人教版八年级数学第十三章《轴对称》

第1课时 轴对称（1）教 学目 标1在生活实例中认识轴对称图 2分析轴对称图形，理解轴对称的概念教学重点由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念教学难点理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 感受新知【问题】观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征 小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子我们的黑板、课桌、椅子等 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的这些图形都是对称的这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合二、合作交流 解读探究轴对称图形1、做一做把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？2、想一想日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？3、轴对称图形定义：如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 这个图形就叫做轴对称图形。 就是它的对称轴。轴对称 1、做一做: 折纸印墨迹问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？2、想一想: 教材P30-思考3、轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做 。关于某条直线成轴对称的图形的性质特征1、想一想：教材P31 -思考1 结论：2、轴对称与轴对称图形的联系与区别轴对称图形轴对称区别联系如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合三、应用迁移 巩固提高【例1】下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，有几条对称轴？ 大 小 口 中 朋 木【例2】在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴【例3】判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称. 【例4】标出下列图形中的对称点【例5】观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，若是，请画出对称轴。 【练习】课本4 练习四、总结反思 拓展升华这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称五、课堂作业 P36 1 2 第2课时 轴对称（2）教 学目 标1、 理解线段的垂直平分线的概念；理解成轴对称的两个图形全等。2 、探索轴对称的基本性质；线段垂直平分线的性质。教学重点探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。教学难点探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【思考】如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A、B、C分别是A、B、C的对称点，线段AA、BB、CC和直线MN有什么关系？学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A是对称点，可以设AA与对称轴的交点为P，将ABC沿MN对折后A与A重合，于是有AP=PA、MPA=MPA90，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义，归纳性质。二、合作交流 解读探究轴对称的性质1、垂直平分线的定义：经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。2、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质1、想一想：如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：根据条件OA=OB、AOP=BOP、OP=OP由SAS可以得出AOPBOP，于是得出AP=BP2、品一品：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 与这条线段 的距离 。请写出证明过程思考：反过来，如果PAPB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？3、再想一想：如图用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？4、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测验证”过程在图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直三、应用迁移 巩固提高【例1】电信部门要修建一个电视信号发射塔如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置根据问题的条件和要求，可以发现发射塔必须修建在公路所成角的平分线上，同时还要在线段AB的垂直平分线上，只要作出角的平分线和线段AB的垂直平分线，两者的交点就是符合条件的点【例2】如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开,得到的图案是右图中的【 】【例3】下列说法中，正确的有【 】1、两个关于某直线对称的图形是全等形；2、两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁；3、两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴；4、平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称。A、0个 B、1个 C、2个 D、3个【例4】将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是【 】【例5】下列命题中，假命题是（ ）A、两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等B、两个图形关于某直线对称，且对应线段相交，则交点必在对称轴上C、两个图形关于某直线对称，对应点的连线不一定垂直对称轴D、若直线L同时垂直平分AA、BB，那么线段ABAB【练习】课本34 练习引导学生根据角平分线性质和线段垂直平分线性质寻找符合条件的点四、总结反思 拓展升华这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题五、课堂作业 P36 3 4 5六、教学反思第3课时 轴对称（3）教 学目 标1经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程2掌握轴对称图形对称轴的作法3在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力教学重点作出轴对称图形的对称轴。