（通用版）2021版高考数学大二轮复习能力升级练（二十二）不等式选讲理

（通用版）2020版高考数学大二轮复习能力升级练（二十二）不等式选讲理能力升级练(二十二)不等式选讲1.已知a0,b0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.(1)求证:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求实数t的最大值.(1)证明f(x)=|x+a|+|2x-b|=|x+a|+x-b2+x-b2,|x+a|+x-b2(x+a)-x-b2=a+b2且x-b20,f(x)a+b2,当x=b2时取等号,即f(x)的最小值为a+b2,a+b2=1,即2a+b=2.(2)解a+2btab恒成立,a+2babt恒成立,a+2bab=1b+2a=1b+2a(2a+b)12=121+4+2ab+2ba121+4+22ab2ba=92,当a=b=23时,a+2bab取得最小值92,92t,即实数t的最大值为92.2.(2019辽宁沈阳第二中学月考)已知定义在R上的函数f(x)=|2x-k|+2|x|,kN*.存在实数x0使f(x0)12,n12且f(m)+f(n)=10,求证9m+1n163.(1)解存在实数x0使f(x0)2成立,f(x)min2.|2x-k|+2|x|=|2x-k|+|2x|2x-k-2x|=|k|,则f(x)min=|k|2,解得-2k12,n12,f(m)=|2m-1|+2|m|=2m-1+2m=4m-1,同理,f(n)=4n-1,f(m)+f(n)=10,4m+4n-2=10,即m+n=3.9m+1n=139m+1n(m+n)=1310+9nm+mn1310+29nmmn=163,当且仅当9nm=mn,又m+n=3,得m=94,n=34时取等号.3.(2019河北石家庄质量检测(一)已知函数f(x)=|ax-1|-(a-2)x.(1)当a=3时,求不等式f(x)0的解集;(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点,求实数a的取值范围.解(1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x0,即|3x-1|x,当3x-10,即x13时,有3x-1x,解得x12.当3x-10,即xx,解得x0的解集为xx12.(2)当a0时,f(x)=2x-1,x1a,2(1-a)x+1,x0,2(1-a)0,即1a2;当a=0时,f(x)=2x+1,函数f(x)的图象与x轴有交点,不合题意;当a1a,要使函数f(x)的图象与x轴无交点,只需-12(1-a)1a0,此时无解.综上可知,若函数f(x)的图象与x轴无交点,则实数a的取值范围为1,2).4.(2018全国,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.解(1)f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x-1且x-12,a2时,f(x)g(x),求实数a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=-4x,x12,当x12时,f(x)2无解.综上所述,f(x)2的解集为x-12x12.(2)当x-12,a2时,f(x)=(a-2x)+(2x+1)=a+1,所以f(x)g(x)可化为4x2+ax-a-40.又h(x)=4x2+ax-a-4在-12,a2上的最大值必为h-12,ha2之一,则1-a2-a-40,a2+a22-a-40,即a-2,-43a2,即-43a2.又a-1,所以-1a2,所以a的取值范围为(-1,2.9