第六讲整数拆分

整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义：把一种自然数拆提成两个或几种持续自然数的和（如312），或拆提成几种不相似的数的和，此类题目统称为整数的拆分。加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过度类枚举进行拆分然后进行记录计数。规定同窗不仅可以通过拆分解决有关的最大最小问题，同步也能通过拆分解决某些应用问题。【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。她们每人打了两发子弹。小兵共打中6环，小军共打中5环。又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。你懂得她俩打中的都是哪几环吗？例1图【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图她们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱 靶现象)。强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下她俩打中的是哪几环？巩固图【例2】有多少种措施可以把1994表达为两个自然数之和？【巩固】将12拆提成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。【例3】有多少种措施可以把6表达为若干个自然数之和？【巩固】按下面的规定，把自然数6进行拆分。把6拆成几种自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分措施？把6拆成几种不完全相似的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分措施？把6拆成几种完全不相似的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分措施？【例4】按下面的规定，把15进行拆分。将15拆提成不不小于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。将15拆提成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。【巩固】将15拆提成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。【例5】有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。要从这些盘子中取出15个梨，但规定每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？【巩固】某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果她想买7分钱的一件商品，她应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢，她又将如何付款？【例6】猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它规定三兄弟一共要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈的规定，目前小猪们要分派任务了，它们有多少种不同的分派措施？【巩固】体育课上，10个小朋友提成三组做游戏，一共有多少种不同的分组措施？答案【例1】 小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环 【巩固】明明打中的是6环和2环，强强打中的是8环和4环【例2】 997【巩固】 12129 12138 12147 12156 12345 237 246 共8种【例3】 11【巩固】 10种， 7种， 3种【例4】 将15拆提成不不小于9的三个不同的自然数 15951 15861 15762 15654 942 852 753 843 共8种将15拆提成三个不同的自然数相加之和151221 151131 15104l 15951 1586l 15762 1032 942 852 75384315654 共12种 【巩固】 151239 151347 152346 1248 1356 1257共6种拆分措施【例5】 7种 【巩固】这道题目的实质是规定把7，9，10，13，14，15各数按1，2，4，8进行拆分。 7124 918 1028 13148 14248 151248外星人可按以上方式付款【例6】 4种【巩固】 8种整数分拆之最值与应用一、拆分的基本知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式浮现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还规定掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和措施。二、拆分基本措施1.题目规定拆质数且乘积最大若可以拆相似的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1拆分后乘积最大”原则。2.若题目规定拆成若干个互不相似的自然数之和规定这些自然数的乘积尽量大应将数列拆提成：a234的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成正好相似，则：当多0时，将a拆成a234 (n-1) n；当多1时，将a拆成a345 (n-1) ( n-1)；当多2，3，n1中的数时，就将该数从2，3，n1，n中删除，其他数即为所拆之数。 例如：将30拆成若干个互不相似的自然数之和，规定这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？比30大5，故将5去掉30被拆成234678【例1】将15拆提成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应当如何拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆提成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应当如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有 种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆提成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应当把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。【例6】把72拆提成若干个互不相等的自然数之和，且使所有加数的乘积尽量大，如何拆分？【巩固】把1993拆提成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？答案【例1】将15进行拆分，并计算乘积15114 11414 15213 2132615312 31236 15411 41144 15510 51050 1569 6954 1578 7856 15拆提成7和8的和，乘积最大，是56 【巩固1】把11拆提成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时有110，29，38，47，56五种措施它们的乘积分别是：11010，2918，3824，4728，5630 显然，把11拆提成56时有最大的积5630【巩固2】把14拆提成两个自然数之和，共有7种不同的方式若想乘积最大 1477，7749 因此，当把14拆分为两个7之和的时候，乘积(7749)最大【例2】由例1的阐明对于两个数可知，假设nab (ab)且ab1时，乘积ab不是最大的。换句话说，若nab (ab)，当a、b两数相等或差为1时，乘积ab取最大值。那么对于三个数呢？假设nabc (abc)且ac1时，乘积abc不是最大的。若nabc (abc)，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值。 由于14342，由分析可知：当ab5且c4时乘积abc554100为最大值【巩固】运用上面的结论可知，若nabc (abc)当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积abc取最大值由分析可知：当ab6且c7时乘积abc667252为最大值【例3】反复使用上述结论，可知要使拆提成的8个自然数的乘积最大必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1由于199982497，由上述分析，拆法应是1个249，7个250其乘积2492507为最大【巩固】运用例题3的结论：可知要使拆提成的6个自然数的乘积最大必须使这6个数中的任意两数相等或差数为1由于由上述分析，拆法应是1个258，5个259其乘积2582595为最大【例4】36种，当长与宽都是36厘米时,面积最大 【巩固】边长是25的正方形的地面积最大，是625平方米【例5】根据上面的讨论成果，我们应当把14拆提成四个3与一种2之和即1433332这五数的积有最大值33332162 【巩固】6673 拆提成(667个3的和)时，其积最大 1994拆提成(664个3的和) 2时，其积最大 1993拆提成时，其积最大【例6】为使所有加数的乘积最大，显然要使加数的个数尽量多，每个加数尽量小，但又不能是1，因此应将72拆提成从2开始的若干个持续自然数。由于：23411657223412777277725，因此从加数中去掉5即：112最多可以拆成10项【巩固】 2321232463