教学难点探索轴对称图形对称轴的作法教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【问题1】如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线【问题2】有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 对称点 ，作出连接它们的 线段 的 垂直平分线 线，就可以得到这两个图形的对称轴二、合作交流 解读探究【问题3】如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 已知：线段AB如图（1） 求作：线段AB的垂直平分线 作法：如图（2） 1分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点； 2作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线【思考】在上述作法中，为什么要以“大于AB的长”为半径作弧？分等于或小于以AB长为半径作弧两种情况考虑。【思考】根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行交流从作法的第一步可知AC=BC，AD=BDC、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）【问题4】下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴作法：1找出五角星的一对对应点A和A，连结AA 2作出线段AA的垂直平分线L 则L就是这个五角星的一条对称轴 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明三、应用迁移 巩固提高【例1】如下图，已知直线L和两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA=PB分析：PA=PB，则P点在线段AB的垂直平分线上，P点又在直线L上，故P点为线段AB的垂直平分线与直线L的交点解：作出线段AB的垂直平分线L，L与直线L的交点即为P，使PA=PB【例2】画出下图甲中的各图的对称轴分析：根据对称图形的性质可知：这几个图形的对称轴分别有3条、2条、1条、3条解：如图所示：【例3】如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？分析：（1）到A、B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到两边距离相等”（2）要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”解：（1）如图（1），取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A、B的距离相等（2）如图（2），画出点A关于河岸EF的对称点A，连AB交EF于P，则P到A、B的距离和最短方法总结：“垂线段最短”“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个重要方法【练习】课本35 练习方法总结：当对称轴的条数超过1条时，各对称轴往往交于一点四、总结反思 拓展升华本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴五、课堂作业 P37 6 7 8 9 10六、教学理念/反思第4课时 作轴对称图形（1）教 学目 标1、通过具体实例学做轴对称图形,认识轴对称变形,探索它的基本性质和定义。2、能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。3、能利用轴对称进行图案设计。教学重点1、轴对称变形的基本特征。 2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。教学难点利用轴对称进行一些图案设计。教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【图片欣赏】展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案。如：剪纸艺术、服饰文化、几何图案、花边艺术等。【观察思考】这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？ 从学生熟悉的图形入手,感受轴对称图形在生活中的广泛应用,体会数学就在身边,激发学生学习数学的兴趣。二、合作交流 解读探究【动手画图1】1、取一张长方形纸；2、将纸对折，中间夹上复写纸；3、在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶；4、把纸展开【动手画图2】1、再取一张长方形纸；2、将纸对折，中间夹上复写纸； 3、在纸上远离折叠线画出一朵花；4、把纸展开。学生画图，教师关注： 学生如何画出图形的基础部分；折痕两旁的部分是什么关系？ 折痕所在直线就是它的对称轴。找出一对对应点并连接，观察它与折痕的关系。思考这些图案是怎样形成的？归纳总结：一个轴对称图形可以看作由它的一部分为基础，按轴对称原理作图而得到。成轴对称的两个图形也可以由其中的任何一个图形为基础，按轴对称原理作图而得到另一个图形。【动手画图3】取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置会变吗？【思考】每组图案是怎样得到的？ 每组图案中相邻的两个图案是否都是对称的？ 每组图案各有几条对称轴，对称轴一定是水平或竖直的吗？ 这些图案由一个图形经一次轴对称作图就能得到吗？【教师关注】 学生画出的是一个什么图形。是否改变了折痕并重复了几次。归纳总结：对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也发生了变化。作轴对称图形的基本特征：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流展示学生的作品，听取学生的评价。让学生亲自动手学画轴对称图形，去感受、理解轴对称变形的过程。 观察所画图形，寻找对称点，便于总结轴对称作图的基本方法，培养学生独立思考问题、解决问题的能力三、应用迁移 巩固提高【例1】如图，已知ABC和直线l，你能作出ABC关于直线l对称的图形。【思考】如果这个图形就是一个点，如何作出与这个点关于这条直线对称的图形呢?ABC关于直线l的对称图形是什么形状？ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法如图，作点A关于l的对称点的方法是：（1）过A作l的垂线垂足为O；（2）连接AO并延长到A，使AOAO，则点A就是点A关于直线l的对称点归纳：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚。几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 【练习】课本41 练习从最简单的几何图形做起，便于学生理解、掌握。分步设问，便于引导学生理解作图方法。通过教师作图板书的示范,让学生体验作图的准确性和规范性。让学生在思考、合作、交流中归纳出作一个图形的轴对称图形步骤，锻炼口头表达能力。四、总结反思 拓展升华本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案五、课堂作业 P45 1 5六、教学理念/反思第5课时 作轴对称图形（2）教 学目 标1能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形2培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力3使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系教学重点能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形教学难点应用轴对称解决实际问题教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【问题1】以虚线为对称轴画出图的另一半：【问题2】已知ABC，过点A作直线l求作：ABC使它与ABC关于l对称二、合作交流 解读探究【问题3】如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？