同济大学高等数学第五版上下册习题答案可编辑

同济大学高等数学第五版上下册习题答案 习题 1?11. 设 A?, ?55, +, B?10, 3, 写出 AB, AB, AB及 AAB的表达式解 AB?, 35, +, AB?10, ?5, AB?, ?105, +, AAB?10, ?5C C C2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: AB A B证明 因为 C C C C CxAB ?x?AB? x?A或x?B? xA 或xBxA B ,C C C 所以 AB A B 3. 设映射 f : X Y, A?X, B?X证明1fABfAfB; 2fAB?fAfB 证明 因为 yfAB?xAB, 使 fxy?因为 xA 或 xB yfA或 yfB? y fAfB,所以 fABfAfB 2因为yfABxAB, 使 fxy?因为 xA且 xB yfA且 yfB? y fAfB, 所以 fAB?fAfB 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使 g f I , f g I , 其中I 、I 分别是X、X YX YY上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有I xx; 对于每一个yY, 有I yy. 证明: f是双射, 且gX Y?1是f的逆映射: gf证明 因为对于任意的yY, 有xgyX, 且fxfgyI yy, 即Y中任意元素都是X中某y元素的像, 所以f为X到Y的满射 又因为对于任意的x x , 必有fx fx , 否则若fx fx ?g fx gfx x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有gyxX, 且满足fxfgyI yy, 按逆映射的y定义, g是f的逆映射 5. 设映射 f : XY, A?X证明: ?1 1f fA?A; ?1 2当f是单射时, 有f fAA ?1 ?1 证明 1因为xAfxyfAf yxf fA, ?1所以 f fA?A1 2由1知f fA?A1 ?1 另一方面, 对于任意的xf fA?存在yfA, 使f yx?fxy因为yfA且f是单1 ?1射, 所以xA. 这就证明了f fA?A. 因此f fAA6. 求下列函数的自然定义域: 1 y 3x+2 ; 2 2 解 由 3x+20 得 x 函数的定义域为? , + 3 31 2 y ; 21?x2 解 由 1?x 0得x1函数的定义域为?, ?1?1, 11, +12 3 y 1?x ; x2 解 由x0 且 1?x 0得函数的定义域D?1, 00, 11 4 y ; 24?x2 解 由 4?x 0 得 |x|2函数的定义域为?2, 2 5 y sin x ;解 由 x0 得函数的定义 D0, + 6 ytanx+1; xk + ?1解 由 x+1 k0, 1, 2,得函数的定义域为 k0, 1, 2,2 2 7 yarcsinx?3; 解 由|x?3|1 得函数的定义域 D2, 41 8 y 3? x +arctan ;x 解 由 3?x0 且 x0 得函数的定义域 D?, 00, 3 9 ylnx+1; 解 由 x+10 得函数的定义域 D?1, +1x 10 ye解 由 x0 得函数的定义域 D?, 00, + 7. 下列各题中, 函数 fx和 gx是否相同?为什么? 2 1fxlg x , gx2lg x; 2 2 fxx, gx x ; 3 34 3 3 f x xx , gx x x?12 2 4fx1, gxsec x?tan x解 1不同因为定义域不同 2不同因为对应法则不同, x0时, gx?x 3相同因为定义域、对应法则均相相同 4不同因为定义域不同|sin x| |x| 3 8. 设?x , 求? , ? , ? , ?2, 并作出函数 y?x的图形 6 4 4?0 |x|3 1 2 2 解 ? |sin | , ? |sin | , ? |sin? | , ?20 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:x 1 y , ?, 1;1? x 2yx+ln x, 0, + 证明 1对于任意的x , x ?, 1, 有 1?x 0, 1?x 0. 因为当x x 时, 1 2 1 2 1 2x x xx1 2 1 2yy 0,1 21? x 1? x 1? x 1? x 1 2 1 2x所以函数 y 在区间?, 1内是单调增加的1? x 2对于任意的x , x 0, +, 当x x 时, 有 1 2 1 2x1yy x +ln x ?x +ln x xx +ln 0,1 2 1 1 2 2 1 2x2所以函数 yx+ln x 在区间0, +内是单调增加的 10. 