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第一章 平移、对称与旋转第 4 讲 利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与 作图转化为“两点之间,线段最短”问题求解。2. 能将实际问题或几何问题(对称背景图)中有关最短路径(线段之差最大值)问题借 助轴对称转化为两点之间,线段最短问题分析与求解。二、基础知识轻松学与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离,我们有下面几个相应的结论:(1)在连接两点的所有线中,线段最短(两点之间,线段最短);(2)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;(3)在三角形中,大角对大边,小角对小边。(4)垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 【精讲】一般说来,线段和最短的问题,往往把几条线段连接成一条线段,利用“两点 之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明,关键是找相关点关于直线的 对称点实现“折”转“直”。另外,在平移线段的时候,一般要用到平行四边形的判定和性 质。(判定:如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形;性质: 平行四边形的对边相等。)三、重难疑点轻松破最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题,自然离不开构建与转化“两点之间,线段最短”的 数学公理,通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点,从而运用两点之间,线 段最短解决实际问题在日常生活、工作中,经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路 径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”,出题通常以直线、角、等腰(边) 三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。(1)“一线同侧两点”问题例1如图,点A、B在直线m的同侧,点B是点B关于m的对称点,AB交m于点P.(1)ABZ与AP+PB相等吗?为什么?(2)在m上再取一点N,并连接AN与NB,比较AN+NB与AP+PB的大小,并说明理由.解析:(1)V点B是点B关于m的对称点,.PB=PB,TAB =AP+PB,:.AB1 =AP+PB.(2)如图:连接AN, BN, Bz N,.AB =AP+PB,.AN+NB=AN+NBAB,AN+NBAP+PB.点评:两条线段之和最短,往往利用对称的思想,把两条线段的和变为一条线段来研究, 利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力,关键是利 用轴对称、“两点之间,线段最短”及三角形三边的关系等.B变式1需要在高速公路旁边修建一个飞机场,使飞机场+公路到A, B两个城市的距离之和最小,请作出机场的位置.(2) “两点两线(平行)”问题例2如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河 流垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A到B的距离最短?解析:虽然A、B两点在河两侧,但连接AB的线段不垂直于河岸.关键在于使AP+BD最短,但AP与BD未连起来,要用线段公理就要想办法 使P与D重合起来,利用平行四边形的特征可以实现这一目的.如图,作BB垂直于河岸GH,使BB等于河宽,连接AB,与河岸EF相交于P,作PD丄GH,则PDBB且PD=BB,于是PDBB为平行四边形,故PD=BB.根据“两点之间线段最短”,AB最短,即AP+BD最短.故桥建立在PD处符合题意.点评:此题考查了轴对称 最短路径问题,要利用“两点之间线段最短”,解决“造桥选址”的简单的实际问题.但许多实际问题没这么简单,需要我们将一些线段进行转化,即用与它相等的线段替代,从而转化成两点之间线段最短的问题.此类题往往需要利用 对称性、平行四边形的相关知识进行转化,以后还会学习一些线段转化的方法.变式2如图,两个村庄A和B被一条河隔开,现要在河上架设一座桥CD.请你为两村设计桥址,使由A村到B村的距 离最小(假定两河岸m、n是平行的,且桥要与河垂直).要求写出作法,并说明理由.(3)“一点两线(相交)”解决周长最短问题C例3:如图所示,ZABC内有一点P,在BA、BC边上各取一 点P、卩,使厶PPP的周长最小.1 2 1 2解析:依据两点之间线段最短,可分别作点P关于AB,AC 的对称点,如图,以BC为对称轴作P的对称点M,以BA为对称轴作出P的对称点N,连MN交BA、BC于点P、P1 2/.PP1P2为所求作三角形.点评:解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线 上一动点距离和最小”问题(将军饮马问题),其核心是化折为直(两点之间线段最短)的 思想,转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题.变式3城关中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成两直条(如 图中的AO, BO),A0桌面上摆满了桔子,0B桌面上摆满了糖果,站 在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到C处,请你在下图 帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?(4)“一线异侧两点” “差最大”问题例4在定直线XY异侧有两点A、B,在直线XY上求作 一点P,使PA与PB之差的绝对值最大.解析:作法:作点B关于直线XY的对称点B,作直线AB交XY于P点,则点P为所求点(如图);若BAXY(即B、A到直 线XY的距离相等),则点P不存在.证明:连接BP,在XY 上任意取点P,连接 PA、PB,贝PB=PB,PB=PB,因为 |PB-PA| = |PB-PA|VAB=|PB-PA| = |PB - PA|,所以,此时点P使|PA-PB|最大.点评:本题考查的是最短线路问题,解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形, 再由两点之间线段最短的知识求解.变式4.如图,在 ABC中,AB=AC, AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,连接MB,若 AB = 8 cm,AMBC 的周长是 14 cm,(1) 求BC的长(2) 在直线MN上是否存在点P,使丨PA-CP丨的值最大,画出点P的位置,并求最大值,若不存在,说明理由。(5) “两点一线+线段”例5直线L的同侧有两点A、B,在直线L上求两点C、D,使得AC、CD、DB的和最小,T |且CD的长为定值a,点D在点C的右侧。