罗默高级宏观经济学第3版课后习题详解新增长理论

罗默高档宏观经济学（第3版）第3章 新增长理论跨考网独家整顿最全经济学考研真题预测，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题预测，经济学考研课后习题，经济学考研参照书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是珍贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开某些陷阱。如下内容为跨考网独家整顿，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线征询进行征询。3.1 考虑教材中第3.2节中时的模型。（a）在均衡增长途径上，其中是的均衡增长途径值。运用这个事实以及方程（3.6）推导均衡增长途径上的一种体现式，把它用、和来表达。（b）应用对（a）问的答案以及生产函数，求均衡增长途径上的体现式。求最大化均衡途径产出的的值。答：（a）有关产出和知识的生产函数为： （1） （2）在均衡增长途径上， （3）对（2）两边除以，即： （4）将（3）（4）联立得：上式简化为： （5）（b）将（5）代入（1）得：两边取对数，可得：一阶条件为：通过简朴的数学运算求： （6）值越大，新知识在生产函数中的作用越大。值越大，劳动在生产函数中的作用越大，需要雇佣越多的劳动。3.2 考虑两个经济（用表达），这两个经济由和描述，其中。假设两个经济中的初始值相似，但是。证明是持续增长的。证明：将产出函数代入资本累积方程得：， （1）在方程（1）两边同步除以以求出资本增长率的体现式，即： （2）对方程（2）求导数，求出资本增长率的增长率，即： （3）方程（3）简化为： （4）如图3-1所示。图3-1 资本增长率由于，因此总是保持增长。的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如方程（2）所示。因此，虽然两个经济中的初始值相似，只要，则两个经济的初始资本存量的增长率便不同。由方程（3）可知，的增长率是由决定的。因此，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。因此，对于所有的，有 ，并且两个国家的差距会越来越大。将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即： （5）对方程（5）两边取对数，然后求导，得： （6）由方程（6）可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的，均有成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出的比率将持续上升，并且以递增的速率上升。3.3 考虑第3.3节中分析的经济。假设，且经济处在均衡增长途径上。阐明如下多种变化如何影响线和线，以及变化发生时经济在空间上的位置：（a）增长；（b）增长；（c）增长。答：（a）增长线和线由下式给出： （1） （2）资本和知识的增长率公式为： （3） （4）从方程（1）可以看出，对于给定的，由于增长，满足的变大了，线向上移动；从方程（2）可以看出，由于增长，对于给定的，满足的变小了，因此向下移动，如图3-2所示。图3-2 增长对与的影响由于并没有出目前方程（3）中，因此没有随着的增长而向上移动。同理，由于并没有出目前方程（4）中，没有随着的增长而向上移动。（b）增长由于并没有出目前方程（1）和（2）中，因此线和线随着的增长都没有变化。在方程（3）中，增长引起资本的增长率向下移动。在方程（4）中，增长引起知识的增长率向上移动。因此经济向点移动，如图3-3所示。图3-3 增长对与的影响（c）增长由于没有出目前方程（1）中，因此没有随着增长而变化；由于出目前方程（2）中，因此变的更加平坦；由于没有出目前方程（3）中，因此资本的增长率没有变化；由于出目前方程（4）中，需要判断增长的效果，可以发现增长也许会导致向上、向下或保持不变，如图3-4所示。图3-4 增长对与的影响对方程（4）两边取对数，即：上式两边对求导，可得： （5）因此，如果不不小于1，则，随着增长，知识增长率向下跳动；如果不小于1，则，随着增长，知识增长率向上移动；如果等于1，则，不发生变化。