设 fx为定义在?l, l内的奇函数, 若 fx在0, l内单调增加, 证明 fx在?l, 0内也单调增加 证明 对于?x , x ?l, 0且x x , 有?x , ?x 0, l且?x ?x 1 2 1 2 1 2 1 2 因为 fx在0, l内单调增加且为奇函数, 所以 f?x f?x ,fx ?fx , fx fx ,2 1 2 1 2 1这就证明了对于?x , x ?l, 0, 有fx fx , 所以fx在?l, 0内也单调增加1 2 1 2 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?l, l上的, 证明: 1两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; 2两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数 证明 1设 Fxfx+gx. 如果 fx和 gx都是偶函数, 则 F?xf?x+g?xfx+gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数 如果 fx和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x+g?x?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数 2设 Fxfx?gx. 如果 fx和 gx都是偶函数, 则 F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数 如果 fx和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x?g?x?fx?gxfx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数 如果 fx是偶函数, 而 gx是奇函数, 则 F?xf?x?g?xfx?gx?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数? 2 21yx 1?x ;2 32y3x ?x ; 21?x3 y ;21+x4yxx?1x+1; 5ysin x?cos x+1; x ?xa +a6 y 22 2 2 2 解 1因为f?x?x 1?x x 1?x fx, 所以fx是偶函数2 3 2 3 2由f?x3?x ?x 3x +x 可见fx既非奇函数又非偶函数221?x1? x 3因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数221+ x1+x 4因为 f?x?x?x?1?x+1?xx+1x?1?fx, 所以 fx是奇函数 5由 f?xsin?x?cos?x+1?sin x?cos x+1 可见 fx既非奇函数又非偶函数?x ?x ?x xa +a a +a 6因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数2 2 13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: 1ycosx?2; 2ycos 4x; 3y1+sin x; 4yx cos x; 25ysin x 解 1是周期函数, 周期为 l2 2是周期函数, 周期为 l 2 3是周期函数, 周期为 l2 4不是周期函数 5是周期函数, 周期为 l 14. 求下列函数的反函数:3 1 y x+1 ;1?x 2 y ; 1+xax+b 3 y ad?bc0;cx+d 4 y2sin3x; 5 y1+lnx+2;x2 6 y x2 +13 33 3 解 1由 y x+1得xy ?1, 所以 y x+1的反函数为yx ?11? y1?x 1?x 1?x 2由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y 1+x 1+ y 1+x 1+x?dy+bax+b ax+b ?dx+b 3由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y cy?acx+d cx+d cx?ay1 1 x 4由 y2sin 3x 得 x arcsin, 所以 y2sin 3x的反函数为 y arcsin 3 2 3 2y?1 x?1 5由y1+lnx+2得xe ?2, 所以y1+lnx+2的反函数为ye ?2x xy2 2 x 6由 y 得 xlog , 所以 y 的反函数为 ylog2 2x x2 +1 1? y 2 +1 1? x 15. 