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第五章 导数和微分习题5.1导数的概念1、已知直线运动方程为，分别令，求从t=4至这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。2、等速旋转的角速度等于旋转角与相应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。3、设，试求极限 。4、设试拟定的a,b值，使f在x=3处可导。5、试拟定曲线y上哪些点的切线平行于下列直线： （1） （2）6、求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程： （1）7、求下列函数的导函数： 8、设函数 （m为正整数），试问：（1）m等于何值时,f在x=0持续；（2）m等于何值时,f在x=0可导；（3）m等于何值时,在x=0持续。9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx；(2)。10、设函数f在点存在左右导数，试证明f在点持续。11、设，求。12、设f是定义在R上的函数，并且对任何，均有。若，证明对任何，均有。13、证明：若存在，则 14、证明：若函数f在a,b上持续，并且f(a)=f(b)=K，则在(a,b)内至少有一点，使。15、设有一吊桥，其铁链成抛物线型，并且端系于相距100米高度相似的支柱上，铁链之最低在悬点下10米处，求铁链与支柱所成的角。16、在曲线上取一点P，过点P的切线与该曲线交于Q，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是在P处切线斜率的四倍。5.2 求导法则1、求下列函数在指定点的导数：（1）设，求（2）设，求（3）设，求 2、求下列函数的导数：3、求下列函数的导函数：4、对下列各函数计算5、已知g为可导函数，a为实数，试求下列函数f的导数：6、设f为可导函数，证明：若x=1时有 。则必有或f（1）=1。7、定义双曲函数如下：双曲正弦函数shx=；双曲余弦函数chx=；双曲正切函数thx=；双曲余切函数cothx=。证明：（1）=chx； （2）；（3）； （4）。8、求下列函数的导数：（1）y=； （2）y=ch（shx）；（3）y=ln（chx）； （4）y=arctan（thx）。9、以，分别表达各双曲函数的反函数。试求下列函数的导数：（1）y=； （2）y=；（3）y=； （4）y=；（5）y=-； （6）y=。5.3 参变量函数的导数1、求下列由参变量方程所拟定的导数：（1）在t=0，处；（2）在t0处。2、设求，。3、设双曲方程x = 1 - ，y = t - ，求它在下列点处的切线方程与法线方程：（1）t=1； （2）t=。4、证明曲线 上任一点的法线到原点距离等于a。5、证明：圆r=上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。6、求心形线r=的切线与切点向径之间的夹角。5.4 高阶导数1、求下列函数在指定点的高阶导数：（1）f（x）=，求；（2）f（x）=，求。2、设函数f在点x=1处二阶可导，证明：若，则在x=1处有 。3、求下列函数的高阶导数：（1）f（x）=xlnx，求； （2）f（x）=，求；（3）f（x）=ln（1+x），求； （4）f（x）=，求。4、设f为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数；（1）y=f（lnx）； （2）y=； （3）y=f（f（x）。5、求下列函数的n阶导数：（1）y=lnx； （2）y=；（3）y=； （4）y=；（5）f（x）=； （6）y=均为实数）。6、求由下列参量方程所拟定的函数的二阶导数：（1） （2）7、研究函数f（x）=在x=0处的各阶导数。8、设函数y=f（x）在点x二阶可导，且。若f（x）存在反函数x=，试用以及表达。9、设y=arctanx。（1）证明它满足方程；（2）求。10、设y=arcsinx（1）证明它满足方程；（2）求。11、证明：函数 在x=0处n阶可导且，其中n为任意正整数。5.5 微分1、若x=1，而x=0.1，0.01。问对于y=，y与dy之差分别是多少？2、求下列函数微分：（1）y =； （2）y = xlnx x；（3）y =； （4）y =；（5）y =； （6）y =。3、求下列函数的高阶微分：（1）设u（x）=lnx，v（x）=，求；（2）设u（x）=，v（x）=cos2x，求。