这意味着向的动态调节也许会依赖于随着增长的的值。3.4 考虑教材第3.3节中描述的经济，并假定且。假设经济最初处在均衡增长途径上，且发生持久性的增长。（a）如果这种变化影响和曲线，那么它将如何产生其影响?这种变化如何影响变化发生时经济在空间上的位置？（b）增长后，和的动态学是什么？画出每工人的对数平均产出的途径。（c）直观上，增长的影响与其在索洛模型中的影响有何不同？答：（a）和的方程分别为： （1） （2）资本和知识的增长率公式分别为： （3） （4）由于没有出目前方程（1）和（2）中，因此随着的增长，和没有发生变化。同样，在（4）中也没有浮现，因此，随着的增长，知识的增长率不发生变化。但是，随着的增长，资本的增长率会向上移动。如图3-5所示，经济从均衡增长途径上的点向点移动。图3-5 的持久性增长对和的影响（b）在点，经济位于曲线之上，因此会上升，由于的增长，资本的增长率提高了，资本进入知识生产函数的数量提高了，因此知识的增长率提高了。在点，经济位于曲线之上，因此下降了，经济会达到东南，并最后会绕过的曲线，从而也开始下降。由于资本和知识的规模报酬递减，即，因此的增长对于和的增长率没有持久效应。经济最后会返回到点。生产函数为： （5）对方程（5）两边先取对数再求导数，从而求得增长率，即： （6）在初始的均衡增长途径上，由（1）可得：，将其代入方程（6）可知，总产出也是以的速度增长。因此，人均产出在初始的均衡增长途径上以的速度增长。在过渡时期，和的增长率都变大，因此人均产出的增长率也变大。图3-6中显示了人均产出的增长率开始先增长而后又减少。但是，重要的一点是在过渡时期，增长率自身高于均衡增长途径上的。最后，一旦经济返回到稳定点，人均产出的增长率再次为。图3-6 人均产出的变化（c）在本模型中，储蓄率增长的效应与索洛模型中的影响比较相似。由于规模报酬递减，因此储蓄率的增长只有水平效应。人均产出的途径位于原先的途径之上，人均产出的增长率，但是对于人均产出的增长率没有持久效应，在均衡增长途径上，人均产出的增长率等于知识的增长率。这一点与索洛模型中资本的规模报酬递减有相似之处。从数量上讲，增长效应不小于索洛模型，这是由于的增长率提高后便为既定，这与索洛模型不同。3.5 考虑第3.3节中且时的模型。 （a）应用（3.14）和（3.16），求使得和相等时的取值。（b）应用对（a）部分的答案，求当时和的增长率。（c）的增长如何影响经济的长期增长率？（d）取什么值时可最大化经济的长期增长率？直观上，为什么该值不随递增（表达资本在研发部门中的重要性）？答：（a）资本的增长率为： （1）其中，知识的增长率为： （2）其中，。假设和，方程（1）（2）可简化为： （3） （4）因此，给定模型的参数和人口增长率，决定了和两个增长率。使和相等，即：进一步简化为： （5）（b）令，将（5）代入（3）得：上式简化为：即： （6）（c）将和代入（6）中，可得： （7）对（7）求自然对数得： （8）运用方程（8）求经济长期增长率对储蓄率的弹性，即： （9）因此储蓄率的增长会导致经济长期增长率的增长。这是由于储蓄率的增长导致更多的资本被投入到生产中，而生产函数是规模报酬不变的。（d）通过对求导来判断资本用于研发部门的比例以最大化经济的增长率。一阶条件为：求解最优的：，因此有： （10）在研发部门使用的最优的资本份额为劳动的产出弹性。可以发现知识生产函数的资本份额并不影响研发部门使用的最优的资本份额。这是由于增长有两个效应：一方面它使得资本在研发部门更加重要，因而倾向于提高；同步，增长也使得新资本的生产更有价值，当更多的产出被储蓄和投资时，新资本就生产出来。这倾向于减少，由于这意味着更多的资源被投资于产出的生产而不是知识的产出，此处两种效应正好抵消。3.6 考虑第3.3节中且的模型。（a）画出这种情形的相图。（b）证明：无论经济的初始条件如何，、（以及的增长率）持续地增长。（c）在且的情形下，讨论（a）和（b）的规定。答：（a）由教材中（3.15）式可得，资本增长率的增长率为： （1）由（1）式可知，所示的轨迹为： （2）由（2）式可知，在平面上，所示的轨迹是一条斜率为1且纵截距为的直线，如图3-7所示。此外，当（即位于这条直线下方）时，将增长；当（即位于这条直线上方）时，将减小。