.--逻辑联结词与四种命题

1.2 逻辑联结词与四种命题知识梳理1.逻辑联结词（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题.（2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（4）真值表：表示命题真假的表叫真值表.2.四种命题（1）四种命题原命题：如果p，那么q（或若p则q）；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.（2）四种命题之间的相互关系这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.点击双基1.由“p:8+7=16，q:3”构成的复合命题，下列判断正确的是A.p或q为真，p且q为假，非p为真B.p或q为假，p且q为假，非p为真C.p或q为真，p且q为假，非p为假D.p或q为假，p且q为真，非p为真解析：因为p假，q真，由复合命题的真值表可以判断，p或q为真，p且q为假，非p为真.答案：A2.（2004年福建，3）命题p:若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件；命题q:函数y=的定义域是（，13，+），则A.“p或q”为假B.“p且q”为真C. p真q假D. p假q真解析：|a+b|a|+|b|，若|a|+|b|1，不能推出|a+b|1，而|a+b|1，一定有|a|+|b|1，故命题p为假.又由函数y=的定义域为|x1|20，即|x1|2，即x12或x12.故有x（，13，+）.q为真命题.答案：D3.（2005年春季上海，15）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意xR，有f（x）M，则M是函数f（x）的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，且xx0，有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；若存在x0R，使得对任意xR，有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值.这些命题中，真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3解析：错.原因：可能“=”不能取到.都正确.答案：C4.命题“若m0，则关于x的方程x2+xm=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_.解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.答案：25.（2005年北京西城区抽样测试题）已知命题p:函数y=loga（ax+2a）（a0且a1）的图象必过定点（1，1）；命题q:如果函数y=f（x3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称.则A.“p且q”为真B.“p或q”为假C. p真q假D. p假q真解析：解决本题的关键是判定p、q的真假.由于p真，q假（可举反例y=x+3），因此正确答案为C.答案：C典例剖析【例1】 给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有A.0个B.2个C.3个D.4个剖析：原命题和逆否命题为真.答案：B深化拓展若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假.解：逆命题“若ax2+bx+c=0（a、b、cR）有两个不相等的实数根，则ac0”是假命题，如当a=1，b=3，c=2时，方程x23x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=20.否命题“若ac0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、cR）没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.逆否命题“若ax2+bx+c=0（a、b、cR）没有两个不相等的实数根，则ac0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.评述：解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键.【例2】 指出下列复合命题的形式及其构成.（1）若是一个三角形的最小内角，则不大于60；（2）一个内角为90，另一个内角为45的三角形是等腰直角三角形；（3）有一个内角为60的三角形是正三角形或直角三角形.解：（1）是非p形式的复合命题，其中p:若是一个三角形的最小内角，则60.（2）是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90，另一个内角为45的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90，另一个内角为45的三角形是直角三角形.（3）是p或q形式的复合命题，其中p:有一个内角为60的三角形是正三角形，q：有一个内角为60的三角形是直角三角形.【例3】 写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.剖析：把原命题改造成“若p则q”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.解：原命题：若abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题.逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题.否命题：若abc0，则a0且b0且c0，是真命题.逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0，是真命题.闯关训练夯实基础1.如果原命题的结论是“p且q”形式，那么否命题的结论形式为A.p且qB.p或qC.p或qD.q或p解析：p且q的否定为p或q.答案：B2.下列四个命题中真命题是“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 “面积相等的三角形全等”的否命题 “若m1，则方程x22x+m=0有实根”的逆否命题 “若AB=B，则AB”的逆否命题A.B.C.D.解析：写出满足条件的命题再进行判断.答案：C3.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.（1）命题“15能被3和5整除”是_形式；（2）命题“16的平方根是4或4”是_形式；（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是_形式.答案：（1）p且q （2）p或q （3）p且q4.命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_.答案：若a0且b0，则ab05.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机；（2）两次都没击中飞机；（3）恰有一次击中飞机；（4）至少有一次击中飞机.解：（1）两次都击中飞机是p1且p2；（2）两次都没击中飞机是p1且p2；（3）恰有一次击中飞机是p1且p2，或p2且p1；（4）至少有一次击中飞机是p1或p2.培养能力6.（2004年湖北，15）设A、B为两个集合.下列四个命题：AB对任意xA，有xB；ABAB=；ABAB；AB存在xA，使得xB.其中真命题的序号是_.（把符合要求的命题序号都填上）解析：AB存在xA，有xB，故错误；错误；正确.亦或如下图所示.反例如下图所示.ABAB.反之，同理.答案：7.命题：已知a、b为实数，若x2axb0有非空解集，则a24b0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.分析：原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b0有非空解集（即不等式有解），结论是a24b0，由四种命题的关系可得出其他三种命题.解：逆命题：已知a、b为实数，若a24b0，则x2+ax+b0有非空解集.否命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b0没有非空解集，则a24b0.逆否命题：已知a、b为实数，若a24b0，则x2+ax+b0没有非空解集.原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.8.写出下列命题非的形式：（1）p:函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；（2）q:若x=3或x=4，则方程x27x+12=0.解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点或至少有两个交点.（2）若x=3或x=4，则x27x+120.探究创新9.小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜测.甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？解：（1）假设小李得了第三名，则甲全猜对，乙全猜错，显然与题目已知条件相矛盾，故假设不可能.（2）假设小李得了第二名，则甲猜对一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不可能.（3）假设小李得了第一名，则甲猜对一半，乙全猜错，丙全猜对，无矛盾.综合（1）（2）（3）知小李得了第一名.思悟小结1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.2.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）.教师下载中心教学点睛1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系.拓展题例【例1】 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；（2）若xy=0，则x=0或y=0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.（2）命题的否定：xy=0则x0且y0，为假命题.原命题的否命题：若xy0，则x0且y0，是真命题.（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.【例2】 有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B盒内.