中考数学试题目选讲

14.（广东梅州）23本题满分 11 分 （提示：为了以便答题和评卷，建议在答题卡上画出你觉得必须的图形） 如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点 LAOMPBxyL1图12Q（1）直接写出直线的解析式； （2）设，的面积为，求有关t的函数关系式；并求出当时，的最大值； （3）直线过点且与轴平行，问在上与否存在点， 使得是觉得直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请阐明理由（广东梅州23题解析）（1）2分（2），点的横坐标为，当，即时，3分当时，4分当，即时，当时，有最大值6分（3）由，因此是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是觉得直角顶点的等腰直角三角形，则，因此，又轴，则，两点有关直线对称，因此，得7 分LAOPBxyL123题图-1QC下证连，则四边形是正方形 法一：（i）当点在线段上，在线段上（与不重叠）时，如图1 由对称性，得， ， 8分（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图2，如图3 ， 9分 （iii）当点与点重叠时，显然 综合（i）（ii）（iii）， yLAOPBxL123题图-3QC21在上存在点，使得是觉得直角顶点的等腰直角三角形11 分 LAOPBxL123题图-2QC21y法二：由，因此是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是觉得直角顶点的等腰直角三角形，则，因此，又轴， 则，两点有关直线对称，因此，得 7 分 延长与交于点 （i）如图4，当点在线段上（与不重叠）时，四边形是正方形， 四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形 又， ， ， ， 又， 8分（ii）当点与点重叠时，显然 9分 （iii）在线段的延长线上时，如图5， ，1=2 综合（i）（ii）（iii）， 在上存在点，使得是觉得直角顶点的等腰直角三角形 11分23题图-4LAOMPBxyL1QCNyLAOPBxL123题图-5QC21法三：由，因此是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是觉得直角顶点的等腰直角三角形，则，因此，又轴， 则，O两点有关直线对称，因此，得 9分连，10分在上存在点，使得是觉得直角顶点的等腰直角三角形 11分15.（广东清远）28如图9，已知一种三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重叠），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为BCNMA图9（1）请你用含的代数式表达（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为什么值时，最大，最大值为多少？解：（1）3分（2）的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，=（0）4分MNCBEFAA1当落在四边形外时，如下图，设的边上的高为，则 因此 6分综上所述：当时，取，当时，取，当时，最大，16.（广东汕头）24（本题满分12分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求的值解：（1）在正方形中，在中，NDACDBM答案24题图，3分（2），5分，当时，取最大值，最大值为107分（3），要使，必须有，9分由（1）知，当点运动到的中点时，此时12分（其他对的的解法，参照评分建议按步给分）17.（广东深圳）23（本题10分）已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重叠（其中OA0，n0），连接DP交BC于点E。当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）图13图11又连接CD、CP（如图13），CDP与否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请阐明理由。（3分）图12（广东深圳23题解析）（1） 由RtAOCRtCOB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入，可求a=为所求（2） ； 提示：直线BC的解析式为设，运用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组 分别可求和（3） 过D作X轴的垂线，交PC于M，易求PC的解析式为，且，故 故，当时，18.（广东湛江）28已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重叠），现将沿翻折得到，再在边上选用合适的点将沿翻折，得到，使得直线重叠（1）若点落在边上，如图，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点落在矩形纸片的内部，如图，设当为什么值时，获得最大值？CyEBFDAPxO图ABDFECOPxy图第28题图（3）在（1）的状况下，过点三点的抛物线上与否存在点使是觉得直角边的直角三角形？若不存在，阐明理由；若存在，求出点的坐标（广东湛江28题解析）解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形，可得2分设过此三点的抛物线为则过三点的抛物线的函数关系式为4分（2）由已知平分平分且重叠，则又即6分当时，有最大值8分（3）假设存在，分两种状况讨论：当时，由题意可知，且点在抛物线上，故点与点重叠，所求的点为（0，3）9分当时，过点作平行于的直线，假设直线交抛物线于另一点点，直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重叠，直线的方程为10分yxABECQOPDF（Q）第28题图由得或又点故该抛物线上存在两点满足条件 19（广东肇庆）25（本小题满分 10 分） 如图 9，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，交BN 于C设 （1）求证：；（2）求有关的关系式； （3）求四边形的面积S，并证明：OADEMCBN图9FOADEMCBN图9（广东肇庆25题解析）（1）证明：AB是直径，AM、BN是切线， ，（2 分） 解：（2）过点D作 于F，则 由（1），四边形为矩形. ，（3 分） DE、DA，CE、CB都是切线， 根据切线长定理，得，（4 分） 在中， ，（5 分）化简，得（6分）（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，即（8分），当且仅当时，等号成立，即（10分）20.