图3-7 的相图由教材中（3.17）式可得，知识增长率的增长率为： （3）由（3）式可知，的轨迹方程为： （4）由（4）式可知，在平面上，所示的轨迹是一条斜率为且纵截距为的直线，如图3-8所示。此外，当（即位于这条直线上方）时，将增长；当（即位于这条直线下方）时，将减小。图3-8 =0的相图由于且，因此所示的直线的斜率不小于所示直线的斜率，两条直线的相对位置如图3-9所示，不再相交。图3-9 且时经济的动态（b）和的初始值是由模型中的参数和、的初始值所决定的。如图3-9所示，不管经济始于何处，它最后将进入直线与之间的区域。一旦经济进入该区域，和的增长率将不断提高，从而总产出以及总产出增长率也将不断增长。（c）当且时，直线与将有相似的斜率，且所示的直线将位于所示直线的上方。此时经济的动态与且时的情形类似，如图3-10所示。不管经济始于何处，它最后将进入直线与之间的区域。一旦经济进入该区域，资本、知识和产出的增长率将不断提高。图3-10 且时经济的动态3.7埃塞尔生产函数（Ethier，1982）。假设生产函数是，其中为资本品的使用量，表达资本品的潜在数量。（a）假设在时，等于，在其她状况下等于0。用表达的、和的函数是什么？（b）假设资本品的租金价格为且工资为。考虑一种厂商用最低成本生产1单位产品的问题。（1）建立厂商成本最小化的拉格朗日方程。（2）求有关的一阶条件。（3）证明该一阶条件意味着资本品的需求弹性为。（注意这表白，由于一种垄断者的利润最大化价格是乘以成本，因而资本品的垄断供应者在利润最大化价格下的利润是，或，其中是资本品的利润最大化租金价格，是该价格下的需求量。）答：（a）将假设条件代入生产函数得： （1）由于与独立，因此： （2）由于，因此： （3）整顿得： （4）（b）（1）定义为公司雇佣的劳动数量，公司的成本最小化问题为： （5）预算约束为： （6）建立该厂商成本支出最小化问题的拉格朗日方程，即： （7）（2）对上面的拉格朗日方程，即方程（7）分别有关、求一阶条件，可得： （8） （9）（3）由于充足就业，可以将资本品、和看作既定，用（9）除（8），可得： （10）运用成本最小化条件（6）简化（10），可得： （11）求出资本的需求，即： （12）方程（12）两边取指数得： （13）劳动的要素收入为劳动的边际产品，即：将上式代入方程（13）可得： （14）将成本最小化条件（6）代入（14）中，可得： （15）写出对资本的需求弹性，即： （16）对（15）取自然对数得： （17）因此，由方程（16）和（17）可以求得需求弹性，为： （18）资本品的垄断供应者在利润最大化价格下的利润是，资本品生产商的利润是：其中是生产单位资本品的成本，厂商选择最大化利润的资本数量，其一阶条件为： （19）在（19）两边除以，用（18）来替代资本需求弹性的导数，如下： （20）求解（20），得出： （21）这表白垄断厂商的价格是乘以成本，将代入（21），可得： （22）因此，将此式代入方程（22）可得：将上式简化为： （23）3.8 罗默模型（保罗罗默，1990）。考虑与习题3.6相似的模型。此外，假设，以及。同步假设经济中居住的是永久存活家庭，她们具有不变相对风险厌恶的偏好，因此。最后，假设产品生产和知识生产厂商都将工资视为既定的，劳动力可在两个部门间自由流动，产品生产厂商将资本品的租金价格视为既定的。寻找一条均衡增长途径，其中、和的增长率相似；和都保持不变；和都独立于且不随时间变化。令和分别表达均衡增长途径上的和的水平。（a）应用习题3.7中（b）（3）的结论来表达一项资本品出租的利润现值，把它表达为、和的函数。（b）根据（a）部分的成果以及的体现式，求知识生产部门工人的工资。（c）应用生产函数求产品生产部门中劳动的边际产品的体现式。（d）应用生产函数求产品生产中资本品的边际产品的体现式。（e）结合（b）（d）部分的成果求的一种体现式，把它用和模型参数来表达。（f）应用的体现式来表达均衡增长途径上经济的增长率，把它用、和来表达。（g）应用以及（e）部分和（f）部分的成果来求均衡增长途径上的、，以及经济增长率。（h）（g）部分中得出的值与否有也许为负？如果是，由于知识生产中的劳动量事实上不能为负，那么在这种情形下，均衡增长途径是什么？（g）部分中得出的值与否有也许不小于1？