物理光学 梁铨廷 答案

第一章光的电磁理论1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0, Ey=0, Ez=(102)Cos 丸 X 1014 (*)+， c2(各量均用国际单位)，求电磁波的频率、波长、 周期和初相位。解：由 Ex=0，Ey=0，Ez=(102)Cos n X 1014 (t *) +；，则频率。=；弋84=0.5 X 1014Hz， 周 期 T=1/ u =2X 10-14S，初相位中0=+ n /2( z=0，t=0 )， 振幅 A=100V/m，波长入=cT=3 X 108X2X 10-14=6 X 10-6m。1.2. 一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey= 2Cos 2丸 X 1014 (g t) +笼，Ez=0，求：(1 ) c2该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？ ( 2 )波的传播和电矢量的振动取哪个 方向？ (3)与电场相联系的磁场B的表达式如 何写？解：(1)振幅 A=2V/m，频率 u =3 = 4 = 2冗2冗1014Hz，波长入=q = g8=3x10-6m，原点的 u1014初相位中0=+ n /2 ； ( 2 )传播沿z轴，振动方向 沿 y 轴；(3 )由 B=x(efc X .E)，可得 By=Bz=0，Bx= 2 Cos 2丸 X 1014 (各一t)+足c Lc2-向传播的平面波的复振幅；(2)发散球面波和汇聚 球面波的复振幅。解：(1 )由户=4exp(i& 户)，可得E = 刀exp ik(ycos0 + zsin0)；(2)同理：发散球面波 户(r，t) = 4exp(ikr)= 41exp(ikr)，r汇聚球面波户(r，t)=刀/xp(-ikr)= 41exp(ikr)or1.5 一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。其频率为4 X 1014Hz，电场振幅为14.14V/m，如果 该电磁波的振动面与xy平面呈45，试写出E，B 表达式。, . t t. r解：E = Eyey + Ezez，其中q=10exp i 驾* 一 2n u t)=10exp i (2x- 2nut)=10exp i (2”X4X1014 x 2n X 4 X 1014t)3X108=10exp i (8 X 106丸)(x 3 X 108t)，3同理：g = 10exp E (8 X 106丸)(x 3 X 108t)tB = 1 (稣X E) = qq +乌弓，其中乌=10 exp i (8 X 106丸)(x 3 X 108t) =q o1.3. 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex= 102 Cos丸 X 1015 (T-0.65c-t)试求：(1)光的频率；(2 )波长；(3 )玻璃的1.6 一个沿k方向传播的平面波表示为E=100exp(i(2x + 3y + 4z) 16 X 105t ，试求 k方向的单位矢fc0o解：化| = 22 + 32 + 42 = 726，_ 一 _ _ 一.又 k = 2e + 3% + 4q，. .焰=7 (2气 + 3% + 4q )折射率。解：( 1 )1.9证明当入射角印=45时，光波在任何两种介质 分界面上的反射都有= *2。入 = 显=2 = 2X0.65X3X108 m =k兀X1015/0.65c1015证明： 尸 =sin (气一明=sin 45 cos &2cos 45 sin * s sin (1+02) sin 45 cos 02+cos 45 sin 023.9 X 107m = 390nm；(3)相速度v=0.65c，所以折射率n=G =。Q 1.54v 0.65c二一sin 勺=1tan 勺cos q+sin % 1+tan 021.4与出：(1)在yoz平面内沿与y轴成。角的k万tan(Q -印)琮tan(61 + %)二 tan &2/1tan45 tan &2 = 1tan乌 22tan 45 tan &2/1tan 45 tan 82 1tan 句 s1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻 璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。证明：由布儒斯特角定义，O+i=90，设空气和玻璃的折射率分别为和弓，先由空气入 射到玻璃中则有n1 sin 0 = n2 sini，再由玻璃出射 到空气中，有 n2sind = n1 sini，又0= i，n1sini= n1sind n i= 6, 即得证。1.11平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃 n = 1.5上，求：（1）能流反射率%和&s;（2）流透射率七和八。解：由题意，得n = 2=1.5,n1又。为布儒斯特角，则。i=90. n1sin0 = n2sini n sin0 = nsini 由、得，Q = 56.31，i = 33.69o=2aexp i kxK sin t。