中考动点问题集锦

中考压轴 动点问题1、如图11，在ABC中，C=90，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HFDE，HDE=90）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，DEF=CBA，AHAC=23（1）延长HF交AB于G，求AHG的面积.（2）操作：固定ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDHH能否为正方形？若能， 解：（1）AHAC=23，AC=6AH=AC=6=4又HFDE，HGCB，AHGACB1分=，即=，HG=SAHG=AHHG=4=（2）能为正方形HHCD，HCHD，四边形CDHH为平行四边形又C=90，四边形CDHH为矩形 又CH=AC-AH=6-4=2当CD=CH=2时，四边形CDHH为正方形此时可得t=2秒时，四边形CDHH为正方形（）DEF=ABC，EFAB当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0t4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH的面积过F作FMDE于M，=tanDEF=tanABC=ME=FM=2=，HF=DM=DE-ME=4-=直角梯形DEFH的面积为（4+）2=y=（）当4t5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDHH的面积.而S边形CBGH=SABC-SAHG=86-=S矩形CDHH=2ty=-2t（）当5t8时，如图，设HD交AB于P.BD=8-t又=tanABC=PD=DB=（8-t）重的面积y=S ,PDB=PDDB=（8-t）（8-t）=（8-t）2=t2-6t+24y与t的函数关系式：y=（0t4）-2t（4t5）t2-6t+24（5t8）2、已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求OAB的度数，并求当点A在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.(1) A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，(2) ，当点A在线段AB上时，TA=TA，ATA是等边三角形，且，当时，由图，重叠部分的面积AEB的高是，当t=2时，S的值最大是；当，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA与CB的交点，F是TP与CB的交点)，四边形ETAB是等腰形，EF=ET=AB=4，综上所述，S的最大值是，此时t的值是.3、如图(1)在RtACB中，C=90AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cms；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cms;连接PQ。若设运动的时间为t(s)(0t2).根据以上信息，解答下列问题：(1)当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？(2)设四边形PQCB的面积为y()，直接写出y与t之间的函数关系式；(3)在点P、点Q的移动过程中，如果将APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.-2分 （2）当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PHAC于H，则点H必为AQ的中点，RtAHPRtACB，即，解得：2（不合题意应舍去）综上所述，当时，所形成的四边形为菱形.-4如图241，在中，是边上的动点（不与重合），交于点，关于的对称图形是设 （1）用含的式子表示的面积（不必写出过程）； （2）当为何值时，点恰好落在边上； （3）在动点的运动过程中，记与梯形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式；并求为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？ABCNMPABCNMPABCNMP图241图242图243（1）因为MNBC，所以AMNABC，所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值，即可求得面积；（2）根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；（3）分两种情况讨论：当0x2时，易见y=x2（8分）当2x4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F由（2）知ME=MB=4-xPE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4由题意知PEFABC，利用相似三角形的性质即可求得【解析】（1）SAMN=x2（3）；（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，AMN=PMN，（4分）又MNBC，PMN=BPM，AMN=B，（5）B=BPMAM=PM=BM（6分）点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上（7分）（3）（i）以下分两种情况讨论：当0x2时，易见y=x2（8分）当2x4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F由（2）知ME=MB=4-x，PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4由题意知PEFABC，y=（ii）当0x2时，y=x2易知y最大=（11分）又当2x4时，y=x2+6x-6=（x-）2+2当时（符合2x4），y最大=2，综上所述，当时，重叠部分的面积最大，其值为2（13分）二次函数类型题等腰三角形问题1、如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由1、解：(1)将A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线yax2bxc中，得：抛物线的解析式：yx22x3(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，直线BC的函数关系式yx3；当x1时，y2，即P的坐标(1，2)(3)抛物线的解析式为：x1，设M(1，m)，已知A(1，0)、C(0，3)，则：MA2m24，MC2m26m10，AC210；若MAMC，则MA2MC2，得：m24m26m10，得：m1；若MAAC，则MA2AC2，得：m2410，得：m；若MCAC，则MC2AC2，得：m26m1010，得：m0，m6；当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M(1，)(1，)(1，1)(1，0)面积问题2、如图，已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MNy轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由2（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ，解得。直线BC的解析式：y=x+3。已知点M的横坐标为m，则M（m，m+3）、N（m，m2+2m+3）；MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）。3）存在。如图；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，SBNC=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）。当m=时，BNC的面积最大，最大值为。3、已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3（2），对称轴为x=1。令，解得x1=3，x2=1，C（1，0）。如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小。设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：，解得。直线AB解析式为y=x3。当x=1时，y=2，D点坐标为（1，2）。（3）结论：存在。如图2，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PNx轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OAON=3xP（x，y）在抛物线上，代入上式得。当x= 时，SABP取得最大值。当x= 时，P（， ）。四边形问题4、如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中ABO沿x轴向左平移到DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MNy轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形 4、 （2）A（4，0）、B B（0，3），OA=4，OB=3，。若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5，C（5，3）、D（1，0）.将C（5，3）代入y=x2+x+3中，得：（5）2+（5）+3=3，点C在抛物线上；同理可证：点D也在抛物线上。5、如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由6、解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线x=2，连接BC，如图1所示，B（5，0），C（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），解得，直线BC的解析式为y=x，当x=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），N1（4，）；当点N在x轴上方时，如图，过点N作NDx轴于点D，在AND与MCO中，ANDMCO（ASA），ND=OC=，即N点的纵坐标为x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（2+，）或（2，）6、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 图1 图27、2把MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA3当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程满分解答(1) 因为抛物线与x轴交于A(4,0)、C(2,0)两点，设ya(x4)(x2)代入点B(0,4)，求得所以抛物线的解析式为(2)如图2，直线AB的解析式为yx4过点M作x轴的垂线交AB于D，那么所以因此当时，S取得最大值，最大值为4(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ/OB，PQOB4设点Q的坐标为，点P的坐标为当点P在点Q上方时，解得此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）当点Q在点P上方时，解得或（与点O重合，舍去）此时点Q的坐标为(4,4) （如图5）