用微分法计算行列式(共17页)

目 录用微分法计算行列式摘要 将含参数行列式中一个或多个参数看作自变量，把行列式看作参数函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或者一个原函数或者一种递推关系，然后通过不定积分和参数取特殊值或者求导，最终求出行列式的值.利用微分法求解行列式，可以简化行列式的计算.关键词 行列式 求导法则 积分法则Using Differential Method to Calculate the DeterminantStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Ma GuangshengTutor Zhang QunliAbstract Based on derivation or integral rule, consider the parameter(s) of determinant as independent variable, the relations about the determinant, such as the original function, the recursive relations and so on, are obtained and the values of the determinant are found. Using differential method to solve the determinant, the determinant of computation can be simplified.Key words Determinant Derivation rule Integration rule引言 行列式是高等代数的基石，它是求解线性方程组、求逆矩阵及求矩阵的特征值的基础，并且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.对于一个行列式都可以由它的定义去计算它的值，但是根据行列式定义知，行列式的展开式有项，计算量很大，因此行列式的计算灵活多变需要技巧的.通常行列式的计算都是用行列式的展开式、行列式的性质、一些特殊的行列式等方法，即用高等代数知识求解高等代数问题，跨专业、跨学科解法很少介绍，本文用分析手段来求解行列式为例，作了这方面的尝试.1 基本知识1.1 阶行列式的定义将个数排成行列的形式，按照下式 计算得到的一个数，称为阶行列式(n-order determinant).1.2 阶行列式的性质性质1 行与列互换，行列式的值不变.性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外.性质3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之和之一，其余行（列）元素与原行列式相同.性质4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.性质5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质6 某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变.性质7 交换两行（列）的位置，行列式的值变号.1.3 一些特殊的行列式的值（1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积.即 （2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即 （3）分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即 （4）奇数级反对称行列式的值为零.1.4 求行列式一般方法常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法，数学归纳法和乘积法.2 行列式微分法的理论2.1 行列式的求导法则定理1 设为可微函数，则有行列式的求导法则.证明 行列式故 又因为，结论的证.注 （1）该定理也可以按行求导数. （2）该公式也可以用数学归纳法证明. （3）把导数换成积分类似地证明一些特殊行列式的积分法则.2.2 一类行列式的积分法则定理2 已知为与无关的量，为的可积函数，对于矩阵，有 .3 用微分法求行列式3.1用常微分方程求解行列式3.1.1 对阶数比较低行列式求解例1 计算行列式.解 令，则.对求关于的不定积分得，（其中为积分常数）.当时，行列式的前两列相同，由行列式的性质4得：，故.例2 计算行列式.解 用代替，则行列式变为，令，对求关于的导数得对求关于的不定积分得，（其中为积分常数）.当时，从而，故.把代入中得，.3.1.2 对阶行列式求解例3 计算阶行列式.解 令，先设为自变量，所以（其中为积分常数）.当时，所以.故.对于把看作自变量，运用上面的方法可求出.同理可求： 因此，.例4 计算阶行列式.解 把行列式看作关于的函数，令，对求关于的导数对求关于的不定积分得：（其中为积分常数）当时,所以故 .3.2 用偏微分方程求解行列式例5 用偏微分方程求范德蒙德（Vandermonde）行列式.解 设，把范德蒙德行列式看作关于，的函数，对求关于，的偏导数得然后，对，求和得从而有特征方程 可以求得它的首次积分 当，根据行列式的性质4知，行列式，故行列式应该含有因式.又因为，这说明行列式对于每个参数来说都是最高次的，而且行列式含有因式对于每个参数来说恰好是个.所以行列式.再根据行列式的每一项的系数可以确定,故行列式.例6 用偏微分方程求解行列式.解 把行列式看作关于，的函数，求，的偏导数得 然后，对，求和得从而特征方程为 可以求得首次积分 ；当，根据行列式的性质4知，行列式，所以行列式应该含有因式，从而可以求得.因此，.对于例5、例6如果我们对列进行求偏导我们很难的出偏微分方程的式子，这也是说利用偏微分方程计算行列式也是有技巧的.以上六个例子是导数（偏导数）在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对含有参数的行列式的求（偏）导,使计算由繁变简,再根据导数性质对不同问题进行分析,达到了解决问题的目的.这说明,(偏)导数是计算含有参数的行列式问题的一种方法.3.3 用积分法求解行列式例7 求阶行列式的值.解 把把看作行列式的自变量，有再对求关于变量导数.例8 求阶（设为偶数）行列式的值.解 把看做一个解行列式的积分 特别地，取，这就是参考材料的例4，做变换：，由于为偶数，故.注：例7、例8是积分在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对一类含有参数的行列式求积分,转化为特殊行列式,再利用导数对结果进行处理,达到了解决问题的目的.4 结论用微分法法计算含参数行列式，把含参数行列式中一个或个参数看作自变量，把行列式看作参数的函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或原函数或一种递推关系，然后通过不定积分或求导和参数取特殊值求出行列式或者找到递推关系，最终求出行列式的值.微分法可以简化行列式的计算，为我们提供了一种计算行列式的方法.以上是我们给出了用分析法求解行列式的方法包括用常微分方程计算行列式、用偏微分方程计算行列式、用积分法计算行列式，可以看到这些解法独特、新颖，这实际上是用分析方法解决高代问题思想的一次尝试.高阶行列式的计算方法灵活多样，在化简时，必须根据行列式的特点，采用适当的次序和步骤来进行，才能快速、准确的计算行列式的值.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室小组.高等代数M.3版.北京：高等教育出版社，2003.9 55-74 98-103 2 李尚志.线性代数M.北京：高等教育出版社，2006.5 111-1403 徐仲.高等代数考研教案M.2版.西安：西北工业大学出版社，2009.7 44-864 徐仲.高等代数(北大第三版)导教导学导考M.2版. 西安：西北工业大学出版社,2006.9 83-1305 钱吉林.高等代数题解精粹M.修订版.北京：中央民族大学出版社，2009.10 24-316 张润玲. 阶行列式的微分法J.雁北师范学院学报，2003.4 46-477 齐成辉.求解行列式的方法和技巧J.陕西师范大学学报(自然科学版)，2003年31卷 26-298 刘秀丽、张长耀.导数在计算行列式中的应用J.高等函授学报(自然科学版)，2009.12，第22卷第6期 20-229 龚秀芳.高阶行列式求解方法的探讨J.菏泽学院学报，2005.10，第27卷第5期 73-7610 华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)M.3版.北京：高等教育出版社，2001 11 陈纪修.数学分析（上、下册）M.2版.北京：高等教育出版社，2004.5 119-163 241-26912 王高雄等.常微分方程M.2版(修订).北京：高等教育出版社，2007重印 18-50 304-323致谢在学习高等代数过程中，行列式是不仅是高等代数的重要内容之一，而且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.求解行列式占有极其重要的地位，它是讨论线性方程组理论的有力工具，非常感谢老师在选题修改过程中给予的无私帮助，老师对于工作及科研方面的严谨求实的态度感染了我，使我终生受益，我在此表忠心的感谢，也感谢老师指导了三次数学建模比赛让我受益匪浅，让我知道了学无止境.同时我也感谢系领导与各位老师四年来对我的教育与培养没有你们的教导，就不可能有我的今天.感谢答辩委员会各位老师的精辟点评，让我在马上毕业之际顺利的完成毕业论文. 感谢在论文书写过程中给予我支持的父母、老师、朋友，也非常感谢母校让我在大学四年过程中一步步走向独立，我相信这两年半大学生活将是我最宝贵的财富.