1.18两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为E1 = a1cos % 尻和E2 =t o 若g = 2n x 1015Hz，a，1 = 6V/m，=0，2 = n / 2,求该点的合振动a，2 cos 甲2% =8V/m，表达式。解：E = E1E2=a，1Cosa2 cos 甲2Mt =6 cos 2兀X 1015仓8cos2nx 1015 仓=6cos 2n x 1015t=10cos arccos 610=10cos 537488sin2n x1015 仓2nx 1015 仓2nx 1015仓。1.20求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表 达式。解：,ErZ 0 Z A/2由图可知,E z = Z XX/2ZX，(1) R =也渺皿 =0，Ptan2 Oi2 EA0=i!oEzdzR = sin2 ei = 0.148 = 14.8%， s sin2 0i.2Aj/2 z dz由七同理，T =85.2%o* = 1，可得七=1，mkz dz1.12证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的 分界面上时，tp = 1/n，其中n = n2/n1 o(a/2E zcosmkzdz E z cosmkzdz)h/2证明：t =冲如1P sin QQ 2 cos QQ因为Z为布儒斯特角，所以 0r = 90，2sin% cos。 % sin 90 cos 01 02cos 90022sinq cos。Q2= 2sin d2cos 31 = 2部2 cos句=g，又根据折射定律 sin 2322 sin 笔 cos 笔 sin 幻n1 sin q = n2 sin 62，得sin =r = ，则%=：，其中n = n2/n1，得证。1.17利用复数表示式求两个波、=a cos kx 3t 和=a cos kx Mt的合成。E2 = acos kx 尻 t aexpi kx tist eist2解:E = E=aexpi kx =aexp ikx e=2asin 尻 exp i coskx sinkxcos kx 尻22m2k2l2=二：，5 为奇数），Bm=2 p E z sinmkzdz = 0,.2 2X cos kz4 n21234 Z 00 cosmkz/m2cos 3kz cos 5kz 32521.21试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数 的表达式。解：由图可知，A /azA/a，=2/d3JX/ap4dz dz =Ja0Xk/acos mkz dzX/acosmkzdz0cosmkzdz la-sin2， B = 2 AE z sinmkzdz = 0, nm a m A j0工(2 2 cos m-n) sin mkz m=1m8-2- sin2 cosmkzo1.22利用复数形式的傅里叶级数对如图所示的周 期性矩形波做傅里叶分析。s 工 E,、1(0 z 2/2)解：由图可知，E(z) = 1(2/2 z2)，Aq = 2 fE(z) dz = f2 dz + f/ (-1) dz = 0,Am = 2 f- E(z)cos (mkz) dz = 0,=2 (f2 sin mkzdz f sin mkzdz)=- (2 2 cos mn),nmZ8=(sin kz + ?sin 3kz + sin 5kz +)兀351.23氟同位素k*6放电管发出的红光波长为2 =605.7nm,波列长度约为700mm，试求该光波的 波长宽度和频率宽度。解：由题意，得，波列长度2L = 700mm,由公式刀2 = 2 = 605-72 = 5.2 x 10-4nm,2L 700x106又由公式2L = c/Av，所以频率宽度所=4 = 3x108 Hz = 4.3 x 10sHzo2L 700x10-31.24某种激光的频宽如=5.4 x 104Hz,问这种激 光的波列长度是多少？解：由相干长度Dmax =农=4，所以波列长度2L = max AA 加42 = = 3x108 = 5.55 x 103maAA Av 5.4x104第二章光的干涉及其应用2.1在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片， 其厚度h = 0.01mm，折射率n = 1.5，若光波波长 为500nm,试计算插入玻璃片前后光束光程和相位 的变化。解：由时间相干性的附加光程差公式刀= (n 1) = (1.5 1) x 0.01mm = 0.005mm，S = 2A= 2s x 0.005 = 20兀。2.2在杨氏干涉实验中，若两小孔距离为0.4mm, 观察屏至小孔所在平面的距离为100cm，在观察屏 上测得的干涉条纹间距为1.5cm,求所用光波的波。解：由公式e=m，得光波的波长dA = &d = 1-5x103x0-4x103 m = 6 x 107-m = 600nm。D100x1022.3波长为589.3nm的钠光照射在双缝上，在距双 缝100cm的观察屏上测量20个干涉条纹的宽度为 2.4cm,试计算双缝之间的距离。解：因为干涉条纹是等间距的，所以一个干涉条纹 的宽度为e = cm。