答：（a）资本品出租的利润现值为： （1）由习题3.7的式（23）可知，任何时点上的利润为：，由于在均衡增长途径上和都独立于，且不随时间变化，而和分别为在均衡增长途径上资本品的价格和数量，因此（1）整顿为： （2）由于实际利率不变，有：将上式代入（2）中，可得： （3）求（3）的积分，得：上式简化为： （4）（b）知识生产部门工人的工资为知识生产部门劳动的边际产品乘以知识生产部门产品的价格或知识的价格。更精确的讲，知识的价格等于设计新产品的价格。知识的价格将上涨到垄断生产部门供应新资本品所能得到的利润的贴现值。使用（4）并定义为知识的价格，可得： （5）由于，知识生产部门的劳动边际产品为： （6）将知识生产部门的劳动工资定义为，即： （7）由习题3.7的（15）可知，资本的需求为： （8）对（8）两边同步取指数，在均衡增长途径上，可知： （9）由（9）求出，即： （10）将方程（10）代入方程（7）得： （11）化简式（11），可得： （12）（c）根据习题3.7，定义为在产品生产部门雇佣的劳动数量，由生产函数可知在均衡增长途径上有： （13）在产品生产部门劳动的边际产品为： （14）（d）由习题3.7中的式（4）可知在时的产出为： （15）则资本边际产出为： （16）又由于，因此式（16）可写为： （17）（e）由于劳动可以在产品和知识生产部门自由流动，两部门的工资必然相等，即：。由于在产品生产部门劳动得到其边际产品（产品的价格被正规化为1），由式（12）和（14）可知： （18）化简（18），可得： （19）因此，在产品生产部门雇佣的劳动数量为： （20）（f）由于，因此知识增长率为： （21）在均衡增长途径上，、和以同样的速率增长，将速率定义为，因此有： （22）（g）在均衡增长途径上，消费以一定的速率增长，如下： （23）将方程（20）的转化形式代入（23），可得： （24）即： （25）整顿利率的同类项可得： （26）因此，在均衡增长途径上，利率为： （27）由于利率是个人耐心的减函数，个人越有耐心，越小，即将来的贴现率越小，则在均衡增长途径上的利率越小。下面求均衡增长途径上的知识生产部门雇佣的劳动的比例。由方程（20）可知： （28）将（27）代入（28）得： （29）化简（29）可得： （30）即： （31）最后，可以求出在均衡增长途径上经济的增长率，将（31）代入，可得： （32）即： （33）（h）下面检查在均衡增长途径上与否可以不小于1。假定，则：因此，只要、和是正数，便不也许不小于1。但是，只要，则可觉得负数，即个人非常没有耐心，对将来的折现率是如此之高，相对于目前的消费从额外的知识中获取的将来的收益是毫无价值的。下面考察为负数与否与家庭的最优化行为相一致。由教材的（2.2）式，并令，有下面的成果： （34）为保证终身效用不发散，将方程（33）的代入下式： （35）化简可得： （36）即： （37）方程（37）等价于： （38）如果或者，将为负数，因此对于正数和，式可以写为： （39）为保证终身效用不发散，在均衡增长途径上为负。由于在知识生产部门劳动的投入比例不也许为负，因此可以求得一种角点解，即，由于，在均衡增长途径上经济的增长率为0。3.9 教材第3.13.2节的模型将从事研发的工人比例视为既定的。根据习题3.73.8中分析的模型，下面多种情形对的均衡增长途径值有何影响，并用一句话对多种情形进行直观解释。（a）下降。（b）上升。（c）上升。答：（a）由习题3.8的方程式（31）可知，在均衡增长途径上，知识生产部门雇佣的劳动的比例为： （1）由（1）可知： （2）由方程（2）可知，下降，即个人对将来贴现率的下降，提高了在均衡增长途径上的的值。如果个人变得更加有耐心，相对于目前的消费而言从研究活动中所获得的将来收益将更有价值。因此，更多的资源将被投入到知识的生产部门，从而均衡增长途径将更高。（b）由（1）可知： （3）化简（3）可得： （4）因此，的符号可以由来决定，如果、和为正，则为正。的增长表达在知识生产部门劳动生产率的提高。因此，在知识生产部门工资开始上升。知识生产部门将吸引更多的工人，直到工资再次等于产品生产部门。（c）由（1）可知： （5）化简（5），可得： （6）因此，的符号可以由来决定。如果、和为正，则为正。总的劳动数量的增长将导致在知识生产部门的劳动数量的增长。由习题3.8的（12）和（14）可知，在初始的上，的增长将导致知识生产部门工资的提高和产品生产部门工资的减少。