，又平面，则平面平面.20在中，的对边分别为，已知.(1)求的大小；(2)若，_，求边上的中线的长.在“；周长为；的面积为.”这三个条件中任选一个填入上述空格中.(1)；(2)3【分析】（1）先由正弦定理得，再结合余弦定理求得即可求解；（2）先由结合正弦定理求得，；若选，由数量积的定义求得，再由余弦定理求解即可；若选，由正弦定理结合周长求得，再由余弦定理求解即可；若选，由面积公式求得，再由余弦定理求解即可.【详解】(1)由正弦定理得，又由余弦定理得，又，则；(2)由正弦定理得，即，又，则，则；若选，可得，又，则，由余弦定理可得，即，则；若选，由，可得，又，可得，由余弦定理可得，即，则；若选，由，可得，又，则，由余弦定理可得，即，则.21甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜，比赛随即结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.(1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；(2)哪两位同学进行首场比赛能使甲获胜的概率最大？请作出判断并说明理由.(1)；(2)甲丙进行首场比赛，理由见解析.【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可；（2）分别计算第一局乙丙对战甲获胜的概率，第一局甲乙对战甲获胜的概率以及第一局甲丙对战甲获胜的概率，比较大小，作出判断即可.【详解】(1)第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：乙丙对战乙胜，甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为；乙丙对战丙胜，甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为；综上：甲获胜的概率为；(2)若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为；若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为；甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，乙丙对战乙胜，甲乙对战甲胜，概率为；甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜，概率为；所以最终甲能获胜的概率为；若第一局甲丙对战，则甲获胜有3种情况：甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜，概率为；甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，甲丙对战甲胜，概率为；甲丙对战丙胜，乙丙对战乙胜，甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为；所以最终甲能获胜的概率为；又，则第一局甲丙对战，能使甲获胜的概率最大.22已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，.(1)求三棱锥的体积；(2)已知为棱上的动点，设直线与平面所成角为，求的最大值.(1)(2)【分析】（1）先证明 ，底面 是直角三角形，求出的面积即可算出三棱锥A-EFB的体积；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求出 ，再利用点D的坐标即可求出 的最大值.【详解】(1)由题意， ，由已知， 平面 ， 平面， 平面， ，是直角三角形，面积为 ，F点到底面ABC的距离 ，三棱锥A-EFB的体积 ；(2) ，建立空间直角坐标系如下图：则有 ， ，设D点的坐标为 ，则有 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则有 ，即 解得y=0，取x=1=2，z=1， ，显然当m=0时， 最大，最大值=；综上，三棱锥A-EFB的体积为 ， 的最大值为.