【问题4】如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？【问题5】如图，如果A，B在燃气管道l的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律吗？过程：把管道l近似地看成一条直线如图（2），设B是B的对称点，将问题转化为在l上找一点C使AC与CB的和最小，由于在连结AB的线中，线段AB最短因此，线结AB与直线l的交点C的位置即为所求结果：作B关于直线l的对称点B，连结AB，交直线l于点C，C为所求【思考】为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小结果：如上图，在直线l上取不同于点C的任意一点C由于B点是B点关于L的对称点，所以BC=BC，故AC+BC=AC+BC，在ABC中AC+BCAB，而AB=AC+CB=AC+CB，则有AC+CBAC+CB由于C点的任意性，所以C点的位置修建泵站，可以使所用输气管线最短 三、应用迁移 巩固提高【例1】八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最短的距离拿到球并跑到目的地A处。【例2】在例1中，如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。【例3】如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。四、总结反思 拓展升华五、课堂作业 六、教学理念/反思第6课时 用坐标表示轴对称教 学目 标能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点，能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中，培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法教学重点1理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系2在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识教学难点找对称点的坐标之间的关系，规律教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【问题】在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入空格中看看每对对称点的坐标有怎样的规律再和同学讨论一下已知点A(2，-3)B（-1，2）C（-6，-5）D（0.5，1）E（4，0）关于x轴对称的点A( )B( )C( )D( )E( )关于y轴对称的点A( )B( )C( )D( )E( )学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律二、合作交流 解读探究【总结规律】点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等利用刚才发现的点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴、y轴对称的图形教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律三、应用迁移 巩固提高【例1】点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为_.点M (a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_, b =_.点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_.点M (a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_, b =_.已知点P(2a+b，-3a)与点P(8，b+2).若点p与点p关于x轴对称，则a=_ b=_.若点p与点p关于y轴对称，则a=_ b=_.【例2】如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与ABC关于x轴和y轴对称的图形。【例3】如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（5，1），B（2，1），C（2，5），D（5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。【练习】课本45 练习2直接应用关于x、y轴对称点的坐标特征得出结果。学生根据关于x、y轴对称点的坐标特征，首先求出各点关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程四、总结反思 拓展升华1点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求2、(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等3、如果作关于直线x3(记为m)和直线y=-4(记为n)对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?五、课堂作业 P45 2 3 4 6 7教学理念/反思第7课时 等腰三角形（1）教 学目 标1、巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。教学重点等腰三角形性质的探索及应用。教学难点等腰三角形性质的应用。教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【问题1】如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容二、合作交流 解读探究让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角如图：ABC中，若AB=AC，则ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、A是顶角，B和C是底角【问题2】把问题1中剪出的ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：重合的线段重合的角从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合【问题3】你能证明上述两个性质吗？如图，已知ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线（1） 求证：B=C；（2） AD平分A，ADBC学生活动学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证B=C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，于是可以证明ABD和ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明解：在ABD和ACD中ABDACD（SSS）B=C，BAD=CAD，ADB=ADC90应用格式：AB=AC（已知）BAD=CAD（等边对等角）AB=AC，BAD=CAD BD = ， 。