这会引起劳动从产品生产部门流向知识生产部门，始终上升到两部门的工资相等为止。3.10 干中学。假设产出由教材中方程（3.24），给定；为常数且等于1；知识积累是产品生产的一种副产品：。（a）用、和各参数来表达和。（b）在空间中画出线和线。（c）该经济与否会收敛到一条均衡增长途径？如果是，均衡增长途径上、和的增长率是多少？（d）的增长如何影响长期增长？答：（a）有关的方程为： （1） （2） （3）将方程（1）代入（2）得，在该式两边除以，可以得到资本的增长率，即： （4）将（1）代入（3）得：在该式两边除以，可以得到知识的增长率，即： （5）（b）对方程（4）两边取对数，产生资本的增长率的增长率为：即： （6）从（6）可知，当时，将是常数。因此，在空间中与45线重叠。如果，将上升，即位于线之下；如果，则将下降，则会位于之上。如图3-11所示。图3-11 曲线（5）两边取对数，可以求出知识的增长率的增长率：上式简化为： （7）由（7）式可知，如果，则将保持不变，即将在空间中位于45线上；如果，则将上升，从而位于线之上；如果，则将下降，从而位于线之下，如图3-12所示。图3-12（c）将和置于一种图3-13上。尽管在的状况下可以推出经济将以一不变的速度增长，仍然没有足够的信息可以断定唯一的均衡增长途径。如图3-13所示。图3-13 时的和曲线由上面的分析，已知：在任何状况下，资本和知识的增长率都是联系在一起的，由于它们都依赖于资本对知识的比率。由（5）可推出：或简化为： （8）将（8）代入（4）得： （9）和必须位于某一点上以满足方程（9），在图3-14中标为线。不管的初始比率如何，经济将从线上的某一点开始，最后移动到点。因此，经济将收敛到唯一的均衡增长途径上的点。图3-14 经济收敛于点为计算在均衡增长途径上资本和知识的增长率，在点，与相交，此时。令代表共同的增长率，由（9）可知：简化为： （10）对方程（1）两边取对数并求导数，可以得出实际产出的增长率：在均衡增长途径上，代入上式，可得： （11）因此，在均衡增长途径上，资本、知识和产出的增长率均为。（d）由（10）可知，储蓄率的提高，会使长期的资本、知识和产出的增长率提高。由（6）和（7）可知，随着储蓄率的变化，和曲线都不会发生变化。由（4）可知，的增长会使向上跳动。由（9）可知，曲线会移动。因此，随着的增长，经济将从原先的均衡增长途径上的点移动到点，接着经济沿着线向新的稳定点移动，如图3-15所示。图3-15 经济沿线向新稳定点移动3.11 假设厂商的产出由给定，其中和是厂商使用的资本量和劳动量；和是总的资本量和劳动量；，。假设各要素报酬为其私人边际产品，因而。假设和的动态学分别由和给定，所有厂商的都相似。（a）作为的函数的是多少？（b）均衡增长途径上的是多少？均衡增长途径上的是多少？（c）“如果国内储蓄的增长会提高国内投资，那么资本的正的外部性将缓和资本的私人边际产品的下降。因此，对于第一章描述的费尔德斯汀与胡瑞卡有关储蓄和投资的结论来说，资本的正的外部性和对资本流动的不大的障碍两者的结合也许是其因素。”（a）部分和（b）部分中的分析与否支持这一论断？请进行直观的解释。答：（a）对厂商的产出函数有关求偏导数，可得： （1）在均衡时，资本劳动比率在各厂商之间是相等的。因此，将它代入（1）中，得到资本的私人边际产品，即： （2）（b）由于在各厂商之间是相等的并且生产函数有不变的回报率，因此总生产函数为，进一步简化为： （3）令和，并在方程（3）两边同除以，得：则单位劳动的产出量为： （4）在两边取导数，即： （5）将资本积累方程，劳动增长率，即代入（5）中，可得： （6）将（4）式，即每单位劳动产量公式，代入（6），可得： （7）经济将收敛于下面的状况：每工人实际投资等于持平投资，即在均衡增长途径上，每工人的资本是不变的。因此，进而可由方程（7）推出下式：简化为： （8）将（8）代入（2）得：因此，在均衡增长途径上，资本的边际产品为： （9）（c）以上的分析不支持这一结论，并不影响稳态的资本的私人边际产品价值。此外，并不影响随着储蓄率的变化变化的方式。由（9）式可以得到，而并不依赖值。因此，资本正的外部性并不会缓和由于储蓄增长引起的资本的边际产品下降的趋势。因素在于，值越高，对于资本劳动比率的变化的反映越小，如（2）所示；但是，值越高，意味着资本劳动比率会对储蓄率的变化做出更大的反映，如（8）所示。