导学案第5章学案23

学案23正弦定理和余弦定理应用举例关的导学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有实际问题.课前准备区回扣数材夯实基础自主梳理1. 仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图所不）2+方位角船指北方向战锁时针到目标方向线的水平炕*如方位仰45%是指北偏东45，即东北方向.3.北方向.3.方向角：相对于某一正方向的水平角.（如图所示）4.4匕北備东a。到达目标方向.a。到达目标方向.h北偏东a。即由指北方向顺时针旋转北偏西辭即山指北方向逆时针旋转南偏西等其他方向角类似.坡角坡面与水平面的夹角.（如图所示）5. 坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，B|J/=7=tan?（/为坡比，a为坡角）.6. 解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型自我检测1. 从/处望B处的仰角为a,从B处望乂处的俯角为0,则a,0之间的大小关系是2. 如图所不，已知两座灯塔/和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔/在观察站C的北偏东40。，灯塔B在观察站C的南偏东60。，则灯塔/在灯塔B的方向.3. 如图所示,定/、B间距离的是（填序号）a,a,b；a,0,a；a,b,y；a,0,b.30。、60。，则塔咼4.在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是为m.5.（2010-全国II）ZUBC中,D为边BC上的一点，劝=33,sinB=厉，cosZADC=j,求/D课堂活动区|突破考点研析热点探究点一与距离有关的问题例1（2010-陕西）如图，A,B是海面上位于东西方向相距5（3+A3）海里的两个观测点，现位于点北偏东45。，B点北偏西60。的D点有一艘轮船发岀求救信号，位于B点南偏西60o且与B点相距2胡海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？变式迁移1某观测站C在目标的南偏西25o方向，从/岀发有一条南偏东35。走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向d走去，走20千米到达D,此时测得CD为21千米，求此人在D处距还有多少千米？探究点二与咼度有关的冋题点、C与例2如图所不，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测D,现测得ABCD=a,ZBDC=/3,CD=s,并在点C测得塔顶/的仰角为0,求塔咼AB.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60。的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30。，求塔高.探究点三三角形中的最值问题例3（2010-江苏）某兴趣小组要测量电视塔/E的高度H（单位：m）,示意图如图所示，垂直放置的标杆的高度/?=4m,仰角ZABE=a,ZADE=fS.DfitH上的一个动点，以面积的最大值.该小组已测得一组a、0的值，算岀了tana=1.24,tanA=1.20,请据此算岀H的值；该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离R（单位：m）,使a与0之差较大，可以提高测量精度.若电视塔实际高度为125m,试问d为多少时，a/3最大？变式迁移3如图所示，已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上，BC=1,点P为半圆DC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC一、解三角形的一般步骤1. 分析题意，准确理解题意.分清已知与所求，尤其要理解应用題中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位2. 根据题意画岀示意图.3. 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等关知识正确求解.演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答4. 检验解岀的答案是否具有实际意义，对解进行取舍二、应用举例中常见几种題型测歸距离问题、测帚高度问题、测帚角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等精题精练规范答题（满分：90分）一、填空题（每小题6分，共48分）1. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为.2. （2011?泰州模拟）如图，设/、B两点在河的两岸，一测量者在/的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测岀/C的距离为50m,ZACB=45,Z045=105后，就可以计算岀A.B两点的距离为m.3. AABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为*,则其外接圆的半径为?4. 某人向正东方向走xkm后，向右转150:然后朝新方向走3km,结果他离岀发点恰好是羽km,那么x的值为.5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。方向，另一灯塔在船的南偏西75。方向，则这只船的速度是海里/小时？6. 一船以每小时15km的速度向东航彳丁，船在4处看到一个灯塔M在北偏东60。方向，行驶4/z后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15。方向，这时船与灯塔的距离为km7. （2010-台州一模）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60o和30第一排和最后一排的距离为10击米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗于应以米/秒的速度匀速升旗.最后排8. 线段外有点C,ZABC=60,AB=200km,汽车以80km/h的速度山/向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度山B向C行驶，则运动开始h后，两车的距离最小.