又由公式e =,得双缝间距离d =- = 589.3x106x100x10 mm=0.491mm。2.4设双缝间距为1mm，双缝离观察屏为1m，用钠 光照明双缝。钠光包含波长为L = 589nm和 = 589.6nm两种单色光，问两种光的第10级亮条纹之 间的距离是多少？解：因为两束光相互独立传播，所以光束第10级亮条纹位置* =球广，光束第10级亮条纹位置*2 = 了，所以间距Z =七一、=了(人2 - %)=10x1000 x (589.6 一 589) x 106 = 6x 10-3mm。12.5在杨氏双缝干涉的双缝后面分别放置 = 1.4 和= 1.7,厚度同为t的玻璃片后，原来中央极 大所在点被第5级亮纹所占据。设A = 480nm，求 玻璃片厚度t以及条纹迁移的方向。解：由题意，得(n2 - n1)t = 52,所以* = 5 = - = 8x 106m = 8.m, n 2一孔11.71.4条纹迁移方向向下。2.6在杨氏双缝干涉实验装置中，以一个长30mm的 充以空气的气室代替薄片置于小孔Sj前，在观察屏 上观察到一组干涉条纹。继后抽去气室中空气，注 入某种气体，发现屏上条纹比抽气前移动了 25个。 巳知照明光波波长为656.28nm，空气折射率a = 1.000276，试求注入气室内的气体的折射率。解：设注入气室内的气体的折射率为儿则25 x 65628x 109+ 1.000276(n na)h = 252,所以n = 251 + na解：由公式，=3+片所以芯2.15在图2.22(a)所示的平行平板干涉装置中，若平板的厚度和折射率分别为h = 3mm和九=1.5，望远镜的视场角为6，光的波长2 = 450nm，问通过望远镜能够看见几个亮纹？解：设能看见N个亮纹。从中心往外数第N个亮纹对透镜中心的倾角。矿 成为第N个条纹的角半径。 设m为中心条纹级数，q为中心干涉极小数，令 m0=m + q(mfz, 0 q 两式相减，可得2nh(1 cosN)=(N 1 +小，利用折射定律和小角度近似，得On =nm = 5.469 X 104 + 1.000276 = 1.000823。2.7杨氏干涉实验中，若波长2=600nm，在观察屏上 形成暗条纹的角宽度为0.02，(1)试求杨氏干涉中 二缝间的距离？ (2)若其中一个狭缝通过的能量 是另一个的4倍，试求干涉条纹的对比度？ 解：角宽度为口 = 0.02 X：0， 所以条纹间距e = ： =600诚=1.72mm。几由题意，得4=4/2，所以干涉对比度K2顷2小2*K = =22 = 4/5 = 0.81 + /1/21 + 4/2/22.8若双狭缝间距为0.3mm，以单色光平行照射狭 缝时，在距双缝1.2m远的屏上，第5级暗条纹中 心离中央极大中间的间隔为11.39mm，问所用的光 源波长为多少？是何种器件的光源？顼139*103 踞弋103 m = 632.8nm。12x(4+0.5)此光源为氦氖激光器。2.12在杨氏干涉实验中，照明两小孔的光源是一个 直径为2mm的圆形光源。光源发光的波长为500nm， 它到小孔的距离为1.5m。问两小孔可以发生干涉的 最大距离是多少？解：因为是圆形光源，由公式bc = 1.222Z/d，则d = 1.22” = 1.22x500x106 x1.5x103 = 0.46mm。 与22.13月球到地球表面的距离约为3.8 X 105km，月球 的直径为3477km，若把月球看作光源，光波长取 500nm，试计算地球表面上的相干面积。习：=(频率增大时波长减小)，取绝对值得证。相干长度以=2/贝=摞=21013nm = 20km，频率宽度刀v = = qHz扁以 20X103=1.5 X 104Hz。工JN 1 + q，(冷为平行平板周围介质的折 冗，h射率)对于中心点，上下表面两支反射光线的光程差为D = 2航 + 久=(2 X 1.5 X 3 X 106 +23.477 X 109/0.61 X 500 X 106 X 3.8 X 1011、25 X (3.477 X 109)=3.49 X 103 mm2。2.14若光波的波长宽度为刀2,频率宽度为刀v,(2 X 104 +1) x 450nm。因此，视场中心是暗点。由上式，得N = 嘴 =3x106x(M)2 = 12.1，因此，nA1.5x450有12条暗环，11条亮环。证明：。式中，V和2分别为光波的频率 A和波长。对于波长为632.8nm的氦氖激光，波长宽 度为刀2 = 2 X 108 nm，试计算它的频率宽度和相干长度。解：证明：由D=ct = 22/，则有1“儿2.16 一束平行白光垂直投射到置于空气中的厚度 均匀的折射率为h = 1.5的薄膜上，发现反射光谱 中出现波长为400nm和600nm的两条暗线，求此薄 膜的厚度？解：光程差刀=(n 1)h = 22，所以h = 1 = (600400 )X103 m = 0.4mH11.512.17用等厚条纹测量玻璃光楔的楔角时，在长5cm 的范围内共有15个亮条纹，玻璃折射率九= 1.52, 所用单色光波长2 = 600nm，问此光楔的楔角为多 少？解：由公式。=；-，所以楔角 = ，又e = cm = 1A cm，153所以a = 600y109 rad = 5.92 x 105 rad。tx102 x1.52 32.18利用牛顿环测透镜曲率半径时，测量出第10 个暗环的直径为2cm，若所用单色光波长为500nm， 透镜的曲率半径是多少？