因此，效果互相抵消。3.12 （瑞贝罗，1991）假设有两种生产要素：资本和土地。资本被用于两个部门，而土地只被用于生产消费品。具体来说，生产函数是和，其中和是两个部门分别使用的资本量（因而），是土地的数量，。要素报酬是其边际产品，资本可以在两个部门间自由流动。为简朴起见，被原则化为1。（a）令表达时资本品对消费品的相对价格。在两个部门中，用消费品单位表达的资本收入必然相等，运用这一事实推导一种将、和参数和联系起来的条件。如果以速度增长，则的增长（或下降）率是多少？令表达该增长率。（b）用消费品表达的真实利率是。因此，若假设家庭具有原则效用函数，则消费的增长率必然为。假设。（1）运用（a）部分的成果，用而非来表达。（2）根据消费品的生产函数，要使以速度增长，则的增长率是多少？（3）将（1）部分和（2）部分的成果结合起来，求用各参数表达的和。（c）假设投资收入的税率是，因而家庭面临的真实利率是。如何影响消费的均衡增长率。答：（a）将土地正规化为1后，生产函数为： （1） （2）在资本生产部门额外雇佣一单位资本的报酬是：，等于单位的消费品。在消费品生产部门额外雇佣一单位资本的报酬是：。联立两个成果（即在两个部门额外雇佣一单位资本的报酬），可得： （3）对方程（3）两边取对数并求导，得到资本品相对于消费品价格的增长率，即：上步用到了和是常数的假定。由于的增长率为，并定义的增长率为，可以得到： （4）（b）（1）消费增长率为： （5）上步是用方程（4）式来替代得到的。对消费生产函数两边取对数并求导，可以得到： （6）（2）将有关消费的增长率的方程（5）和（6）联立，可得：求出的增长率为： （7）（3）上面已经用参数求解，下面求。将方程（7）代入（6）得： （8）（c）实际利率为：，代入方程（5），可得： （9）上步使用了（4）去替代，联立消费的增长率方程（6）和（9），得到：求解上式，得到： （10）将（10）代入（6）中，得到潜在参数的函数，消费的增长率为： （11）为得到税收的效果，求有关的导数，如下：因此，税率的增长会引起消费的增长率下降。3.13 （克鲁格曼，1979；格罗斯曼和赫尔普曼，1991b）假设世界涉及两个地区：“北方”和“南方”。地区的资本积累由和给定。新技术在北方开发。具体来说，。另一方面，南方的技术改善是通过学习北方技术而得到的：，前提是；否则的话，。在这里，是北方劳动力中从事研发的比例，是南方劳动力中从事学习北方技术的比例，其他符号是原则符号。注意和被假设为不变。（a）北方每个工人平均产出的长期增长率是多少？（b）定义。将表达为和模型参数的函数。与否稳定？如果是，它收敛于什么值？南方每工人平均产出的长期增长率是多少？（c）假设和。当两地经济收敛于其均衡增长途径时，南方每个工人平均产出与北方每个工人平均产出的比率是多少？答：（a）由于北方的经济模型是索洛模型，其中技术进步率为：。根据索洛模型的分析，可以懂得北方每个工人平均产出的长期增长率是技术进步率，即。（b）在两边求导数，可得： （1）将和代入（1）中，如下：上式化简得： （2）将代入（2）得：合并同类项得： （3）方程（3）的相图见图3-16。图3-16 的相图注意，方程（3）和相图并不合用于的状况，由于当时，。与是线形关系，斜率为。由相图可知，如果，则。因此，如果开始在的左边，它会随时间上升到。同理，如果，则，如果开始在的右边，它会随时间下降到。因此，作为南方的技术对北方的技术的比率，会收敛到一种稳定值。为求解，令，即：求解，可得： （4）下一步是决定南方每个工人产出的长期增长率。由于收敛到一稳定值，因此，在长期，必须与保持同样的增长率。在长期，南方是一种以技术进步率增长的索洛经济。因此，在南方，每个工人的长期增长率为经济增长率。由于在长期，南方每工人产出的增长率与北方同样。因此，南方劳动力中参与技术学习的比例不影响南方长期的增长率。因此，增长率是完全由南方参与新技术的劳动的数量决定的。（c）在北方的生产函数两边除以有效劳动，可得： （5）定义每单位有效劳动的产出和资本分别为：将上面有关产出和资本的两个式子代入方程（5），可得： （6）在两边求导，得： （7）将资本积累方程，代入（7）得： （8）将（8）代入，可得： （9）同理可以得到南方的资本动态方程，即： （10）上步用到了南方的长期的技术增长率，即：。使用和，可以看出资本的动态方程在两个经济中是同样的。