设函数 fx在数集 X 上有定义, 试证: 函数 fx在 X 上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界 证明 先证必要性. 设函数 fx在 X 上有界, 则存在正数 M, 使|fx|M, 即?MfxM. 这这就证明了 fx在 X 上有下界?M 和上界 M 再证充分性. 设函数fx在X上有下界K 和上界K , 即K fx K取M|K |, |K |, 1 2 1 2 1 2则M K fx K M ,1 2即 |fx|M这就证明了 fx在 X 上有界 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 和x 的函数值:1 22 1 yu , usin x, x , x ;1 26 3 2 ysin u, u2x, x , x ; 1 28, 42 3 y u, u1+x , x 1, x 2; 1 2u 2 4 ye , ux , x 0, x 1; 1 22 x 5 yu , ue , x 1, x ?11 22 1 1 3 32 2 2 2 解 1ysin x, y sin , y sin 1 26 2 4 3 2 4 2 2ysin2x, y sin2? sin , y sin2? sin 11 28 4 2 4 22 2 2 3 y, 1+ x y 1+1 2 , y 1+2 5 1 22 2 2x 0 1 4 y e , y e 1 , y e e1 22x 2?1 2 2?1 ?2 5ye , y e e , y e e1 2 17. 设 fx的定义域 D0, 1, 求下列各函数的定义域:2 1 fx ; 2 fsinx; 3 fx+aa0; 4fx+a+fx?aa02 2 解 1由 0x 1 得|x|1, 所以函数fx 的定义域为?1, 1 2由 0sin x1 得 2nx2n+1 n0, 1, 2 ?, 所以函数 fsin x的定义域为 2n, 2n+1 n0, 1, 2 ?3由 0x+a1 得?ax1?a, 所以函数 fx+a的定义域为?a, 1?a1 1 1 4由 0x+a1 且 0x?a1 得: 当 0a 时, ax1?a; 当 a 时, 无解. 因此当 0a 时2 2 21函数的定义域为a, 1?a, 当 a 时函数无意义21 |x|1?x18. 设 f x 0 |x|1, gxe , 求fgx和gfx, 并作出这两个函数的图形1 |x|1x1 |e |1 1 x0x解 f gx 0 |e |1 , 即 f gx 0 x0x1 |e |1 ?1 x0?1e |x| 1 e |x| 1f x 0 g f x e e |x|1, 即 g f x 1 |x|11 ?1?e |x|1 e |x|119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?40图 1?37. 当过水断面ABCD的面积为定值S 时, 求湿周LLAC+CD+DB与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域0图 1?37 h 解 AbDC , 又从sin401 hBC +BC +2cot40 ?hS 得02S0BC ?cot40 ?h , 所以 hS2?cos400L + h h sin 40 自变量 h 的取值范围应由不等式组 S0h0, ?cot40 ?h0 h确定, 定义域为 0h S cot40 0 20. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过 100 台以上的, 每多订购 1台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元 1将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数; 2将厂方所获的利润 P表示成订购量 x 的函数; 3某一商行订购了 1000 台, 厂方可获利润多少?解 1当 0x100时, p90令 0. 01x ?10090?75, 得x 1600. 因此当x1600 时, p750 0 当 100x1600 时, p90?x?1000. 0191?0. 01x 综合上述结果得到 90 0 x100 p 91?0.01x 100 x1600?75x1600 30x 0 x1002P p?60x 31x?0.01x 100 x1600 215xx16002 3 P311000?0. 011000 21000元习题 1 ?21. 