解：由曲率半径公式R = 口（2X102 ）2cc=7m = 20m。10X500X1092.19F-P干涉仪两反射镜的反射率为0.5，试求它 的最大透射率和最小透射率。若干涉仪两反射镜以 折射率九=1.6的玻璃平板代替，最大透射率和最小 透射率又是多少？（不考虑系统吸收）解：当反射率R = 0.5时，由光强公式/（X）= /，；（t）=（1 / R） /（i）M m 4R + （1 R）2 V J可得最大透射率 = 1；最小透射率& =如）2 = 0.11。m 4R+（1R ）2当用玻璃平板代替时，九= 1.6，则1216 1 2.七=履+矽=(16+7)所以T = 1，7, =(1n)0.81oMm4匕+(1R n)22.20巳知一组F-P标准具的间距分别为1mm和 120mm，对于2 = 550.0nm的入射光而言，求其相 应的标准具常数。如果某激光器发出的激光波长为 632.8nm，波长宽度为0.001nm，测量其波长宽度时 应选用多大间距的标准具？解：（皿九=广=2 了0：。= 0.15nm，（42） =5502= 0.0013nm，2.21有两个波长和，在600nm附近相差0.0001nm，要用F-P干涉仪把两谱线分辨开来，间 隔至少要多大？在这种情况下，干涉仪的自由光谱 范围是多少？设反射率& = 0.98。解：由分辨极限公式）加=壬宇，得2兀九VRF-P干涉仪间隔五=60021 0.982 0.0001 X 109 X30救心*8= 60022hT2x11.58x1060.0155nm。2.22在照相物镜上通常镀上一层光学厚度为4（20 = 550nm）的介质膜。问：（1）介质膜的作用？（2）求此时可见光区（390780nm）反射最大的波 长？解：（1）作用：因为上下表面光程差2n = 2 X 52 =4（2 + ：）%，所以该介质膜对的反射达到最小，为增透膜；（2）由九丑=*，可知，对波长为/ = 5兀，R = （w 沪。气+（吁”）吧，反射最大的波长满（n0+nG）2 cos2*+（0”G+n）2 sin2，足2九丑=2 X只=m2，则以=叫，取m = 2,3时则符合条件的可见光的波长分别为687.5nm和 458.3nm。2.23在玻璃基片上镀两层光学厚度为 / 4的介质 薄膜，如果第一层的折射率为1.35,为了达到在正 入射下膜系对全增透的目的，第二层薄膜的折射 率应为多少？（玻璃基片的折射率nr = 1,6）（J解：由题意，得 = 1,35, nG = 1,6,气=1， 要使膜系对20全增透，由公式九2 = J%九 1 =寸16 X 1,35 = 1.71。2h = = 632,82 = 2 X 108nm = 200mm。3 2 3)sr2x0.001气1第三章光的衍射与现代光学3.1波长2 = 500nm的单色光垂直入射到边长为 3cm的方孔，在光轴（它通过方孔中心并垂直方孔 平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅禾费衍 射区德大致范围。解：要求k髯节慕我丸，又k=：，所以Z （X!y Vrnax =（3*102 ）2/2 m= 900m。A500X1093.5在白光形成的单缝的夫琅禾费衍射图样中，某 色光的第3级大与600nm的第2极大重合，问该色 光的波长是多少？解：单缝衍射明纹公式：asin =（2九i）2（nfz） 2当 = 600nm 时，ni = 2,因为0与01不变，当九2 =3时，（2ni 1）?=（2弓 1）孑，所以22 =（如1 虬=（2X21 ）X600 = 428.6nm。（2H21 ）（2X31 ）3.6在不透明细丝的夫琅禾费衍射图样中，测得暗 条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300nm， 光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？解：由e=,，所以直径即为缝宽a=,632.8X 106 X 300=mm = 0.127mm1.53.8迎面开来的汽车，其两车灯相距d = 1m，汽车 离人多远时，两车灯刚能为人眼所分辨？（假定人 眼瞳孔直径D = 2mm，光在空气中的有效波长2 = 500nm）。解：此为夫琅禾费圆孔衍射，由公式4=1.22七ID所以 I = = 1X2X103m= 3278.7m1.2241.22X500X1093.9在通常的亮度下，人眼瞳孔直径约为2mm，若 视觉感受最灵敏的光波长为550nm，问：（1）人眼 最小分辨角是多大？（2）在教室的黑板上，画的 等号的两横线相距2mm，坐在距黑板10m处的同学 能否看清？解：（1）%=1.22土（夫琅禾费圆孔衍射）=122X550X109 = 3.36 X 104 rad。2X103（2）0= 弋=2X104 radVm，所以不能看清。3.7边长为a和b的矩孔的中心有一个边长为/和 外的不透明屏，如图所示，试导出这种光阑的夫 琅禾费衍射强度公式。 j sin % sin 任2，解：E1 = Cab sin 坊 sin 角，2 =耸（C为常数），所以E = E1sin a sin 65胃亏E222/ = * = C2 （absin 1 sin 1aosin %sin ）2,因为场中心强度（场中心对应于 =弓=久= % = 0）为/ =。