因此，在均衡增长途径上的和是相似的，即：和，从而有： （11）由可推出： （12）方程（12）表白：在均衡增长途径上，南方每个工人产出与北方每个工人产出的比率等于南方的技术与北方的技术的比率。从（b）中懂得，在长期中收敛于。将（4）代入到（12）中，可得： （13）由于，因此这个比率不不小于1，南方每个工人产出不不小于北方每个工人产出。同步，在均衡增长途径上，南方每个工人产出与北方每个工人产出的比率依赖于。事实上，越高，南方每个工人产出的途径就越接近于北方每个工人产出的途径。3.14 知识向穷国传播的滞后。（a）假设世界涉及两个地区：北方和南方。北方由和来描述。南方不进行研发，只运用北方开发的技术，但是，南方使用的技术比北方滞后年。因此，。如果北方每个工人平均产出的增长率是每年3，且接近为0，那么要使北方每工人平均产出是南方的10倍，必须是多少？（b）假设南方和北方都由索洛模型来描述：，其中，。同索洛模型同样，假设，；假设两国有相似的储蓄率和人口增长率。，。（1）证明：两国均衡增长途径上的值是同样的。（2）引入资本与否会变化（a）部分的答案？请进行解释（继续假设）。答：（a）需要找到一种值使得北方每个工人平均产出是南方的10倍，即：北方的生产函数为： （1）对（1）式两边取自然对数并求导，得到北方每工人产出的增长率： （2）上一步用到了北方每工人产出的增长率是北方的技术进步率，即每年3%。由于，因此： （3）由南方的生产函数得到： （4）用（4）除以（3）得到北方每工人产出对南方每工人产出的比率： （5）上步用到了，和（3）式。由于北方每工人产出对南方每工人产出的比率为10，则有下式：或即年。因此，将相对的跨国人均收入差距归于缓慢的知识扩散所规定的转换率非常低。为理解释10倍的收入差距，穷国需要使用富国20世纪代的技术。（b）（1）在北方，由均衡增长途径上的实际投资等于持平投资所决定，即： （6）其中，。由于，和函数在南方和北方是相似的，因此唯一也许的收入差距的来源是南方知识的增长率，并且。南方在时间所用的技术是北方在年所用的技术，即： （7）对两边求时间的导数，可得： （8）用（8）除以（7）得： （9）北方的知识增长率是常数且保持不变，因此有： （10）对南方来讲，由下式决定： （11）由于和是被同一种方程定义的，因此它们是相似的。（2）引入资本不会变化（a）部分的答案。由于，因此，在均衡增长途径上，每单位有效劳动的产出在南方和北方是相似的，即，而。在均衡增长途径上，北方每工人产出为： （12）在均衡增长途径上，南方每工人产出为： （13）用（12）除以（13）得： （14）第二步到最后一步用了，。由（3）可以得到：用与（a）部分同样的计算可以得到：年，使得。3.15 考虑下面这个具有实物资本和人力资本的模型：其中，和分别是实物资本存量和人力资本存量中用于教育部门的比例。该模型假设人力资本是在其自己的部门按照其自己的生产函数生产的。只有在作为将接受教育的劳动力时才有用，而不是作为生产最后产品的一种投入品。同理，知识只有在作为可以传授给学生的知识时才有用，而不是作为产品生产的一种投入品。（a）定义，请推导和的方程。（b）求使得=0的由和的组合构成的方程，在空间中画出它。对进行同样的解决。（c）该经济与否具有一条均衡增长途径？如果是，它与否是唯一的？它与否稳定？均衡增长途径上人均实物资本、人均人力资本和人均产出增长率是多少？（d）假设经济最初处在均衡增长途径上，且有一种持久性的增长。这一变动如何影响人均产出随时间变化的途径？答：（a）对两边对求导，可以得到： （1）定义，则（1）可写为： （2）将资本积累方程和不变的知识和劳动增长率代入方程（2），可得： （3）将生产函数代入（3）得： （4）最后，定义，又由于，因此（4）可以写为： （5）将两边同步对求导，可得： （6）方程（6）化简得： （7）将人力资本积累方程和具有不变增长率的资本和劳动的方程代入（7）中，可得： （8）定义，可将（8）写为： （9）（b）令方程（5）等于0，求作为的函数：由可以推得：再简化为： （10）是由（10）定义的，斜率为，如图3-17所示。图3-17 时的情形由方程（5），可以懂得是随着而递增的，因此，在的右边，并且是上升的；在的左边，且是下降的。