观察 一般项x 如下的数列x 的变化趋势, 写 出它们的极限:n n1 1 x ;nn21n 2 x ?1 ; nn1x 2 + 3 ; n2nn ?1 4 x ;nn +1n 5 x n ?1 n1 1x lim 0 解 1 当 n 时, 0,nn nn 2 21 1n n 2 当 n 时, x ?1 0, lim ?1 0nn n n1 1 3 当 n 时, x 2 + 2,lim2 + 2n2 2n n nn ?1 2 n ?1x 1lim 1 4 当 n 时, 0,nn n +1 n +1 n +1n 5 当n 时, x n ?1 没有极限nn cos2 2. 设数 列x 的一般项 x 问 lim x ? 求出N, 使当nN 时, x 与其极限之差的n nn nn n绝对值小于正数 , 当 0.001 时, 求出数N 解 lim x 0nn n |cos |1 1 1 12 |x ?0| ? 0, 要使|x ?0| , 只要 , 也就 是 n 取 N , nnn nn 则?nN, 有|x ?0| n1N 当 0.001 时, 1000 3. 根据 数列极限的定义证明: 1 1 lim 0 ; 2n n3n +1 3lim 2 ; n 2n +1 22 2n +a 3 lim 1 n n 4 lim 0.999 9 1 n n 个1 1 1 12| ?0| n 1 分析 要使 , 只须 , 即 n 2 2n n 1 11 证明 因为0,N , 当 nN 时, 有| ?0| , 所以 lim 02 2n n n1 13n +1 3 1 1 2 分析 要使| , 只须 , 即 n 2n +1 2 22n +1 4n4n 4 3n +1 31 3n +1 3 证明 因为0,N , 当 nN 时, 有| , 所以 lim n 4 2n +1 2 2n +1 22 2 2 2 2 2 2n +a n +a ?n a a a 3 分析 要使|, ?1| 只须 n 2 2n n n n n +a +n2 2 2 2 2an +a n +a证明 因为? 0,N , 当?nN 时, 有| ?1| , 所以 lim 1n n n11 1 4 分析 要使|0.99 9 ?1| , 只须 , 即 n 1 +lg n ?1 n ?110 101证明 因为? 0,N 1 +lg , 当?nN 时, 有|0.99 9 ?1| , 所以 lim 0.999 9 1 n n 个 4. lim u a , 证明 lim |u | |a|并举例说 明: 如果数列|x | 有极限, 但数列x 未必有n nn nn n 极限 证明 因为 lim u a , 所以? 0, ?N N, 当 nN 时, 有|u ?a| , 从而 n nn |u | ?|a| |u ?a| n n这就证明了 lim|u | |a|nn n n 数列|x | 有极限, 但数列x 未必有极限. 例如 lim| ?1 | 1, 但 lim ?1 不存在n nn n 5. 设数 列x 有界, 又 lim y 0 , 证明: lim x y 0nn n nn n 证明 因 为数列x 有界, 所以存在M, 使?n Z, 有|x | Mn n 又 lim y 0 , 所以0, ?N N, 当 nN 时, 有| y | 从而当 nN 时, 有 n nn M |x y ?0| |x y | M | y | M ,n n n n nM所以 lim x y 0n nn 6. 对于 数列x 若x a k , x a k , 证明: x a n n 2k 2k +1 n 证明 因为x a k , x a k , 所以0,2k 2k +1?K , 当 2k2K 时, 有| x ?a | ;1 1 2kK , ?当 2k+12K +1 时, 有| x ?a | 2 2 2k+1取N 2K , 2K +1, 只要nN, 就有|x ?a | 因此x a n 1 2 n n 习题 1 ?31. 根据 函数极限的定义证明: 1 lim3x ?1 8;x 3 2 lim5x +2 12; x 22x ?4 3 lim ?4; x ?2x +231 ?4x 4 lim 2 1x 2x +121 证明 1 分析 |3x ?1 ?8| |3x ?9| 3|x ?3|, 要使|3x ?1 ?8| , 只须|x ?3| 31 证明 因为 0, , 当 0 |x ?3| 时, 有|3x ?1 ?8| , 所以 lim3x ?1 8x 331 2 分析 |5x +2 ?12| |5x ?10| 5|x ?2|, 要使|5x +2 ?12| , 只须|x ?2| 51 证明 因为 0, 当 0 |x ?2| 时, 有|5x +2 ?12| , 所以 lim5x +2 12x 252 2 2x ?4 x +4x +4 x ?4 3 分析 ? ?4 |x +2| |x ? ?2| , 要使 ? ?4 , 只须x +2 x +2 x +2|x ? ?2| 2 2x ?4 x ?4 证明 因为 0, , 当 0 |x ? ?2| 时, 有 ? ?4 , 所以 lim ?4x ?2x +2 x +2331 ?4x 1 1 ?4x 1 1 4 分析 , 要使 ?2 , 只须|x ?