第4讲 利用轴对称破解最短路径问题

第一章 平移、对称与旋转第 4 讲 利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与 作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。2. 能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借 助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。二、基础知识轻松学与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点 之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的 对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性 质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质： 平行四边形的对边相等。）三、重难疑点轻松破最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的 数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线 段最短解决实际问题在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路 径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边） 三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。（1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A、B在直线m的同侧，点B是点B关于m的对称点，AB交m于点P.（1）ABZ与AP+PB相等吗？为什么？（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB,比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由.解析：(1)V点B是点B关于m的对称点,.PB=PB,TAB =AP+PB，:.AB1 =AP+PB.(2)如图：连接AN, BN, Bz N,.AB =AP+PB,.AN+NB=AN+NBAB,AN+NBAP+PB.点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究, 利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利 用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等.B变式1需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场+公路到A, B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.(2) “两点两线(平行)”问题例2如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河 流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短?解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸.关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法 使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.如图，作BB垂直于河岸GH，使BB等于河宽，连接AB,与河岸EF相交于P,作PD丄GH,则PDBB且PD=BB，于是PDBB为平行四边形，故PD=BB.根据“两点之间线段最短”，AB最短，即AP+BD最短.故桥建立在PD处符合题意.点评：此题考查了轴对称 最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决“造桥选址”的简单的实际问题.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.此类题往往需要利用 对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.变式2如图，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河上架设一座桥CD.请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距 离最小（假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直）.要求写出作法，并说明理由.（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题C例3：如图所示，ZABC内有一点P,在BA、BC边上各取一 点P、卩，使厶PPP的周长最小.1 2 1 2解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC 的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M,以BA为对称轴作出P的对称点N，连MN交BA、BC于点P、P1 2/.PP1P2为所求作三角形.点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线 上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的 思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题.变式3城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如 图中的AO, BO），A0桌面上摆满了桔子，0B桌面上摆满了糖果，站 在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图 帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短?（4）“一线异侧两点” “差最大”问题例4在定直线XY异侧有两点A、B,在直线XY上求作 一点P,使PA与PB之差的绝对值最大.解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B,作直线AB交XY于P点，则点P为所求点（如图）；若BAXY（即B、A到直 线XY的距离相等），则点P不存在.证明：连接BP，在XY 上任意取点P,连接 PA、PB，贝PB=PB,PB=PB,因为 |PB-PA| = |PB-PA|VAB=|PB-PA| = |PB - PA|,所以，此时点P使|PA-PB|最大.点评:本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形, 再由两点之间线段最短的知识求解.变式4.如图，在 ABC中，AB=AC, AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,连接MB,若 AB = 8 cm,AMBC 的周长是 14 cm,(1) 求BC的长(2) 在直线MN上是否存在点P,使丨PA-CP丨的值最大,画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由。(5) “两点一线+线段”例5直线L的同侧有两点A、B,在直线L上求两点C、D,使得AC、CD、DB的和最小,T |且CD的长为定值a,点D在点C的右侧。作法：将点A向右平移a个单位到A1 作点B关于直线L的对称点B1 连结A1B交直线L于点D 过点A作ACA1D交直线L于点C,连结BD,则线段AC、CD、DB的和最小。点C、D即为所求。变式5长方形OACB, OA=3, OB=4, D为边OB的中点.(1) 若E为边OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时，画出 点E的位置；(2) 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，画出点E、F的位置;(6) 台球击点问题A例6如图，在台球桌面ABCD上，有白和黑两球分别位于M, N 两点处，问：怎样撞击白球M,使白球先撞击台边BC,反弹后再去 击中黑球N?解析:作N关于BC的对称点N,连接MN交BC于点E,连接EN.按 ME方向撞击白球M,白球M反弹后必沿EN方向击中黑球N.点评：要使白球M撞击台边BC反弹后再去击中黑球N,必须使ZMEB=ZNEC.由轴对称还可得，ZNfEC=ZNEC.又对顶角ZMEB=ZNEC，故可得到ZMEB=ZNEC .本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应 用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂 直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.变式6如图，甲乙丙丁四人做接力游戏.开始时，甲站在长方形操场ABCD内部的E 点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB、CD边上.游戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁_G tE跑回传给甲.如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹，：作法不用写）四、课时作业轻松练A. 基础题组1. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P,Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）2. 已知，如图ABC为等边三角形，高AH=10cm, P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为cm.第2题第3题3如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最 小时，ZPCD= .4为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线 （如图：AO, OB） A0桌子上摆满苹果，B0桌子上摆满桔子，坐在C士处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，ZAOB小于90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短请作出路线图，并用字母表示所走路线.（保留作图痕迹，不写作法、不必 说明理由）B. 中档题组5如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地I放羊，然后赶羊到小河12饮水，之后 再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊 与饮水的位置.6如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去 喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马 饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使 整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）C. 挑战题组7如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米， 从A处到达B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上 相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B的 路程最短，画出路程图B五、我的错题本参考答案变式练习:变式1解：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A,连接A，B,与公路的交点就是点P的位置.直线m与M,作MNBC即可.理由：两点之间线段最短.变式2解：如图，过点B作BC丄n,且使BC等于河宽，连接AC交变式3解析：本题意思是在0A上找一点D,在0B上找一点E,使 CDE的周长最小.如果作点C关于0A的对称点是M,关于0B的对称 点是N,当点D、E在MN上时，ACDE的周长为CD+DE+EC=MN,此时周 长最小.变式4解：（1）因MN垂直平分AB,所以MB=MA，又因MBC的周长是14 cm，故AC+BC =14 cm,所以 BC = 6 cm.(2)当点P位于直线MN与BC延长线的交点时，PACP的值最大，最大值是6cm,理由：因A、B关于直线MN对称，所以AP=BP，当点P位于MN(直线MN与BC延长线的交点除外)上时，根据三角形三边关系始 终有丨PBCP I CD=DE+CE=DE+CE,可知 CDE的周长最小.与OA交于点E,在EA上截取EF=2,(2)如图，作点D关于OA的对称点D，在CB边上截取CG=2,连接DG.GCEF, GC=EF,：四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF,又GC、EF的长为定值，此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.变式6解：作点G关于CD的对称点G,作E关于AB的对称点E 连接GE,交CD于点F、交AB于点H,故比赛最短的路线为:EHGF.课堂作业A基础题组1.D解析：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离. 作点P关于直线L的对称点P,连接QP交直线L于M.根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.故选D.2.10解析 连接PC,根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP, PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线.连接PC,VABC为等边 三角形，D为AB的中点，PD+PB的最小值为： PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.3. 45解析：当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点， 正好是A点，连接AC, AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出ZPCD=45,ZPCD=454解析：要求小华所走路程最短路线，如图，可作点C关于0A的对 称点M,作点C关于0B的对称点N.连接MN,交0A于点F,交0B于点E, 最短路线CEF.B中档题组5解：作出点A关于h的对称点E,点B适于12的对称点F,连接EF, 交于l1, l2于点C,点B,则AC, CD, BD是他走的最短路线.6解：如图，分别作A点关于直线MN的对称点A、B点关于 直线PQ的对称点B,连接AB,分别交MN于点C,交PQ于点D, 连接AC、BD,.：路线AC+CD+BD最短.C挑战题组7.解：作AF丄CD,且AF=河宽，作BG丄CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E、D.作DD、EE即为桥.证明：由作图法可知，AFDD,AF=DD，则四边形AFDD 为平行四边形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段 最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB最 短.