高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第三节函数的奇偶性及周期性课时跟踪检测文

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课时跟踪检测(六) 函数的奇偶性及周期性一抓基础,多练小题做到眼疾手快1函数f(x)x的图象关于_对称解析:因为函数f(x)的定义域为(,0)(0,),且对定义域内每一个x,都有f(x)xf(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称答案:原点2下面四个结论:偶函数的图象一定与y轴相交;奇函数的图象一定过原点;偶函数的图象关于y轴对称;没有一个函数既是奇函数又是偶函数其中正确的结论是_(填序号)解析:函数y是偶函数,但不与y轴相交,故错;函数y是奇函数,但不过原点,故错;由偶函数的性质,知正确;函数f(x)0既是奇函数又是偶函数,故错答案:3(2016南通调研)设函数f(x)为偶函数,当x(0,)时,f(x)log2x,则f()_.解析:因为函数f(x)是偶函数,所以f()f()log2.答案:4设奇函数f(x)的定义域为6,6若当x0,6时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集是_解析:奇函数的图象关于原点对称,作出函数f(x)在6,0上的图象(图略),由图象,可知不等式f(x)0的解集是6,2)(0,2)答案:6,2)(0,2)5函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)1,则当x0时,f(x)1,当x0,f(x)f(x)(1),即x0时,f(x)(1)1.答案:1二保高考,全练题型做到高考达标1已知奇函数f(x)的定义域为(5,0)(0,5),当0x0的解集是_解析:由题意,可作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图象可得不等式f(x)0的解集是(5,2)(0,2)答案:(5,2)(0,2)2已知f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)f(x)g(x),则 “f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析:一方面,若f(x),g(x)均为偶函数,则f(x)f(x),g(x)g(x),因此,h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x),h(x)是偶函数;另一方面,若h(x)是偶函数,但f(x),g(x)不一定均为偶函数,事实上,若f(x),g(x)均为奇函数,h(x)也是偶函数,因此,“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件答案:充分不必要3已知函数f(x)是定义在(,)上的奇函数,若对于任意的实数x0,都有f(x2)f(x),且当x0,2)时f(x)log2(x1),则f(2 015)f(2 016)的值为_解析:因为f(x)是奇函数,且周期为2,所以f(2 015)f(2 016)f(2 015)f(2 016)f(1)f(0)又当x0,2)时,f(x)log2(x1),所以f(2 015)f(2 016)101.答案:14已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x2,那么不等式2f(x)10的解集是_解析:由题意知,函数yf(x)的定义域是R,当x0时,x0,所以f(x)x2,又函数yf(x)为定义在R上的奇函数,所以f(x)f(x)x2,即f(x)因此不等式2f(x)10等价于或或解得x或x0或0x,故不等式2f(x)10的解集为xx或0x.答案:xx或0x0的x的集合为_解析:由奇函数yf(x)在(0,)上递增,且f 0,得函数yf(x)在(,0)上递增,且f 0,f(x)0时,x或x0的x的集合为.答案:7已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)g(x)x,则f(1),g(0),g(1)之间的大小关系是_解析:在f(x)g(x)x中,用x替换x,得f(x)g(x)2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(x)f(x),g(x)g(x),因此得f(x)g(x)2x.联立方程组解得f(x),g(x),于是f(1),g(0)1,g(1),故f(1)g(0)g(1)答案:f(1)g(0)g(1)8(2016启东中学检测)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:f(x)f(x)0;f(x)f(x2);当0x1时,f(x)2x1,则f f(1)f f(2)f _.解析:依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,f f(1)f f(2)f f f(1)f f(0)f f f(1)f f(0)f f f(1)f(0)21211201.答案:9已知函数f(x)是(,)上的奇函数,且f(x)的图象关于x1对称,当x0,1时,f(x)2x1.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x1,2时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 016)的值解:(1)证明:函数f(x)为奇函数,则f(x)f(x),函数f(x)的图象关于x1对称,则f(2x)f(x)f(x),所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)当x1,2时,2x0,1,又f(x)的图象关于x1对称,则f(x)f(2x)22x1,x1,2(3)因为f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(3)f(1)f(1)1.又f(x)是以4为周期的周期函数所以f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(0)0.10(2016南京一中检测)已知f(x)是偶函数,定义x0时,f(x)(1)求f(2);(2)当x3时,求f(x)的解析式;(3)设函数f(x)在区间5,5上的最大值为g(a),试求g(a)的表达式解:(1)由题意,得f(2)f(2)2(32)2.(2)当x3,所以f(x)f(x)(x3)(ax)(x3)(ax),所以当x3时,f(x)的解析式为f(x)(x3)(ax)(3)因为f(x)是偶函数,所以它在区间5,5上的最大值即为它在区间0,5上的最大值当x0时,f(x)当a3时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以g(a)f .当3a7时,f(x)在,上单调递增,在,上单调递减,所以此时只需比较f 与f 的大小()当3a6时,所以g(a)f ;()当6a7时,所以g(a)f .当a7时,f(x)在,3,5上单调递增,在上单调递减,且f f(5)2(a5),所以g(a)f(5)2(a5)综上所述,g(a)三上台阶,自主选做志在冲刺名校1已知函数g(x)是R上的奇函数,且当xf(x),则实数x的取值范围是_解析:设x0,则x0.x0),f(x)其图象如图所示由图象知,函数f(x)在R上是增函数f(2x2)f(x),2x2x,即2x1.所以实数x的取值范围是(2,1)答案:(2,1)2(2016海安中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,bR都满足f(ab)af(b)bf(a),则f(x)是_(填“奇”或“偶”)函数解析:由题意,得f(x)f (1)xf(x)xf(1)令ab1,得f(1)f(1)f(1),所以f(1)0.令ab1,得f (1)(1)f(1)f(1),所以f(1)2f (1),所以f(1)0.所以f(x)f(x)0f(x),即f(x)为奇函数答案:奇3函数f(x)的定义域为Dx|x0,且满足对任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)1,f(x1)2, 且f(x)在(0,)上是增函数,求x的取值范围解:(1)对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2),令x1x21,得f(1)2f(1),f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明:令x1x21,有f(1)f(1)f(1),f(1)f(1)0.令x11,x2x,有f(x)f(1)f(x),f(x)f(x),f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2,由(2)知,f(x)是偶函数,f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0,)上是增函数0|x1|16,解之得15x17且x1.x的取值范围是(15,1)(1,17)7
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