| 2 |1 ?2x ?2| 2|x ?|2x +1 2 2x +1 2 23 31 1 1 ?4x 1 ?4x 证明 因为 0, , 当 0 |x ?| 时, 有 ?2 , 所以 lim 212 2 2x +1 2x +1x 2 2. 根据 函数极限的定义证明:31 + x 1 1 ;lim 3x 22xsin x 2 lim 0x +x33 3 31 + x 1 1 + xx 1 1 + x 1 1 证明 1 分析 , 要使 , 只须 , 即3 3 3 3 32 22x 2x 2|x| 2x 2|x|1|x| 32 331 1 + x 11 + x 1 证明 因为 0,X , 当|x| X 时, 有 , 所以 lim 3 33x 2 22x 2x2 sin x |sin x| 1 sin x 1 1 2 分析 ?0 , 要使 ?0 , 只须 , 即 x 2x x x x x1sin x sin x 证明 因为 0,X , 当 x X 时, 有 ?0 , 所以 lim 02x +x x2 3. 当x 2 时, y x 4. 问 等于多少, 使当|x ?2| 时, |y ?4|0. 001 ? 2 解 由于x 2, |x ?2| 0, 不妨设|x ?2| 1, 即 1 x 3. 要使|x ?4| |x +2|x ?2| 5|x ?2| 0. 001, 只要0.0012|x ?2| 0.0002, 取 0. 0002, 则当 0 |x ?2| 时, 就有|x ?4| 0. 001 52x ?1 4. 当 x 时, y 1, 问 X 等于多少, 使当|x|X 时, |y ?1|0.012x +32x ?1 44 解 要使 ?1 0.01, 只 , |x| ?3 397 X 3972 20.01x +3 x +3 5. 证明 函数 fx |x| 当 x 0 时极 限为零x |x| 6. 求 f x , ?x 当 x 0 时的 左?右极限, 并说明它们在 x 0 时的 极限是否存在x x 证明 因为xlim f x lim lim 1 1,x 0 x 0 x x 0xlim f x lim lim 1 1,+ + +x 0 x 0 x x 0lim f x lim f x,? +x 0 x 0所以极限 lim f x 存在x 0 因为 |x| ?xlim ?x lim lim ?1,x 0 x 0 x 0x x|x| xlim ?x lim lim 1,+ + +x 0 x 0 x 0x xlim ?x lim ?x,? +x 0 x 0所以极限 lim ?x 不存在x 0 7. 证明: 若 x + 及 x ? 时, 函数 fx 的极限都存在且都等于 A, 则 lim f x Ax 证明 因为 lim f x A , lim f x A , 所以? 0,x ? x +?X 0, 使当x ?X 时, 有|fx ?A| ;1 1?X 0, 使当x X 时, 有|fx ?A| 2 2取XX , X , 则当|x| X时, 有|fx ?A| , 即 lim f x A1 2x 8. 根据 极限的定义证明: 函数fx 当x x 时 极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各0自存在并且相等 证明 先 证明必要性. 设fx Ax x , 则? 0, 0, 使当 0|x ?x | 时, 有 0 0|fx ?A| 因此当xxx 和x xx + 时都有 0 0 0 0|fx ?A| 这说明fx 当x x 时左右极限都存在并且都等于A 0 再证明 充分性. 设fx ?0 fx +0 A, 则? 0,0 0? 0, 使当x xx 时, 有| fx ?A ;1 0 1 0? 0, 使当x xx + 时, 有| fx ?A| 2 0 0 2取 min , , 则当0|x ?x | 时, 有x xx 及x xx + , 从而有 1 2 0 0 1 0 0 0 2| fx ?A| ,即fx Ax x 0 9. 试给 出 x 时函 数极限的局部有界性的定理, 并加以 证明 解 x 时函数极限的局部有界性的定理 : 如果 fx 当 x 时的极限存在 , 则存在 X0 及M 0 , 使当|x|X 时, |fx| M证明 设 fx Ax , 则对于 1 , ?X0 , 当|x| X 时, 有|fx ?A| 1所以|fx| |fx ?A+A| |fx ?A| +|A| 1 +|A| 这就是说存在 X0 及 M 0 , 使当|x| X 时, |fx| M , 其中 M 1 +|A|习题 1 ?41. 