AB=AC，BD=CD BAD= ， .AB=AC，ADBC BAD= ， BD= . 学生动手操作，从剪出的图形观察ABC的特点，可以发现AB=AC学生经过观察，独立完成上表，从表中总结等腰三角形的性质让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性三、应用迁移 巩固提高【例1】如图（，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各个内角的度数引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）发现：（1）ABC=ACBCDBAABD；（2）AABD；（3）A2C180若设Ax，则有x4x180，得到x36，进一步得到两个底角EDCBA【例2】如图3，在ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE.求证：BD=CE【练习】课本50 练习学生小组合作、分组讨论，交流四、总结反思 拓展升华这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们五、课堂作业 P56 1 2 3六、教学理念/反思第8课时 等腰三角形（2）教 学目 标1、掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活运用解决实际问题；2、通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力；教学重点等腰三角形的判定方法。教学难点等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【问题】如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得AB如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容二、合作交流 解读探究学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件AB下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形 教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OCAB于点C，利用AAS可以证明OAC和OBC全等，进而得到AO=BO解：过点O作OCAB于点C。AB、ACO=BCO、OC=OCAOCBOCAO=BO最后归纳出等腰三角形的判定性质如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）应用格式：BAD=CAD（已知）AB=AC（等角对等边）三、应用迁移 巩固提高【例1】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。已知：如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC求证：AB=AC证明：ADBC， 1=B（两直线平行，同位角相等）， 2=C（两直线平行，内错角相等） 又1=2， B=C， AB=AC（等角对等边）【例2】如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？ 解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m） （1）作线段DE=4cm； （2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B； （3）在MN上截取BC=2.5cm； （4）连接CD、CE，CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长【例3】如图，在ABC中，过C作BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DEAB交AC于E求证：AE=CE证明：延长CD交AB的延长线于P在ADP和ADC中，ADPADC，P=ACD又DEAP4=P，4=ACDDE=CE同理可证：AE=DEAE=CE【练习】课本53 练习几何命题的证明首先将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质四、总结反思 拓展升华本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解在利用定理的过程中体会定理的重要性在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力五、课堂作业 P56 4 5 9 13六、教学理念/反思第9课时 等边三角形（1）教 学目 标1、经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题教学重点理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题教学难点等边三角形性质和判定的应用教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课【问题】在等腰三角形中，有一类特殊的三角形三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？（3）你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗？创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容二、合作交流 解读探究学生独立思考，然后进行交流，在交流中完成：（1）所有性质的探索；（2）性质的证明等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60的等腰三角形是等边三角形让学生归纳所有性质，并证明所有的性质三、应用迁移 巩固提高【例1】如图，兴趣小组在一次测量活动中测得APB60，AP=BP=200 m，他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m他们的结论对吗？教学设计：学生在独立思考的基础上进行讨论，经过讨论可以发现，只需要证明ABP是等边三角形即可根据条件AP=BP知，此三角形是等腰三角形，又APB60，可以得到三角形是等边三角形，进而可以得到AB200 m，所以兴趣小组的结论是正确的【例2】已知，在等边ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，求证：ADE是等边三角形。教学设计：学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，要证明ADE是等边三角形可以有两种方法：方法1 证明有两边相等，且有一个角是60；方法2 证明三个角都相等（是60）对于方法1，根据条件容易得到，AD=AE且A60于是结论成立；对于方法2由于不容易实现，学生可以课下思考解：ADE是等边三角形， ABC是等边三角形， A=60 又AD=AE， ADE是等腰三角形 ADE是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）【例3】如图，以ABC的边AB、AC向外作等边ABE和ACD，连接BD、CE，（1）线段CE和BD有什么数量关系？证明你的结论（2）能否求出DFC的度数？