2（做）2，所以/ =土（做sin1ab -2） 2。（aba 0妇2%10 0 % 角 其中a =a皿心，B =丸力皿当，a =丸心，1A 1A 20 A2 =沥。sin P*A3.10人造卫星上的宇航员声称，他恰好能分辨离他 100km地面上的两个点光源。设光波波长为550nm， 宇航员眼瞳直径为4mm，这两个点光源的距离是多 大？解：由夫琅禾费圆孔衍射，4 = 3，所以I D1.22位 1.22 X 550 X 109 X 100 X 103d = 4TI0m=16.7753.11在一些大型的天文望远镜中，把通光圆孔做成 环孔。若环孔外径和内径分别为a和a/2，问环孔 的分辨本领比半径为a的圆孔的分辨本领提高了多 少？解：由二血了如先半 q 3.144,环孔衍射图样第一个零点的角半径为。=3.144六=0.51：, 按照瑞利判据，天文望远镜的最小分辨角就是。=0.51七 与中心部分没有遮挡的圆孔情形（。=a0.61 ）相比较，分辨本领提高了，即 a0-610-51= 17.9%。（0.610.51 ）/23.12若望远镜能分辨角距离为3 X 107 rad的两颗 星，它的物镜的最小直径是多少？为了充分利用望 远镜的分辨本领，望远镜应有多大的放大率？解：光的波长/ = 550nm，则由公式。=1.22：，最小直径D = 1.22 = 1.22 X 550X109 m = 2.24m。e3x107因为人眼的最小分辨角为2.9X104 rad，所以放大率=骂甘 =970。3.13若要使照相机感光胶片能分辨2邮的线距， 求：（1）感光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线?（2）照相机镜头的相对孔径D/至少有多大？（设光波波长为550nm。）解：直线数N =工=1mm1 = 500mm1。矿 2X103（a为线距，即为能分辨的最靠近的两直线在感光胶片上得距离）。由N = 。1.222 /所以相对孔径% = N 1.22/ =500 X 1.22 X 550 X 106 = 0.34。3.16计算光栅常数是缝宽5倍的光栅的第0、1级 亮纹的相对强度。解：由题意，得a = d/5，第零 级强度/0（。）=四/0，第0、1级亮纹相对强度分别.五 2为=（3）2 = 1，=（米）= 0.875。N2oago53.14 一块光学玻璃对谱线435.8nm和546.1nm的折 射率分别为1.6525和1.6245。试计算用这种玻璃 制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度。钠 D双线的波长分别为589.0nm和589.6nm。解：由公式刀=二=3了，（式中刀为棱镜分辨本 领，B为棱镜底边长度，n为相对于波长九的棱镜 的折射率，九4n为相对于波长九AA的棱镜的折 射率,4n/4九为色散率）又同一种物质色散率不变，则=心=B1 脱L652516245=2.54 X 105，（546.1435.8 ）X109/ = 589.6589.0 = 589.3nm，2因为 = = 589.3= 982.1，所以用这种玻242589.6589.0璃制造的棱镜刚好能分辨钠D双线时底边的长度B2 = 142 = 982.1 = 3.87 X 103 m = 3.87mm。3.15在双缝夫琅禾费衍射试验中，所用光波波长 九=632.8nm，透镜焦距/=50cm，观察到两相邻亮条 纹之间的距离e=1.5mm，并且第4级亮纹缺级。试 求：（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1、2、3级亮 纹的相对强度。解：多缝衍射的亮线条件是d sin。= m/，m G z， 对上式两边取微分，得到dcos。 4。=九 4m，当4m = 1时，40就是相邻亮线之间的角距离。并 且一般。很小，cos。q 1，故服=九/d。两相邻亮 线距离为e =广. 4。= /d。所以缝距d = /e=500 X 632.8 X 106 /1.5mm=0.21mm。因为第4级亮纹缺级，所以缝宽为 a = d/4 = 0.21/4mm = 0.05mm。第1、2、3级亮线分别相应于dsin3=九、2九、 3九。由于d=4a，所以当d sin3=九、2九、3/时， 分别有asin0=/4 2%.、士3/、。因此，由 多缝衍射各级亮线的强度公式匕=2/0 （十）2，第1、2、3级亮线的相对强度为芒=（甘）2 =ca sin 0厅 2.2sin 七 =（吁）=0.811 七=（雄）=0.405, 叩 :N矶 :.有2七=（皿* = 0.090。N2L而043.17 一块宽度为5cm的光栅，在2级光谱中可分辨 500nm附近的波长差0.01nm的两条谱线，试求这一 光栅的栅距和500nm的2级谱线处的角色散。解：由刀=M = mN=m： （L为光栅宽度），所以d = m = 2x5x10 mm = 2 X 103 mm，2/必 500/0.01角色散心=m dA dcos 0（一般。角很小cos。 1)=dxcosarcsin(2)0.002xcosarc sin(2x500)L 2000 刀=866.03 rad/mm3.18为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的膜结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多 宽？