两个 无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之 解 不一 定x 2 x 例如, 当 x 0 时, x 2x, x 3x 都是无穷小, 但 lim , 不是无穷小x 0 x 3 x 2. 根据 定义证明:2x ?9 1 y 当 x 3 时为无穷小;x +31 2 y xsin 当 x 0 时为无穷小x2x ?9 证明 1 当 x 3 时| y| |x ?3|因为 0, , 当 0 |x ?3| 时, 有 x +32x ?9| y| |x ?3| ,x +32x ?9所以当 x 3 时 y 为无穷小x +31 2 当 x 0 时| y| |x|sin | |x ?0|因为? 0, , 当 0 |x ?0| 时, 有 x1| y| |x|sin | |x ?0| ,x1所以当 x 0 时 y xsin 为无穷小x1 +2x 3. 根据 定义证明: 函数 y 为当x 0 时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使x4|y|10 ? 1 +2x 1 1 1 1 证明 分析| y| 2 + ?2 , 要使|y| M, 只须 ?2 M , 即|x| x x |x| |x| M +21 1 + 2x 证明 因为 ?M 0, , 使当 0 |x ?0| 时, 有 M ,M +2 x1 +2x所以当 x 0 时, 函数 y 是无穷大x1 14 4 取M 10 , 则 当 0 |x ?0| 时, |y|10 4 410 +2 10 +2 4. 求下 列极限并说明理由:2x +1 1 lim ;n x21x 2 lim x 01x2x +1 1 1 2x +1 解 1 因为 2 + , 而当 x 时 是无穷小, 所以 lim 2n x x x x2 21x 1x 2 因为 1 + x x 1, 而当 x 0 时 x 为无 穷小, 所以 lim 1x 01x 1x 5. 根据 函数极限或无穷大定义, 填写下表: 6. 函数 y xcos x 在?, + 内是否 有界?这个函数是否为当 x + 时 的无穷大?为什么?解 函数 y xcos x 在?, + 内无界 这是因 为?M 0, 在 ?, + 内总 能找到这样的 x, 使得|yx| M. 例如 y2k 2k cos2k 2k k 0, 1, 2,当 k 充分大 时, 就有| y2k | M 当 x + 时, 函数 y xcos x 不是 无穷大 这是因 为?M 0, 找 不到这样一个时刻 N, 使 对一切大于 N 的 x, 都有|yx| M. 例如 y2k + 2k + cos2k + 0 k 0, 1, 2,2 2 2对任何大的 N, 当 k 充分 大时, 总有 x 2k + N , 但|yx| 0 M21 1+ 7. 证明: 函数 y sin 在区间0, 1 上无界, 但这函数不是当x 0 时的无穷大x x1 1 证明 函数 y sin 在区间0, 1 上无界. 这 是因为 x xM 0, 在0, 1 中总 可以找到点x , 使yx M. 例如当 k k1x k 0, 1, 2, k2k +2时, 有 yx 2k + ,k2当k 充分大时, yx Mk1 1+当x 0 时, 函数 y sin 不是无穷大. 这是 因为 x xM 0, 对所有的 0, 总可以找到 这样的点x , 使 0 x , 但yx M. 例如可取 k k k1x k 0, 1, 2,k2k 当k 充分大时, x , 但yx 2k sin2k 0 Mk k习题 1 ?51. 计算 下列极限:2x +5 1 lim ;x 2x ?32 2x +5 2 +5 解 lim ?9x 2x ?3 2 ?32x ?3 2 lim ; 2x 3 x +1223 ?3x ?3 解 lim 022x 3 x +13 +12x ?2x +1 3 lim ; 2x 1x ?122x ?2x +1 x ?1 x ?1 0 解 lim lim lim 02x 1 x 1 x 1x ?1 x ?1x +1 x +1 23 24x ?2x +x 4 lim ; 2x 03x +2x3 2 24x ?2x +x 4x ?2x +1 1 解 lim lim 2x 0 x 03x + 2x 3x + 2 22 2x +h ?x 5 lim ; h 0h2 22 2 2x +h ?xx +2hx +h ?x 解 lim lim lim2x +h 2xh 0 h 0 h 