令（9）的右边等于0，求出作为的函数，即：进一步可以推得：简化为： （11）对（11）有关求一阶导数、二阶导数，可得：是由方程（11）来定义的，其二阶导数为正且向上倾斜，如图3-18所示。图3-18 时的情形由（9）可以懂得是的增函数。因此，在上方，是递增的；在下方，是递减的。（c）将和放在一起，可以发现经济将收敛于均衡增长途径上的点。这一稳定的均衡增长途径点是唯一的（忽视掉原点的状况）。如图3-19所示。由图3-19可知，每单位有效劳动的物质资本在均衡增长途径上是不变的。因此，每人的物质资本必须与知识保持同样的增长率。同理，每单位有效劳动的人力资本在均衡增长途径上是不变的。因此，每人的人力资本必须与知识保持同样的增长率。图3-19 和在一起的情形对总生产函数除以得到人均产出： （12）由于和在均衡增长途径上都以的速度增长，生产函数是规模报酬不变的，因此，人均产出的增长率也是。（d）由（10）式可知：的斜率是，定义，因此，的一种持久性的增长使得更加陡峭。由于没有出目前（11）中，因此保持不变。如图3-20所示，经济将从旧的均衡增长途径上的点移动到新的均衡增长途径上的点。图3-20 持久增长对人均产出随时间变化途径的影响直到储蓄率上升，人均产出都以的速度增长，在图3-21中表达为时刻。在从到的过程中，和都在增长，因此，人均的人力资本和人均的物质资本在过渡时期的增长率都不小于。在（12）中也可以看出，这意味着人均产出的增长率都不小于。一旦经济达到新的均衡增长途径上，和再次保持不变，因此，人均的人力资本和人均的物质资本的增长率再次等于，从而人均产出再次以的速度增长。因此，的一种持久性的增长对于人均产出仅有水平效应而没有持久的增长效应。图3-21 持久增长对人均产出的效应3.16 具有人力资本的规模报酬递增模型（卢卡斯，1988）。假设，和。假设，和。（a）的增长率是多少？（b）该经济与否收敛于一条均衡增长途径？如果是，均衡增长途径上和的增长率是多少？答：（a）本题用到的方程为： （1） （2） （3）其中，。整顿（2）可得： （4）（b）将产品生产函数代入物质资本的积累方程（3）中，可得： （5）在方程（5）两边除以，得： （6）检查物质资本增长率的动态学。对（6）求导数，可得： （7）下面写出物质资本增长率的变化率作为物质资本增长率自身的函数。在（7）式两边同步乘以，可得： （8）假定，即物质资本的规模报酬递减。由（8）决定的相图如图3-22所示。图3-22 由决定的相图当或者时，是常数，解出为：由于，在的左边，因此趋向于。同理，在的右边，因此趋向于。因此，在均衡增长途径上，资本的增长率收敛到。在（1）两边取对数再求导，可得： （9）在均衡增长途径上，有，因此： （10）在均衡增长途径上，产出与物质资本的增长率相似，不小于不变的人力资本增长率。3.17 教育的黄金律水平。考虑教材第3.8节的模型，其中假设的形式为。（a）请推导的体现式，使得均衡增长途径上的人均产出最大化。（b）如下变动如何影响的黄金律水平（即（a）部分中得出的的水平）：（1）增长。（2）下降。答：（a）在均衡增长途径上假设，则人均产出为： （1）其中，则在均衡增长途径上每单位有效劳动的产出有关最大化的自然对数为：（注意和不是的函数。） （2）一阶条件是： （3）或者： （4）化简可得： （5）方程（5）化简得： （6）方程（6）两边取自然对数得： （7）在（7）两边乘以，得到教育的黄金律水平： （8）（b）（1）求有关的导数： （9）因此，生命期限的增长一比一的提高了教育的黄金律水平。（2）下降会提高教育的黄金律水平。由方程（6）可知： （10）或者： （11）在（11）两边同步乘以得： （12）方程（12）的左边等价于： （13）对方程（12）进行微分，即： （14）求解方程（14）可得： （15）由于 （16） （17）因此，即下降会提教育的黄金律水平。3.18 内生化E的选择（Bils and Klenw，）。假设接受教育的工人在时的工资是。考虑在0时出生的一种工人，她在生命中的前年进行学习，剩余的年工作。假设利率不变且为。（a）将这个工人终身收入的现值表达为、和的函数。（b）求有关的取值的一阶条件，使得从（a）部分中得出的体现式最大化。令表达这个值。（c）如下的变动如何影响：（1）增长。（2）增长。（3）增长。答：（a）在时刻0时，工人终身收入的现值为： （1）将原则化为1，假定，因此（1）变为： （2）对（2）两边积分，得： （3