解：刀九=顼=期刀v，又光栅的色分辨本领刀= c-t C = - = m = m - 1200L，所以光栅的宽度AA MvL = c =3x1011=878mm。Avm-1200632.8x106 X1X1200X450X1093.19用复色光垂直照射在平面透射光栅上，在30 的衍射方向上能观察到600nm的第二级主极大，并 能在该处分辨以=0.005nm的两条谱线，但却观 察不到600nm的第三级主极大。求：（1）光栅常数 d，每一缝宽a；（2）光栅的总宽L至少不得低于多 少？解：（l）d sin。= m/，所以d = 2*60；06 mm=2.4 x 103 mm，a = * = 2.4x103 mm=8 x 104 mm。k 3刀=% = mM 又2 = %。/4，所以L 2= 600/0.005x2.4x103 mm=288mm。2 sin Q2xT23.20 一束波长九=600nm的平行光，垂直射到一 平面透射光栅上，在与光栅法线成45的方向观察 到该光的第二级光谱，求此光栅的光栅常数。解：由d sin0 = m/，得光栅常数m九sin。2 x 600 x 106sin45mm = 1.7 x 103 mm3.21 一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射， 观察衍射光谱。钠黄光包含两条谱线，其波长分别 为589.6nm和589.0nm。求在第二级光谱中这两条 谱线互相分离的角度。解：光栅公式d sin。= m/，d = _1mm=2 x 103 mm，所以 % = arcsin = arcsinW：106 =36.1286， 同理。2 = 36.0861，所以第二级光谱中这两条谱 线互相分离的角度S = 01 。2=0.0425。=2,33。3.22 一光栅宽50mm，缝宽为0.001mm，不透光部分 宽为0.002mm，用波长为550nm的光垂直照明，试 求：（1）光栅常数d； （2）能看到几级条纹？有没 有缺级？解： d = a+ a，= 0.001 + 0.002 = 0.003mm，d/a = .003/0.001 = 3,所以第3级亮纹为缺级， 又由d sin90 = m/，解得m = 5.45，所以吐 = 5.45 x 2 = 11，又缺3级，所以能看到9级条纹。3.23按以下要求设计一块光栅：使波长600nm的 第二级谱线的衍射角小于30，并能分辨其0.02nm 的波长差；色散尽可能大；第三级谱线缺级。则该光栅的缝数、光栅常数、缝宽和总宽度分别是 多少？用这块光栅总共能看到600nm的几条谱线？ 解：为使波长600nm的二级谱线的衍射角。 30,d必须满足d=m 2x600x106 =2.4 x 103 mm，sin Q sin 30根据要求，d尽可能小，Ijd=2.4x103 mm，根据要求，光栅缝宽a = d = 0.8x103 mm，3再由条件，光栅缝数N至少有6002 x 0.02=15000所以光栅的总宽度L至少为L = Nd = 15000 x 2.4 x 103 mm = 36mm光栅形成的谱线在|仞90范围内，当e = 90时，有m = 24x103 = 4，即第4级谱线兀6x104对应于衍射角。=90实际上不可能看见。此外第 3级缺级，所以只能看见0，土1 , 2级共5条 谱线。3.24 一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽， 闪耀角为7712,。求光束垂直于槽面入射时，对 于波长九= 500nm的光的分辨本领；光栅的自由 光谱范围有多大？解：光栅栅距为d = -mm，巳知光栅宽260 mm， 300因此光栅槽数N = L/d = 260 x 300 = 7.8 x 104 由2dsiny = m，光栅对500 nm的闪耀级数为m = 2x1/300x洲梢12 = 13,所以分辨本领 A500x106刀=mN = 13 x 7.8 x 104强106 ；光栅的自由光 谱范围为刀2 = A = 500 nm = 38.5nm。第四章光的偏振和偏振器件4.2 一束部分偏振光由光强比为2: 8的线偏振光和 自然光组成，求这束部分偏振光的偏振度。解：设偏振光光强为/1 = 2/，自然光光强为/2 = 8/，(其中L = /-/ ，匕=匕 + 匕=/+ / .)，1 max mm t12 max mm所以偏振度P = % = ma* -mEn = 2 = 2 = 0.2。7t1max +/mtn；1+/2 27+87 圆偏振光经过“4波片后成为线偏振光，光强仍为/2。 当线偏振光光矢的振动方向与检偏器的透光方向 一致时，从检偏器出射的光强最大，其值为/2,当 其振动方向与透光方向互相垂直时其值为零。自然 光通过“4波片后还是自然光，通过检偏器后光强 为r。因此，透过旋转的检偏器出射的最大光强和 21最小光强分别为imax=ii1+i2，im=11，又题 IUA 2 12几 2 1给Anax = 7妇试，因此/2=3小所以，自然光强占部分偏振光强的百分比为 = + = 25%。/1+3/14.3线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方 解石晶体上，若光矢量的方向与晶体主截面成60 角，问o光和e光从晶体透射出来的强度比时多 少？