4、运用微分求近似值：（1）； （2）lg11；（3）； （4）。5、为了使计算出球的体积精确到1%，问度量半径r时容许发生的相对误差至多应多少？6、检查一种半径为2米，中心角为的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所对的弦长，设量角最大误差为，量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种措施检查的成果较为精确。总练习题1、设y =，证明：（1）= ；（2） 。2、证明下列函数在x=0处不可导：（1）f（x）=； （2）f（x）=|ln|x-1|。3、（1）举出一种持续函数，它仅在已知点不可导；（2）举出一种函数，它仅在点可导。4、证明：（1）可导的偶函数，其导函数为奇函数；（2）可导的奇函数，其导函数为偶函数；（3）可导的周期函数，其导函数仍为周期函数。5、对下列命题，若觉得是对的的，请予以证明；若觉得是错误的，请举一反例予以否认：（1）设f=+，若f在点可导，则，在点可导；（2）设f=+，若在点可导，在点不可导，则f在点一定不可导；（3）设f=，若f在点可导，则，在点可导；（4）设f=，若在点可导，在点不可导，则f在点一定不可导。6、设（x）在点a持续，f（x）=|x-a|（x），求和。问在什么条件下存在？7、设f为可导函数，求下列各函数的一阶导数：（1）y =； （2）y =f（f（f（x）。8、设，为可导函数，求：（1）y =； （2）y =；（3）y =。9、设为可导函数，证明：=。并运用这个成果求：（1）F（x）=； （2）F（x）=。习题答案5.1导数的概念1、t=1；=55；t=0.1，=50.5；t=0.01；=50.05；v=50。2、在时间t时刻所相应的旋转角，则角速度为=。3、44、a=6，b=-9。5、（1）（1，0）；（2）。6、（1）切线方程：y = x 1，法线方程：y = -x + 3；（2）切线方程：y = 1，法线方程：x = 0。7、（1）（2）而当x = 0时不存在。8、（1）m1；（2）m2；（3）m3。9、（1）；（2）x = 1。11、015、。5.2 求导法则1、（1）=0，=18；（2）=1，=-1；（3）=；=。2、（1）=6x；（2）=；（3）=；（4）=；（5）=；（6）=；（7）=；（8）=；（9）=；（10）=；（11）=；（12）=。3、（1）=；（2）=；（3）=；（4）=；（5）=cotx；（6）=；（7）=；（8）=；（9）=3cos2x（sinx+cosx）；（10）=-6cos4xsin8x；（11）=；（12）=；（13）=；（14）=；（15）=；（16）=；（17）=；（18）=；（19）=；（20）=；（21）=；（22）=；（23）=；（24）=；（25）=；（26）=。4、（1）=，=，=；（2）=，=，=（3）=，=，=5、（1）=；（2）=（3）=；（4）=。8、（1）=；（2）=sh（shx）chx；（3）=thx； （4）=。9、（1）=；（2）=；（3）=；（4）=；（5）=0；（6）=|secx|。5.3 参变量函数的导数1、（1），； （2）。2、（1），。3、（1）切线方程y =，法线方程y = -2x；（2）， 。6、。5.4 高阶导数1、（1）；（2）3、（1）=；（2）=；（3）=；（4）=。4、（1）；（2）；（3）。5、（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6），。6、（1）。 （2）。7、 3， x 0， 不存在，x = 0， -3， x 0时，；当x0时，；当x=0时，由，得。故3、（5.1第10题）设函数f在点存在左右导数，试证明f在点持续。证明：由于，故由无穷小量的定义有，其中。于是。故f在是右持续的。同理可证f在是左持续的。因而f在持续。4、（5.2第5（1）题）已知g为可导函数，a为实数，试求函数的导数：解：。5、（5.3第3（1）题）设双曲方程x = 1 - ，y = t - ，求它在点t=1处的切线方程与法线方程。解：由于，且x（1）=0，y（1）=0故其切线方程为y=，法线方程为y=-2x。6、（5.4第4（1）题）设f为二阶可导函数，求函数y=f（lnx）的二阶导数。解：，。7、（5.5第3（1）题）设u（x）=lnx，v（x）=，求。解：
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