教学设计：学生先独立思考再小组讨论，然后交流（1）经过分析可以发现，只需要证明线段CE和BD所在的AEC和ABD全等即可，根据等边三角形的性质可以得到AC=AD，AE=AB，DAC=EAB60，进而得到EAC=BAD，根据SAS得到AECABD，于是结论成立；（2）根据（1）可以得到BDA=ACE，又CGF=DGA(对顶角)，可以得到DFC60，问题解决解：ABE和ACD是等边三角形， DAC=EAB60，AE=AB，AD=AC， EAC=DAB 在AEC和ABD中， AECABDBD=EC，BDA=ACE，又CGF=DGA，DFCDAC60【练习】课本54 练习让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性鼓励学生大胆猜测结论，然后进行证明教师在学生交流的基础上，引导学生寻找解决这类问题时需要注意的地方，让学生写出规范的解题过程四、总结反思 拓展升华这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用五、课堂作业 P56 6 7 11六、教学理念/反思第10课时 等边三角形（2）教 学目 标1探索发现猜想证明直角三角形中有一个角为30的性质2有一个角为30的直角三角形的性质的简单应用教学重点含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明教学难点1含30角的直角三角形性质定理的探索与证明2引导学生全面、周到地思考问题教 学 互 动 设 计设计意图一、创设情境 导入新课我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？【问题】用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容二、合作交流 解读探究用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形 其中，图（1）是等边三角形，因为ABDACD，所以AB=AC，又因为RtABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形图（1）中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等边三角形从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形由此你能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？定理：在直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半已知：如图，在RtABC中，C=90，BAC=30求证：BC=AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，则B=60 延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如图） ACB=60， ACD=90 AC=AC， ABCADC（SAS） AB=AD（全等三角形的对应边相等） ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形） BC=BD=AB让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系三、应用迁移 巩固提高【例1】右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱BD、DE要多长？ 分析：观察图形可以发现在RtAED与RtACB中，由于A=30，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB 解：因为DEAC，BCAC，A=30，由定理知 BC=AB，DE=AD， 所以BD=7.4=3.7（m） 又AD=AB， 所以DE=AD=3.7=1.85（m） 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m【例2】等腰三角形的底角为15，腰长为2a，求腰上的高 已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高 求：CD的长 分析：观察图形可以发现，在RtADC中，AC=2a，而DAC是ABC的一个外角，则DAC=152=30，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半，可求出CD 解：ABC=ACB=15， DAC=ABC+BAC=30 CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）【练习】课本56 练习学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半四、总结反思 拓展升华这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30的直角三角形的边的关系这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用五、课堂作业 P57 8 10 14教学理念/反思第十二章复习 轴对称本章视点一、课标要求与内容分析1.本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.（2）线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质.（3）等腰三角形：了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.2.本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用.3.本章内容分为：(1)轴对称；（2）轴对称变换；（3）等腰三角形.第一部分介绍轴对称的意义、轴对称的性质，会画一个轴对称图形的对称轴；第二部分介绍如何画一个轴对称图形，怎样用坐标表示轴对称；第三部分介绍怎样利用轴对称来探索等腰三角形的性质.本章内容的编排，体现了从一般到特殊，再到应用的特点.4.本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.二、学法指导在本章的学习中，要逐步体会轴对称的思想，同时由特殊到一般的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.章末总结知识网络图示基本知识提炼整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.专题总结及应用一、用轴对称的观点证明有关几何命题例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在ABC中，C=90，A=30，如图所示.求证：BC=AB. 证明：如图所示.作出ABC关于AC对称的ABC.AB=AB.又CAB=30，B=B=BAB=60.AB=BB=AB又ACBB，BC=BC=BB=AB.即BC=AB.例2 如图所示，已知ACB=90，CD是高，A=30.求证BD=AB.证明：在ABC中，ACB=90，A=30，BC=AB，B=60.又CDBA，BDC=90，BCD=30.BD=BC.BD=AB=AB.即BD=AB.二、有关等腰三角形的内角度数的计算例3 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求A的度数.（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.解：AB=AC，BC=BD=ED=EA，ABC=C=BDC，ABD=BED，A=EDA.设A=，则EDA=，ABD=BED=2，ABC=C=BDC=3（根据三角形的外角性质）.在ABC中，A=，ABC=ACB=3，由三角形内角和可得+3+3=180，=，A=.A的度数为.例4 如图所示，在ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求BAC的度数.