解：/：/e = S60 =3:14.4线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方 解石波片上，光的振动面和波片的主截面成30。和 60角。求：透射出来的寻常光和非常光的相对 强度各为多少？用钠光入射时如要产生90的位 相差，波片的厚度应为多少？(2= 589.0nm，ne = 1.486，n = 1.658)解： /o： Zg = tan2 30 =1:3；由S = 90 = ?(%-%)d，所以d = -589-0v10-9 先 8.56 X 10-7m。4(no-ne) 4x(1.658-1.486)4.7有一块平行石英片是沿平行光轴方向切出的。要把它切成一块黄光的V4波片，问这块石英片应 切成多厚？(石英的 = 1.552，no = 1.543，波长 为 589.3nm)解：由 = (ne - no)d = (m + 2，所以厚度(m + 4) 2(0+j)x 589.3d=/、=/-ic 一 nm(n a )(1.552 1.543)=1.637 X 104nm 强 1.64 X 10-3cm4.5由自然光和圆偏振光组成的部分偏振光，通过 一块1/4波片和一块旋转的检偏镜，巳知得到的最 大光强是最小光强的7倍，求自然光强占部分偏振 光强的百分比。解：设自然光和圆偏振光的光强分别为七和/2,则 部分偏振光的光强为/ =七+，2。4.6在两个共轴平行放置的透振方向正交的理想偏 振片捋和七之间，有一个共轴平行放置的理想偏振 片P2以云角速度绕光的传播方向旋转。设仓=0 时偏振化方向与平行，若入射到该系统的平行 自然光强为/0，则该系统的透射光强为多少？ 解：通过第一块、第二块和第三块偏振片后，光强分别为/= %，/? = /cos2 0，/ = / cos2 (w- 0)，12 匕 1322由于t = 0时P3偏振化方向与4平行，因此0 = Wt， 所以透射光强为/ = /3 = $ cos2 0 cos2 (； - 0)= (1 - cos4t)，可见，最大光强为如，最小光强 为0，出射光强的变化频率为4w。4.11为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将V4 波片置于检偏器之前，再将后者转到消光位置。这 时发现v4波片快轴的方位是这样的：它须沿着逆 时针方向转45才能与检偏器的透光轴重合。问该 圆偏振光是右旋的还是左旋的？解：是右旋圆偏振光。因为在以/4波片快轴为y轴 的直角坐标系中，偏振片位于II、IV象限时消光， 说明圆偏振光经/4波片后，成为位于I、III象限 的线偏振光，此线偏振光由y方向振动相对*方向振 动有2汨位相差的两线偏振光合成。而/4波片使。光 和。光的位相差增加2,成为2兀，所以，进入/4波 片前y方向振动相对x方向振动就巳有?位相差，所 以是右旋圆偏振光。4.9下列两波及其合成波是否为单色波？偏振态如 何？计算两波及其合成波光强的相对大小。(孔=刀sin (kz 尻一多)fy = A cos (kz - wt + w)E = A coskz 3t ip* t）波 2： E = A cos kz t + b t）。八中代 yry y% t）均为时间t的无规变化函数，且y t） 代t）球常数。解：波1是单色波，且Ex = Asinkz t ）=A cos kz t n）， 而 q = A cos kz t +），显然，等相面和等幅面重合，所以是均匀波。又因 为位相差5 = y 倒X =轮，且x和y方向振动的振 幅相等，所以是右旋圆偏振光。对于波2，因为y t） / t）A常数，为自然光， 而相速v = 只与空间部分有关，虽然%t）-丸t）球常数，但等相面和等幅面仍然重合，故为 均匀波。波1和波2是不相干波，因此由上述结果得合成波 是非单色光，是部分偏振光，是均匀波。光强度：波 1 I1=E2+E2=A2；波 2 I2 = E2 + E2=A2；合成波/3 = / + /2 = 242，因此，三个 波的光强的相对大小为11:12:13 = 1:1:2。4.12 一束右旋圆偏振光垂直入射到一块石英1/4波 片，波片光轴平行于x轴，试求透射光的偏振态。 如果换成1/8波片，透射光的偏振态又如何？ 解：右旋圆偏振光可视为光矢量沿y轴的线偏振光 和与之位相差为/2的光矢量沿x轴的线偏振光的 叠加。右旋圆偏振光入射1/4波片并从1/4波片出 射时，光矢量沿y轴的线偏振光（。光）对光矢量沿 x轴的线偏振光（e光）的位相差应为5 = + = n，22 故透射光为线偏振光，光矢量方向与x轴成-45； 右旋圆偏振光入射1/8波片并从1/8波片出射时， 光矢量沿x轴的线偏振光（。光）对光矢量沿y轴的 线偏振光（e光）的位相差应为5 =死+歹=气 透244射光为右旋椭圆偏振光。4.10 一束线偏振的钠黄光/ = 584.3nm）垂直通过 一块厚度为8.0859 x 102mm的石英晶片。晶片折 射率为 = 1.54424，ne = 1.55335，光轴沿 y 轴 方向。试对于以下三种情况，决定出射光的偏振态： 入射线偏振光的振动方向与x轴成45角；入射线偏振光的振动方向与x轴成-45角； 入射线偏振光的振动方向与x轴成30角。解：入射线偏振光在波片内产生的。