（广东）22. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtABM RtMCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtABM RtAMN，求此时x的值.（广东22题解析）（1）证明：四边形ABCD是正方形，B=C=90，ABM+BAM=90ABM+CMN+AMN=180，AMN=90AMB+CMN=90BAM=CMNRtABMRtMCN（2）RtABMRtMCN，即解得： , 即：又当x=2时，y有最大值10.当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.（3）RtABMRtMCN，即化简得：，解得：x=2当M点运动到BC的中点时RtABM RtAMN，此时x的值为2.23（广东广州，23，12分）已知反比例函数y(m为常数)的图象通过点A（1，6）（1）求m的值；（2）如图9，过点A作直线AC与函数y的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB2BC，求点C的坐标【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可得到一种有关m的一元一次方程，求出m的值；（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，则CBECAD，运用相似三角形知识求出CE的长即可求出点C的横坐标【答案】解：（1） 图像过点A(1，6)， （2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，由题意得，AD6，OD1，易知，ADBE，CBECAD， AB2BC，BE2即点B的纵坐标为2当y2时，x3，易知：直线AB为y2x8，C(4，0)【波及知识点】反比例函数【点评】由于今年来各地中考题不断减少难度，中考考察知识点有向低年级平移的趋势，反比例函数出目前解答题中的频数越来约多【推荐指数】24（广东广州，24，14分）如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重叠），DEAB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点C（1）求弦AB的长；（2）判断ACB与否为定值，若是，求出ACB的大小；否则，请阐明理由；（3）记ABC的面积为S，若4，求ABC的周长.【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则OAF为直角三角形，且OA1，OF，借助勾股定理可求得AF的长；（2）要判断ACB与否为定值，只需鉴定CABABC的值与否是定值，由于D是ABC的内切圆，因此AD和BD分别为CAB和ABC的角平分线，因此只要DAEDBA是定值，那么CABABC就是定值，而DAEDBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于AOB值的一半；（3）由题可知DE (ABACBC)，又由于，因此，因此ABACBC，由于DHDGDE，因此在RtCDH中，CHDHDE，同理可得CGDE，又由于AGAE，BEBH，因此ABACBCCGCHAGABBHDE，可得DE，解得：DE3，代入ABACBC，即可求得周长为24【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA1弦AB垂直平分线段OP，OFOP，AFBF在RtOAF中，AF，AB2AF（2）ACB是定值.理由：由（1）易知，AOB120，由于点D为ABC的内心，因此，连结AD、BD，则CAB2DAE，CBA2DBA，由于DAEDBAAOB60，因此CABCBA120，因此ACB60；（3）记ABC的周长为l，取AC，BC与D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DGDHDE，DGAC，DHBC.ABDEBCDHACDG(ABBCAC) DElDE4，4，l8DE.CG，CH是D的切线，GCDACB30，在RtCGD中，CGDE，CHCGDE又由切线长定理可知AGAE，BHBE，lABBCAC22DE8DE，解得DE3，ABC的周长为24 【波及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前去后按顺序解题，前面问题为背面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题【推荐指数】25（广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重叠），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC有关直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积与否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若变化，请阐明理由.【分析】（1）要表达出ODE的面积，要分两种状况讨论，如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；如果点E在AB边上，这时ODE的面积可用长方形OABC的面积减去OCD、OAE、BDE的面积； （2）重叠部分是一种平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积与否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度与否变化【答案】（1）由题意得B（3，1）若直线通过点A（3，0）时，则b若直线通过点B（3，1）时，则b若直线通过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25-a， 此时E（2b，0）SOECO2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2此时E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAESDBE) 3(2b1)1(52b)()3()（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知：，S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为