数列求和 (2)

数列求和知识要点：数列求和的常用方法1公式法；2倒序相加法；3错位相减法；4分组转化法；5裂项相消法1公式法；2倒序相加法3错位相减法4分组转化法5裂项相消法习题讲解练习求下列各项的和（1）Sn=1+（3+4）+（5+6+7）+（2n 1+2n+3n 2）（2）Sn=1222+32 42+（ 1）n1n2【解析】（1）an=（2n1）+2n+（2n+1）+（2n 1）+ n 1 =，Sn=+n2）(1+2+n)=.（2）当n是偶数时， (n1)2n2= 37(2n+1) =.当n是奇数时，Sn=1+（3222）+（52 42）+ n2 (n1) =1 + 5 + 9 +（2n1）=.故Sn=.小结练习1 . 已知数列an满足a1 = 1，(nN *，n1). （1）求证：数列是等差数列；（2）求数列 anan + 2的前n项和Sn；（3）设(aR)，求数列bn的前n项和Tn.【解析】（1）当n2时，由得：an 1 an 2 an 1 an = 0，两边同除an an 1，得是以为首项，d = 2为公差的等差数列.（2）由（1）知，= 1 + ( n 1 )2 = 2n 1，an =an an +2 =，+（3）bn =，当a = 0时，Tn = 0；当a = 1时，Tn = n2；当a0且a1时，由于Tn = a + 3a2 + 5a3 +(2n 1)an aTn = a2 + 3a3 + 5a4+(2n 1)an + 1 得：(1 a)Tn = a + 2(a2 + a3 +an) (2n 1)an + 1，故2. 如果有穷数列a1，a2，am(m为正整数)满足条件a1 = am，a2 = am 1 ，am = a1，即ai = am i + 1 (i = 1，2，m )，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设bn是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1 = 2，b4 = 11，依次写出bn的每一项；（2）设cn是49项的“对称数列”，其中c25，c26，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求cn的各项的和S；（3）设dn是100项的“对称数列”，其中d51，d52，d100是首项为2，公差为3的等差数列，求dn前n项的和Sn(n = 1，2，100).【解析】（1）设数列bn前四项的差为d，则b4 = b1 + 3d = 2 + 3d = 11，解得d = 3，数列bn为2，5，8，11，8，5，2.（2）S = c1 + c2+c49 = 2(c25 + c26 + c49) c25 = 2 (1 + 2 + 22 + 224) 1 = 2 (225 1) 1 = 226 3 = 67108861.（3）d51 = 2，d100 = 2 + 3(50 1) = 149.由题意得d1，d2，d50是首项为149，公差为 3的等差数列，当n50时，Sn = d1 + d2 + + dn.= 149n +当51n100时，Sn = d1 + d2 + + dn= S50 + (d51 + d52 + + dn)= 3775 + 2(n 50) + =综上所述，Sn =9