光和e光出射波片是得位相延迟角为5 =2 ne n0）d =2脉 1.553351.54424）x8.0859x10-2 = 2 5n，589.3x106当a = 45时，设入射光振幅为刀，贝I。光和e光的振幅为刀。=刀cos45 =在刀，刀e =刀sin45 = 2刀，其中刀为入射光的振幅。因此，在波片后表面，。光和e光的合成为E = Eo + Ee = e2Acos以+2.5兀）+ 弓 A cos Gt）=电 AeT cos Gt +歹）+弓cos Gt），因此，是左旋偏振光；当a = 45时，则。光和e光的振幅为Ao =A cos 45 =曲刀，气=刀sin45 =旧刀，在波片后表面，。光和e光的合成为E = % +弓=在刀（T cos wt +每）+弓cos Gt +兀），因此，是右旋圆偏振光；当a = 30时，则。光和e光的振幅为刀。=A cos 30 二心刀，刀e =刀 sin 30 = 1刀，在波片后表面，。光和e光的合成为E = % + % =歹-刀cos/t +每）+歹1刀cos Gt），因此，是左旋X 22 y 2椭圆偏振光，椭圆长轴沿X轴。16 一块厚度为0.05mm的方解石波片放在两个正交 的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器的 夹角为45，问在可见光（390780nm）范围内，哪些波长的光不能通过这一系统？解：/=馈+刀2。+ 2刀2。效。0叫= ；/0sin2 2a cos2 2 = ；/0cos2：，两相干线偏振光的位相差是0 = 2(n0ne)d +n，又，当 = (2m + 1)兀(m = 0,1,2,)时，干涉相消，对应波长的光不能透过这一系统，因此，不能透过这一系统的光波波长为九=m(1.658-1.486)x0.05x106 = 8600 皿mm所以下列波长的光不能透过这一系统：m = 11，/ = 782nm；m =12，/= 717nm；m = 13，/ = 662nm；m =14，/= 614nm；m = 15，/ = 573nm；m =16，/= 538nm；m = 17，/ = 506nm；m =18，/= 478nm；m = 19，/ = 453nm；m =20，/= 430nm；m = 21，/ = 410nm；m =22，4= 391nm。4.14试用矩阵方法证明：右(左)旋圆偏振光经过半波片后变成左(右)旋圆偏振光。解：右、左旋圆偏振光的琼斯矢量分别为% = ：左=1半波片的琼斯矩阵为G = ：*，因此右旋偏振.0 1光经过半波片后透射光的琼斯矢量为E = GE =右1 1。 = 1=、左，得证。了】/8波片，两相干线偏振光的位相差是 =在2* = ：，所以系统出射强度为/=刀2。2+刀2： +2刀20刀2 cos =刀2 0.4552 + (0.228)2 -2 X 0.455 X 0.228 X cos = 0.12/0。4.8试说明下列各组光波表达式所代表的偏振态。知=0 sin(kz wt)， q = E0 cos(kz wt)；f* = 0 cos(kz 掘)，q = E0 cos (kz wt + w)；f* = 0 sin(kz wt)， q = E0 sin(kz 以)。解：Ex = 0 sin(kz Gt)，q = E0 cos(kz wt)，则知=0 cos (kz wt re)，因5 =气故乌比孔超前死，所以为左旋圆偏振光。2知=0 cos(kz 掘)，q = E0 cos (kz Gt + 歹)，5 = 4, Ey超前孔且甲=:，所以为左旋椭圆偏振 光，长轴在y = x方向上。知=0 sin(kz wt)， q = E0 sin(kz wt)， 则勺=0 sin(kz 掘+兀)，S =江且甲=一每，故 为线偏振光，振动方向为y = Xo(方位角甲公式tan 2 = 212 cos 5) 一驾4.15将一块】/8波片插入两个前后放置的尼科尔棱 镜中间，波片的光轴与前后尼科尔棱镜主截面的夹 角分别为-30和40，问光强为/0的自然光通过这 一系统后的强度是多少？(略去系统的吸收和反射损失)解：如图所示，光强 为/0的自然光经第一 个尼科尔棱镜后， 成为线偏振光且振 幅为勺，则4.13 一束自然光通过偏振片后再通过“4波片入射 到反射镜上，要使反射光不能透过偏振片，波片的 快、慢轴与偏振片的透光轴应该成多少度角？试用 琼斯计算法给以解释。解：自然光通过偏振片后成为线偏振光，设线偏振 光光矢量沿x轴，则琼斯矢量为修】=1，若波片的快轴与x轴(偏振片的透光轴)的夹角为9,则气=$ = 十刀，从波片出射的。光和e光的振幅分别为角。=sin(30。)，刀如=cos(30)，经第二个尼科尔棱镜N2后，。光和e光的振幅分别为刀2。=气。州40牛 sin40sin(30)=-0.228 刀，(2刀2e = 1e cos407=cos(30) = 0.455刀，因插入琼斯矩阵为G, A4cos S1 i tan & cos 20-i tan sin 202i tan sin 20 -1 + E tan & cos 20J21 i cos 20 i sin 20 - i sin 201 + i cos 20-穿过“4波片后，r透射光的琼斯矢量为b2 = G.L2勺W2 1 i cos 20i sin 20 1二1 i cos 2仗1. 2 I i sin 201 + i cos 20-02-i sin 20 -，)