二、解答题（共42分）9. （14分）（2009-辽宁）如图，4、B、C、。都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶？测量船于水面/处测得B点和。点的仰角分别为75。、30于水面C处测得B点和D点的仰角均为60AC=0Akm.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求75。方向的0处，此时两船相距2060。方向的血处，此时两船相h、10. （14分）如图所不，甲船以每小时30A2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于&处时，乙船位于甲船的南偏西海里.当甲船航行20分钟到达禺处时，乙船航行到甲船的南偏西距11. （14分）（2009-福建）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asmcox（A0,e0）,xW0,4的图象，且图象的最高点为5（3,2人3）;赛道的后一部分为折线段MVP,为保证参赛运动员的安全，限定ZMNP=20.（1）求e的值和M,P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MVP最长？答案自我检测1.a=p2.北偏西103.43715.解由cosZADC=-j0知124由已知得cossin厶LDC=g,从而sinZBAD=sin(ZADCB)=sinAADCCQSBcosXADCsinB=4x12_35=335135由正弦定理得13_65，ADBDsinBsmZBAD所以AD=sinZBAD65课堂活动区例1解题导引这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和理，在解题中，首先要正确地画岀符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当解由题意知48=5(3+羽)海里，ZDBA=90-60=30:ZDAB=90-4545:.ZADB=180(45+30)=105.在如中，由正弦定理，得譴矿册而sinZDAB5(3+曲？sin45sinZADBsin1055(3+75)?sin45。“DB=sin45cos60+cos45sin60又ZDBC=ZDBA+ZABC=30+(9060)=60,BC=2OV5(海里)，在/DBC中,10A3X20A3x1=900,?需要的时间故救援船到达余弦定去求解.注由余弦定理，得CD2=BD1+BC1-2BDBC-cosZZ)SC=300+1200-2X.CD=30(海里),30=元=1(小时)?D点需要1小时.变式迁移1解如图所示,易知ZCAD=25+35。=60。，在BCD中,312+202-21223cosB=2X31X20=31,所以sinB=gA.在中，AC=sinB八=24,sinA由BC=AC-+ABAD=AB-BD=5.2-2ACABcosA,得AB2-24AB-385=0,解得AB=35,AB=-I1(舍),所以故此人在D处距/还有15千米.例2解题导引在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画岀准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.解在/kgCD中，ZCBD=eap.由正弦定理得$诂乂劝(7=sinZCBDsinZCBDsin(a+妙所以BC=gZBDC泌在RtAAAC中,AB=BCtanAACB=.z.sin(a+p)变式迁移2解由题意可知，在厶BCD中,CZ)=40,ZBCD=30。,ZDBC=135CD由正弦定理得，2DBCBDsinZBCD过B作BE丄CD于E,显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有ZBEA=30在RtABED中,又?/ZBDE=180-135-30=15.:.BE=DB-sin152(h/2XA4A=10(A3-1).在RtZXABE中，AB=BE-tan30=y(3萌)(米).故所求的塔高为X3筋)米？例3解题导引平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题.而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先弓I入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变龜示出札再利用11、余弦定理列出方札解之.若硏究绘饥Wffl函数思想.解由肋Atana十tan0,aHh_H一tan0解得H=/ztana4X1.24=124(m).tanatan1.24-1.20因此，算岀的电视塔的高度H是124m.由题设知d=AB,得tana=書Hh由AB=AD-BD=-aa,H_h得tan/?=a.tan(XtanB所以tan(a0)=i+tanatan0hh,h厂H(、H_，十d当且仅当d=、J即d=IH(H-h)=pl25X(1254)=55德时，上式取等号，所以当d=55y/5时，tan(a0)最大.因为00a,贝U0a0号，所以当30迈=10返（2分）又？ZB2A2A1=180-12060,?力1力2园是等边三角形，（6分）ZBiAA=105-60=45.（8分）在02血中，由余弦定理得DD2Ad2,ad2c/D/D4CO=202+（l（h/2）2-2X20Xl（h/2XA=200,吨（海里）（12分）因此乙船的速度大小为呼X60=30A（海里/小时）.（14分）10. 解方法一依题意，有力=2羽，才=头3人TQ?CDg.?y2*A3sinAx.(3分)x=4时,x=4时,2JT卩=2Vsin亍=3,A/(4,3).又如图,P(8,0),:.MP=j42+32=5.(5分)34ZXMVP中，设连结MP,在乙PMN二&,贝90060.MPNP由正弦定理得120。一sin&飞诚由正弦定理得120。一sin&飞诚MN60。一&):?NP=aasin0,MN=sin(600),(8:?NP+MN=aasin0+人人人$)n(606)AQsinO+誓cosJ(12分)(12分)sin(0+60).T0060,.?.当0=30。时，折线段赛道MVP最长.即将ZPMN设计为30。时，折线段赛道MNP最长（14分方法二（1）同方法一.连结MP.在中，ZA4NP=nO.MP=5,由余弦定理得，MN2+NP2!MN-NP-cosZMNP=MP2(8分即AdN2+NP2+MN-NP=25.”,MN+N%八故(AV+NPY_25=MN?NP玖兀(10分)-从而弓(MV+NPYW25,即MV+NPW告B当且仅当MN=NP时等号成立.即设计为胚V=NP时，折线段赛道MNP最长(14