0h h1 1 6 lim2+ ; 2x x x1 1 1 1 解 lim2+ 2lim + lim 22 2x x x x x x x2x ?1 7 lim ; 2x 2x ?x ?11122x ?1 1x 解 lim lim 2x x ?xx 1 1 22 12?2x x2x +x 8 lim ; 4 2x x ?3x ?12x +x 解 lim 0 分子 次数低于分母次数, 极限 为零 4 2x x ?3x ?11 1+22 3x +xx x 或 lim lim 04 2x x 2 1x ?3x ?11?2 4x x2x6x + 8 9 lim ; 2x 4x5x + 42x ?2x ?4x ?6x +8 x ?2 4 ?2 2lim lim lim 解 2x 4 x 4 x 4x ?5x +4 x ?1x ?4 x ?1 4 ?1 31 1 10 lim1 + 2 ; 2x x x1 1 1 1 解 lim1 + 2 lim1 + lim2 1 2 22 2x x x x x x x1 1 1 11 lim1 + + + + ; nn 2 4 21n +11 ? 1 1 12 解 lim1 + + + + lim 2nn n 12 4 2121 +2 +3 + +n ?1 12 lim ; 2n nn ?1n1 +2 +3 + +n ?1 1 n ?1 12 解 lim lim lim 2 2n n n n n 2 n 2n +1n +2n +3 13 lim ; 3n 5nn +1n +2n +3 1 解 lim 分子与分母的次数相同, 极 限为最高次项系数之比3n 5n 5n +1n +2n +31 1 2 3 1 或 lim lim1 + 1 + 1 + 3n n 5n 5 n n n 51 3 14 lim ; 3x 11 ?x 1 ?x21 ?xx +21 3 1 +x +x ?3 x +2lim lim ?lim ?lim ?1 解 3 2 2 2x 1 x 1 x 1 x 11 ?x 1 ?x 1 ?x1 +x +x 1 ?x1 +x +x 1 +x +x 2. 计算 下列极限:3 2x +2x 1 lim ; 2x 2x ?223 2x ?20 x +2x 解 因为 lim 0 , 所以 lim 3 2 2x 2 x 2x +2x 16 x ?22x 2 lim ; x 2x +12x 解 lim 因为分子次数高于分母次数 x 2x +13 3 lim2x ?x +1x 3 解 lim2x ?x +1 因为 分子次数高于分母次数x 3. 计算 下列极限:12 1 limx sin ; x 0x1 2 12 解 limx sin 0 当x 0 时, x 是无穷小, 而 sin 是有界变量x 0x xarctanx 2 limx xarctanx 1 1 解 lim lim ?arctanx 0 当 x 时, 是无穷小, 而 arctan x 是有界 变量x x x x x 4. 证明 本节定理 3 中的2. 习题 1 ?61. 计算 下列极限:sin x 1 lim ; x 0xsin x sin x 解 lim lim x 0 x 0x xtan3x 2 lim ; x 0xtan3x sin3x 1 解 lim 3lim3x 0 x 0x 3x cos3xsin2x 3 lim ; x 0sin5xsin2x sin2x 5x 2 2 解 lim lim? x 0 x 0sin5x 2x sin5x 5 5 4 lim x cot x ; x 0x x 解 lim xcot x lim ?cosx lim ?limcosx 1x 0 x 0 x 0 x 0sin x sin x1 ?cos2x 5 lim ; x 0xsin x21 ?cos2x 1 ?cos2x 2sin x sin x 2 解法一 lim lim lim 2lim 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0xsin x x x x21 ?cos2x 2sin x sin x 解法二 lim lim 2lim 2x 0 x 0 x 0xsin x xsin x xxn 6 lim 2 sin x 为不等于零的常数nn 2xsinnxn2 解 lim2 sin lim ?x x nxn n 2n2 2. 计算 下列极限:1x 1 lim1 ?x ; x 01 11?1?1?1?x ?xx 解 lim1x lim1 + ?x lim1 + ?x e x 0 x 0 x 01x 2 lim1 +2x ; x 01 1 1?222x 2x 2x 解 lim1 +2x lim1 +2x lim1 +2x e x 0 x 0 x 01 + x2x 3 lim ; x x1 + x 1 22x x 2 解 lim lim1 + e x x x x1kx 4 lim1 k 为正整数x x1 1kx ?x ?k ?k 解 lim1 lim1 + e x x xx 3. 