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课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)x的图象关于_对称解析：因为函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，且对定义域内每一个x，都有f(x)xf(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称答案：原点2下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定过原点；偶函数的图象关于y轴对称；没有一个函数既是奇函数又是偶函数其中正确的结论是_(填序号)解析：函数y是偶函数，但不与y轴相交，故错；函数y是奇函数，但不过原点，故错；由偶函数的性质，知正确；函数f(x)0既是奇函数又是偶函数，故错答案：3(2016南通调研)设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()_.解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f()f()log2.答案：4设奇函数f(x)的定义域为6,6若当x0,6时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)在6,0上的图象(图略)，由图象，可知不等式f(x)0的解集是6，2)(0,2)答案：6，2)(0,2)5函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(1)1.答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1已知奇函数f(x)的定义域为(5,0)(0,5)，当0x0的解集是_解析：由题意，可作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图象可得不等式f(x)0的解集是(5，2)(0,2)答案：(5，2)(0,2)2已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则 “f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：一方面，若f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是偶函数；另一方面，若h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)不一定均为偶函数，事实上，若f(x)，g(x)均为奇函数，h(x)也是偶函数，因此，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件答案：充分不必要3已知函数f(x)是定义在(，)上的奇函数，若对于任意的实数x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时f(x)log2(x1)，则f(2 015)f(2 016)的值为_解析：因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(2 015)f(2 016)f(2 015)f(2 016)f(1)f(0)又当x0,2)时，f(x)log2(x1)，所以f(2 015)f(2 016)101.答案：14已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2，那么不等式2f(x)10的解集是_解析：由题意知，函数yf(x)的定义域是R，当x0时，x0，所以f(x)x2，又函数yf(x)为定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)x2，即f(x)因此不等式2f(x)10等价于或或解得x或x0或0x，故不等式2f(x)10的解集为xx或0x.答案：xx或0x0的x的集合为_解析：由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f 0，得函数yf(x)在(，0)上递增，且f 0，f(x)0时，x或x0的x的集合为.答案：7已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)x，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)x中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.联立方程组解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)8(2016启东中学检测)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则f f(1)f f(2)f _.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，f f(1)f f(2)f f f(1)f f(0)f f f(1)f f(0)f f f(1)f(0)21211201.答案：9已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 016)的值解：(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)当x1,2时，2x0,1，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)因为f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1.又f(x)是以4为周期的周期函数所以f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(0)0.10(2016南京一中检测)已知f(x)是偶函数，定义x0时，f(x)(1)求f(2)；(2)当x3时，求f(x)的解析式；(3)设函数f(x)在区间5,5上的最大值为g(a)，试求g(a)的表达式解：(1)由题意，得f(2)f(2)2(32)2.(2)当x3，所以f(x)f(x)(x3)(ax)(x3)(ax)，所以当x3时，f(x)的解析式为f(x)(x3)(ax)(3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间5,5上的最大值即为它在区间0,5上的最大值当x0时，f(x)当a3时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(a)f .当3a7时，f(x)在，上单调递增，在，上单调递减，所以此时只需比较f 与f 的大小()当3a6时，所以g(a)f ；()当6a7时，所以g(a)f .当a7时，f(x)在，3,5上单调递增，在上单调递减，且f f(5)2(a5)，所以g(a)f(5)2(a5)综上所述，g(a)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，则实数x的取值范围是_解析：设x0，则x0.x0)，f(x)其图象如图所示由图象知，函数f(x)在R上是增函数f(2x2)f(x)，2x2x，即2x1.所以实数x的取值范围是(2,1)答案：(2,1)2(2016海安中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a，bR都满足f(ab)af(b)bf(a)，则f(x)是_(填“奇”或“偶”)函数解析：由题意，得f(x)f (1)xf(x)xf(1)令ab1，得f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0.令ab1，得f (1)(1)f(1)f(1)，所以f(1)2f (1)，所以f(1)0.所以f(x)f(x)0f(x)，即f(x)为奇函数答案：奇3函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2, 且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范围是(15,1)(1,17)7
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