作法:将点A向右平移a个单位到A1 作点B关于直线L的对称点B1 连结A1B交直线L于点D 过点A作ACA1D交直线L于点C,连结BD,则线段AC、CD、DB的和最小。点C、D即为所求。变式5长方形OACB, OA=3, OB=4, D为边OB的中点.(1) 若E为边OA上的一个动点,当 CDE的周长最小时,画出 点E的位置;(2) 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF 的周长最小时,画出点E、F的位置;(6) 台球击点问题A例6如图,在台球桌面ABCD上,有白和黑两球分别位于M, N 两点处,问:怎样撞击白球M,使白球先撞击台边BC,反弹后再去 击中黑球N?解析:作N关于BC的对称点N,连接MN交BC于点E,连接EN.按 ME方向撞击白球M,白球M反弹后必沿EN方向击中黑球N.点评:要使白球M撞击台边BC反弹后再去击中黑球N,必须使ZMEB=ZNEC.由轴对称还可得,ZNfEC=ZNEC.又对顶角ZMEB=ZNEC,故可得到ZMEB=ZNEC .本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应 用,关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂 直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.变式6如图,甲乙丙丁四人做接力游戏.开始时,甲站在长方形操场ABCD内部的E 点处,丙在BC的中点G处,乙,丁分别站在AB、CD边上.游戏规则是,甲将接力棒传给乙,乙传给丙,丙传给丁,最后丁_G tE跑回传给甲.如果他们四人的速度相同,试找出乙,丁站在何处,他们的比赛用时最短?(请画出路线,并保留作图痕迹,:作法不用写)四、课时作业轻松练A. 基础题组1. 如图,直线l是一条河,P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是()2. 已知,如图ABC为等边三角形,高AH=10cm, P为AH上一动点,D为AB的中点,则PD+PB的最小值为cm.第2题第3题3如图,MN是正方形ABCD的一条对称轴,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD最 小时,ZPCD= .4为庆祝60年国庆圣典,阳光中学八年级(2)班举行一次文艺晚会,桌子摆成两真线 (如图:AO, OB) A0桌子上摆满苹果,B0桌子上摆满桔子,坐在C士处的小华想先拿苹果再拿桔子,然后回到座位C处,ZAOB小于90度,请你帮助他设计一条行走路线,使小华所走路程最短请作出路线图,并用字母表示所走路线.(保留作图痕迹,不写作法、不必 说明理由)B. 中档题组5如图,山娃星期天从A处赶了几只羊到草地I放羊,然后赶羊到小河12饮水,之后 再回到B处的家,假设山娃赶羊走的都是直路,请你为它设计一条最短的路线,标明放羊 与饮水的位置.6如图,一牧民从A点出发,到草地出发,到草地MN去 喂马,该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马 饮水(MN、PQ均为直线),试问牧民应走怎样的路线,才能使 整个路程最短?(简要说明作图步骤,并在图上画出)C. 挑战题组7如图,荆州古城河在CC处直角转弯,河宽均为5米, 从A处到达B处,须经两座桥:DD,EE(桥宽不计),设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,A、B在东西方向上 相距65米,南北方向上相距85米,如何架桥可使到A到B的 路程最短,画出路程图B五、我的错题本参考答案变式练习:变式1解:利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A,连接A,B,与公路的交点就是点P的位置.直线m与M,作MNBC即可.理由:两点之间线段最短.变式2解:如图,过点B作BC丄n,且使BC等于河宽,连接AC交变式3解析:本题意思是在0A上找一点D,在0B上找一点E,使 CDE的周长最小.如果作点C关于0A的对称点是M,关于0B的对称 点是N,当点D、E在MN上时,ACDE的周长为CD+DE+EC=MN,此时周 长最小.变式4解:(1)因MN垂直平分AB,所以MB=MA,又因MBC的周长是14 cm,故AC+BC =14 cm,所以 BC = 6 cm.(2)当点P位于直线MN与BC延长线的交点时,PACP的值最大,最大值是6cm,理由:因A、B关于直线MN对称,所以AP=BP,当点P位于MN(直线MN与BC延长线的交点除外)上时,根据三角形三边关系始 终有丨PBCP I CD=DE+CE=DE+CE,可知 CDE的周长最小.与OA交于点E,在EA上截取EF=2,(2)如图,作点D关于OA的对称点D,在CB边上截取CG=2,连接DG.GCEF, GC=EF,:四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF,又GC、EF的长为定值,此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.变式6解:作点G关于CD的对称点G,作E关于AB的对称点E 连接GE,交CD于点F、交AB于点H,故比赛最短的路线为:EHGF.课堂作业A基础题组1.D解析:利用对称的性质,通过等线段代换,将所求路线长转化为两定点之间的距离. 作点P关于直线L的对称点P,连接QP交直线L于M.根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道,则所需管道最短.故选D.2.10解析 连接PC,根据等边三角形三线合一的性质,可得PC=BP, PD+PB要取最小值,应使D、P、C三点一线.连接PC,VABC为等边 三角形,D为AB的中点,PD+PB的最小值为: PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.3. 45解析:当PC+PD最小时,作出D点关于MN的对称点, 正好是A点,连接AC, AC为正方形对角线,根据正方形的性质得出ZPCD=45,ZPCD=454解析:要求小华所走路程最短路线,如图,可作点C关于0A的对 称点M,作点C关于0B的对称点N.连接MN,交0A于点F,交0B于点E, 最短路线CEF.B中档题组5解:作出点A关于h的对称点E,点B适于12的对称点F,连接EF, 交于l1, l2于点C,点B,则AC, CD, BD是他走的最短路线.6解:如图,分别作A点关于直线MN的对称点A、B点关于 直线PQ的对称点B,连接AB,分别交MN于点C,交PQ于点D, 连接AC、BD,.:路线AC+CD+BD最短.C挑战题组7.解:作AF丄CD,且AF=河宽,作BG丄CE,且BG=河宽,连接GF,与河岸相交于E、D.作DD、EE即为桥.证明:由作图法可知,AFDD,AF=DD,则四边形AFDD 为平行四边形,于是AD=FD,同理,BE=GE,由两点之间线段 最短可知,GF最小;即当桥建于如图所示位置时,ADDEEB最 短.
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