根据 函数极限的定义, 证明极 限存在的准则 I 解4. 利用 极限存在准则证明:1 1 lim 1 + 1; n n1 1 证明 因为1 1 + 1 + ,n n1而lim1 1 且 lim1 + 1,n n n1由极限存在准则 I, lim 1 + 1n n1 1 1 2 limn + + + 1; 2 2 2n n + n +2 n +n 证明 因为 2 2n 1 1 1 nn + + + ,2 2 2 2 2n +n n + n +2 n +n n + 2 2n n而lim 1, lim 1,2 2n n n +n n + 1 1 1所以 limn + + + 12 2 2n n + n +2 n +n 3 数列 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , 的极 限存在; 证明 x 2 , x 2 + x n 1, 2, 3,1 n +1 n 先证明 数列x 有界. 当n 1 时 x 2 2 , 假定n k 时x 2, 当n k +1 时,n k1x 2 + x 2 +2 2,k +1 k所以x 2n 1, 2, 3, 即数列x 有界n n 再证明 数列单调增22 + xx ?x ?2x +1n n n nxx 2 + xx ,n +1 n n n2 + x + x 2 + x + xn n n n而x ?2 0, x +1 0, 所以x ?x 0, 即数 列x 单调增n n n +1 n n 因为数 列x 单调增加有上界, 所 以此数列是有极限的nnlim 1 + x 1 4 ;x 0 证明 当|x| 1 时, 则有 n 1 +x 1 +|x| 1 +|x| ,n 1 +x 1 ?|x| 1 ?|x| ,n从而有 1 ?|x| 1 + x 1 +|x|因为 lim1 ?|x| lim1 +|x| 1,x 0 x 0根据夹逼准则, 有 nlim 1 + x 1x 01 5 lim x 1+x 0 x1 1 1 1 证明 因为 ?1 , 所以1x x 1x x x x1 又因为 lim 1x lim 1 1 , 根据夹逼准则, 有 lim x 1+ + +x 0 x 0 x 0x习题 1?7 2 2 3 1. 当x0 时, 2x?x 与x ?x 相比, 哪一个是高 阶无穷小? 2 3 2x ?x x?x 解 因为 lim lim 0,2x0 x02?x2x?x2 3 2 3 2所以当x0 时, x ?x 是高阶无穷小, 即x ?x o2x?x 13 2 2. 当x1 时, 无穷小 1?x 和11?x , 2 1x 是否同阶?是否等价? 23 21?x 1?x1+x+x 2 解 1 因为 lim lim lim1+x+x 3,x1 x1 x11?x 1?x3所以当x1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 但不是 等价无穷小121?x 12 2 因为 lim lim1+x1,x1 x11?x 212所以当x1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 而且是等 价无穷小2 3. 证明: 当x0 时, 有: 1 arctanxx;2x 2 secx?12arctanx y 证明 1 因为 lim lim 1 提示: 令yarctan x, 则当x0 时, y 0,x0 y0x tany所以当x0 时, arctanxxx x22sin 2sin2secx?1 1?cosx2 2 2 因为 lim 2lim lim lim 1,2 2x0 x0 x0 x01 x2 x cosx xx2 222x所以当x0 时, secx?12 4. 利用 等价无穷小的性质, 求下 列极限:tan3x 1 lim ; x02xnsinx 2 lim n, m 为正整数; mx0sinxtanx?sinx 3 lim ;3x0sin xsinx?tanx 4 lim x0 3 21+x ?1 1+sinx ?1tan3x 3x 3 解 1 lim lim x0 x02x 2x 21 nmnnsinx x 2 lim lim 0 nmm mx0 x0sinx xnm1 12sinx ?1 xtanx?sinx 1?cosx 1cosx2 3 lim lim lim lim 3 3 2 2x0 sin x x0 sin x x0 cosxsin x x0x cosx 2 4 因为