布尔代数在逻辑推理中的应用

布尔代数在逻辑推理中的应用广州市轻工职业技术学校 杨光电【摘要】布尔代数采用数学方法研究抽象思维的规律，比较枯燥，学生不容易掌握，在 向学生介绍布尔代数的时候，穿插逻辑推理，可以提高学生的兴趣，使学生更容易理解布尔 代数的真谛，让生活实际和理论知识结合起来，进一步提高学生的综合素质。本文用通俗化 的语言介绍了布尔代数的与、或、非三种基本逻辑关系，并用逻辑推理的方式解释了几个常 用定理，最后还用一个布尔代数进行逻辑推理的小故事来加深读者的理解。【关键词】布尔代数 逻辑推理 与或非逻辑 摩根定律布尔代数又称为逻辑代数，是电子线路中的重要章节，通过对布尔代数 的学习，可以为分析和设计数字逻辑电路的设计打下基础，但是现在课本上对布 尔代数的介绍大多运用数学推导和真值表的验证，比较抽象，学生不易理解，其 实布尔代数不光可以用在电子线路中，还和我们平时的日常生活息息相关，笔者 认为在向学生介绍布尔代数的时候，穿插逻辑推理，一方面可以使学生更容易理 解布尔代数的真谛，起到抛砖引玉的作用，为数字逻辑电路的分析和设计打下坚 实的基础，另一方面也可以扩大学生的知识面，让生活实际和课本知识起到相得 益彰的作用，进一步提高学生的综合素质。一、与、或、非的逻辑含义及其应用。布尔代数只有 0 和 1 两个逻辑变量，在数字电路中常常表示电平的高或低， 脉冲的有和无等现象，在日常生活中可以用来表示某个事件的“真”或“假”， “是”或者“否”,逻辑变量的二值 0 和 1 不表示数量的大小，而是表示两种对 立的逻辑状态。 与逻辑的符号为“.”，其代数表达式为：Y=aB,它表示只有当A和B 两个事件同时都为真时Y才是真，也就是说只有当A和B两个条件都满足的时 候，Y为真才可以出现，例如：假设A表示宿舍的卫生9分以上，B表示宿舍 的纪律分8分以上,Y表示宿舍可以被评为文明宿舍。那么与逻辑表达式Y=A B 则表示只有一个宿舍的卫生分9分以上(A)并且纪律分在8分以上(B)，这两个 条件同时满足，才可以被评为文明宿舍。与逻辑可以表示两个条件是“并且”的 关系，如果要让Y为真，那么A和B两个条件要同时满足缺一不可。或逻辑的符号为“+”，其代数表达式为Y=A+B，它表示只要A和B两个事 件中的其中一个为真时，Y就可以为真，也就是说只要A和B两个条件里其中 一个得到满足，那么Y为真就可以出现。假设A、B、Y还是代表上述的事件， 那么或逻辑Y=A+B关系式表示，只要宿舍的卫生分在9分以上（A）或者宿舍 的纪律分在8分以上（B）,这两个条件里只要满足其中一个条件那么该宿舍就可 以被评为文明宿舍。或逻辑可以表示两个条件是“或者”的关系，如果要让 Y 为真，只要A或者B两个条件中的其中一个得到满足即可。从以上两个例子可 以看出，在相同的两个条件下，要使结果Y为真，或逻辑比与逻辑要宽松。非逻辑的表达式为丫=玄，在这里我们可以假设：Y表示甲是男人，A表示 甲是女人，那么A表示甲不是女人，可以看出Y和A不能同时发生，如果A （甲 是女人）成立那么Y （甲是男人）就不可能成立，而A不成立（也就是说甲不 是女人），则Y （甲是男人）一定成立。二、用逻辑推理解释布尔代数的几个常用定理。电子线路课本对定理的证明常用严格的数学推导或真值表证明，学生 感觉比较抽象，其实我们可以用日常生活中的逻辑推理来解释这些定理，使我们 更容易理解这些定理。 、摩根第一定律公式：A* B = T+T，在这里我们假设A表示甲考 试及格，B表示乙考试及格，很明显瓜表示甲考试不及格甩 表示乙考试不及格, 而A B按照与逻辑的含义则表示甲考试及格并且乙考试也及格，也就是说甲和 乙他们两人考试都及格了。那么A，B则表示甲和乙两人考试都及格的这句话是 错的。如果甲和乙考试都及格这句话错了（ A，B）就包括或者甲考试不及格（T ）或者乙考试不及格（亩）或者A和B考试都不及格（）这三 种情况即 A B = A + B + A B=A+ B （1+ A ）+ B 、摩根第二定律公式：A+B = E，假设A和B用回证明摩根第 一定律时的含义，那么 A+B 就表示或者甲考试及格或者乙考试及格，总之他们 之间一定有一个及格，而A+B表示前面这句话错了即甲考试及格或者乙考试及 格，两人之间有一个及格的这句话是错的，这也就等于说甲考试不及格并且乙考 试也不及格，也就是说他们两个考试都不及格。即A+B =* 、与或表达式的化简：很多同学对Y=A+A B和Y=A+B这两个等 式是相互等效的数学推导不容易理解。我们用逻辑推理来解释：如果 Y 表示某 同学可以被评为文明学生，A表示某同学的操行分在90分以上，表示某同学的 操行评分没有在90分以上，B表示某同学的操行分没有被扣分。