二元一次方程组经典讲义

金牌数学初二专项系列之 一次函数 1、 二元一次方程的定义：具有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。2、 二元一次方程组的定义：把具有相似未知数的两个二元一次方程合在一起，就构成了一种二元一次方程组。3、 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。5、 代入消元法解二元一次方程组：（1） 基本思路：未知数又多变少。（2） 消元法的基本措施：将二元一次方程组转化为一元一次方程。（3） 代入消元法：把二元一次方程组中一种方程的未知数用含另一种未知数的式子表达出来，再代入另一种方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个措施叫做代入消元法，简称代入法。（4） 代入法解二元一次方程组的一般环节：1、 从方程组中选出一种系数比较简朴的方程，将这个方程中的一种未知数（例如y）用含另一种未知数（例如x）的代数式表达出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、 将y=ax+b代入到另一种方程中，消去y，得到一种有关x的一元一次方程，即“代”。3、 解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。4、 把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、 把x、y的值用联立起来即“联”6、 加减消元法解二元一次方程组（1） 两个二元一次方程中同一种未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一种一元一次方程，这种措施叫做加减消元法，简称加减法。（2） 用加减消元法解二元一次方程组的解1、 方程组的两个方程中，如果同一种未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用合适的数乘方程两边，使同一种未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。2、 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一种未知数、得到一种一元一次方程，即“加减”。3、 解这个一元一次方程，求得一种未煮熟的值，即“解”。4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一种方程中，求出另一种未知数的值即“回代”。5、 把求得的两个未知数的值用联立起来，即“联”。二元一次方程组应用题1、 一、列二元一次方程组解应用题的一般环节可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：2、 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表达其中的两个未知数；3、 找：找出可以表达题意两个相等关系；4、 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；5、 解：解这个方程组，求出两个未知数的值；6、 答：在对求出的方程的解做出与否合理判断的基本上，写出答案题型一：基本回忆例1.已知是方程x-ky=1的解，那么k= k=-1拓展变式练习1.已知方程组和方程组有相似的解，则m的值是 52.在方程中，用的代数式表达，得3.若方程是二元一次方程，则，4.若，则8 5.下列方程： ； ； ；其中是二元一次方程的是，题型二：技能拓展例2.（8分）已知方程组和有相似的解，求的值拓展变式练习1.（6分）解方程组 2.（6分）解方程组3. （6分）解方程组4.已知和都是方程y=ax+b的解，求a和b的值题型三：综合能力提高例3.某都市规定：出租车起步价容许行使的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？解：设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得：x+y(11-3)=17，x+y(23-3)=35，解得：x=5，y=3/2，答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元拓展变式练习1.甲、乙、丙三队要完毕A、B两项工程B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完毕A工程所需的时间分别是20天、24天、30天为了共同完毕这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙二队做B工程；通过几天后，又调丙队与甲队共同完毕A工程问乙、丙二队合伙了多少天？解：可设A的工作量为1，可得B的工作量；两个等量关系为：甲独做的工作量+甲丙合伙的工作量=1；乙丙合伙的工作量+乙独做的工作量=B的工作量，把有关数值代入求解即可解答：解：设乙、丙二队合伙了x天，丙队与甲队合伙了y天将工程A视为1，则工程B可视为1+25%=5/4，由题意得：x/20+y/30+y/20=1，x/24+x/30+y/24=5/4去分母得3x+5y=60，9x+5y=150，由此可解得x=15，答：乙、丙二队合伙了15天点评：考察二元一次方程组的应用，根据工作量得到两个等量关系是解决本题的核心；在工程问题中，如果工作总量不是一种具体的量，常常将工作总量视为1 2.（苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人问甲、乙两个旅游团个有多少人？分析：设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，根据题意可得等量关系：甲团+乙团=55人；甲团人数=乙团人数25，根据等量关系列出方程组，再解即可解答：解：设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，由题意得：，解得，答：甲、乙两个旅游团个有35人、20人3.（聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共耗费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共耗费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？分析：先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据调价前买这两种饮料个一瓶共耗费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共耗费17.5元，列出方程组，求出解即可解答：解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：，解得：答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元 （自贡）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据记录该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？考点：二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用分析：（1）一方面设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，根据核心语句“高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满”列出方程组即可；（2）设大寝室a间，则小寝室（80a）间，由题意可得a80，再根据核心语句“高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间”可得不等式8a+6（80a）630，解不等式组即可解答：解：（1）设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意得：，解得：，答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人；（2）设大寝室a间，则小寝室（80a）间，由题意得：，解得：80a75，a=75时，8075=5，a=76时，80a=4，a=77时，80a=3，a=78时，80a=2，a=79时，80a=1，a=80时，80a=0故共有6种安排住宿的方案一 选择题1下列方程中，是二元一次方程的是（ D ） Ax5y=6z B5xy+3=0 C+2y=3 Dx=2. 二元一次方程x-2y=1有无数多种解，下列四组值中不是该方程的解的是（B）A B C D3方程2x+y=8的正整数解的个数是（ B ）A4 B3 C2 D14.一轮船顺流航行的速度为a千米/小时，逆流航行的速度为b千米/小时，（ab0）那么船在静.水中的速度为（C ）千米/小时Aa+b B C Da-b二填空1.若，则2.已知二元一次方程组为，则_，_.3.若方程组的解与相等，则_.4.若是二元一次方程，则值等于_.三解答题1.（曲靖）某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，既有工人16名，应如何安排人力，才干使每天生产的A部件和B部件配套？分析：设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，就有x+y=16和1000x=600y，由这两个方程构成方程组，求出其解即可解答：解：设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，由题意，得，解得：答：设安排6人生产A部件，安排10人生产B部件，才干使每天生产的A部件和B部件配套2.（8分）上杭县某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车。问共有几辆车，几种学生？ 解：设有x辆车，y个学生，则 解得答：有5辆车，240个学生。3.（8分）福建欣欣电子有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，合计68万元，每年需付出利息8.42万元甲种贷款每年的利率是12，乙种贷款每年的利率是13，求这两种贷款的数额各是多少？解；设甲种贷款x万元，乙种贷款y万元，则 解得 答:甲种贷款42万元，乙种贷款26万元. 一.填空（每题6分 共30分）1.若2x2a5b+ya3b=0是二元一次方程，则a=_，b=_2，12.若是有关a，b的二元一次方程ax+ayb=7的一种解，则代数式x2+2xy+y21的值是_243.已知都是ax+by=7的解，则a=_，b=_2 1 4.若2x5ayb+4与x12by2a是同类项，则b=_2 5.方程组=4的解为_4 4 二.解答题（共20分）1.（10分）已知y=3xy+x，求代数式的值解：由于y=3xy+x，因此xy=3xy当xy=3xy时， 2.（10分）上杭教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，筹划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才干正好配套？共能生产多少套？解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子才干配套，则 解得 答：用360米生产上衣，240米生产裤子才干配套，共能生产240套。