Y=A+A B 表示如果某同学的操行分在90分以上（A）或者（+ ）操行分没有90分并且操 行分没有被扣分（A B）这两个条件中的其中一个可以得到满足的话，Y（某 同学被评为文明学生）就成立Y=A+B表示如果操行分在90分以上（A）或者（+） 操行分没有被扣分（B）两个条件的其中一个条件可以得到满足的话Y（被评为文 明学生）就成立。细心体会以上两句话，我们不难发现其实A+ T * B所表达的 含义与A+B是相同的即A+T B=A+B，而 T （操行分达不到90分）这个 条件是多余的，可以消去。三、布尔代数在逻辑推理中的应用。布尔代数不光是分析和设计数字逻辑电路的基础，也可以解决实际生活中的 一些推理问题，下面笔者就布尔代数分析法在日常逻辑推理中的一些应用提出自 己的看法，问题已知课室的玻璃是被甲乙丙丁四个男生中的某个同学打烂的，于是我就去 班上询问，甲说：“玻璃是丙打烂的”，乙说：“我没有打烂玻璃”，丙说：“我也 没有打烂玻璃”，丁说：“玻璃是甲打烂的”。当四个人的话音刚落，一个知道内 情同学站起来说：“老师，他们四个同学中，只有一个同学说的是真话，其余同 学都是说假话，您以前上课说可以用布尔代数分析推理问题，可否现场分析：哪 位同学说真话，哪位同学打烂玻璃？”分析四位同学都有打烂玻璃或没有打烂玻璃的可能，由此作如下规定：甲打烂 玻璃用A表示，甲没有打烂玻璃用表示。同理乙丙丁三位同学也可能有B, B ,C, Q ,D, D 。（解）据题意：四个同学中，只有一个同学说真话，其他同学都是说假话。所以 本题有四种可能：1、假设甲同学说真话，乙、丙、丁三个同学都是说假话。甲说的是：玻璃是丙 打烂的，因为玻璃是他们四个同学中其中一位打烂的，如果丙打烂了玻璃，则其 他同学就没有可能再打烂玻璃，所以其布尔代数表达式为：T乜，而 乙同学说的是我没有打烂玻璃也就是B ，如果甲同学讲的是真话，那么乙同学 讲的势必也是真话，如此，四个同学中就有两个同学说真话了，肯定不符合题意 中“四个同学中，只有一个同学说真话，其他同学都是说假话”的规定，因此这 种假设不能成立。2、假设乙同学说真话，甲、丙、丁三个同学都是说假话。乙说的是：“我没有打 烂玻璃”，也就是B，甲说玻璃是丙打烂的，也就是c,丙说：“我没有打烂玻 璃”也就是q，而c+c =1,即甲和丙两个同学中一定有一个人是讲真话， 就像扔一个硬币，甲猜是正面，丙猜是反面，那么甲和丙这两个人中肯定有一个 人是猜中的。这样讲真话的就不止乙同学一个，不符合题意中“四个同学中，只 有一个同学说真话，其他同学都是说假话”的规定，因此这种假设也不能成立。3、假设丁同学说真话，甲、乙、丙三个同学都是说假话。丁说的是：“玻璃是甲 打烂的”，因为玻璃是他们四个同学中其中一位打烂的，如果确实是甲打烂了玻 璃,则其他同学没有可能再打烂玻璃，所以其布尔代数表达式为：aW D。 甲说：玻璃是丙打烂的，即c,如果丁说的是真话，那么甲就肯定说假话，暂时 没有发现丁同学说真话有什么破绽，再往下分析，乙说的是：“我没有打烂玻璃”， 也就是电，如果丁同学说真话，那么乙同学也势必也说真话，这就不符合题意中“四个同学中，只有一个同学说真话，其他同学都是说假话”的规定，因此这种 假设同样不能成立。4、既然甲乙丁三位同学都没有说真话的可能，那么我们基本可以判定只有丙同 学说真话。我们来验证一下：丙说：“我没有打烂玻璃”就是亡，甲说的是： 玻璃是丙打烂的，就是c,如果假设丙说的是真话，那么甲就是在说假话，暂时 没有发现丙同学说真话有什么破绽。再往下分析，乙说的是：“我没有打烂玻璃”， 也就是帀，我们把乙说的话当作是假话，并不会和假设丙同学说真话相矛盾， 再继续往下看，丁说的是：“玻璃是甲打烂的”也就是A。如果当他说的是假话 也不会和假设丙说真话相矛盾。根据以上分析，丙同学说的是真话，玻璃是乙同学打烂的。 （思考题）亲爱的读者，如果甲、乙、丙、丁四个同学中，只有一个同学说的假 话，其他同学说的是真话，那么玻璃是谁打烂的（答案：玻璃是甲同学打烂的） 布尔代数不光是电子线路中数字组合逻辑电路分析和设计的基础，更和 我们平时的日常逻辑推理息息相关，如果我们在向学生介绍布尔代数的时候，不 光用课本上的数学推理和真值表证明的方法，同时介绍一下布尔代数在逻辑推理 中的应用，不仅可以提高学生对课程的兴趣，使学生更好地掌握布尔代数的内容， 而且也可以扩宽学生的知识面，让同学们的综合素质得到进一步的提高。参考文献：张龙兴.电子技术基础M.高等教育出版社，2000陈进元，屈宛玲.离散数学M.北京大学出版社，1987易天龙.浅谈逻辑代数分析推理问题J.电子报，2007