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第四章第四章 概率分布概率分布随机事件与概率随机事件与概率 随机事件随机事件 在试验的结果中，可能发生，也可能不发生的事件，称为在试验的结果中，可能发生，也可能不发生的事件，称为随机事件随机事件。通常用英文大写字母。通常用英文大写字母A、B、C表示随机事件。表示随机事件。每次试验的结果中，某事件一定发生，则这一事件叫做必每次试验的结果中，某事件一定发生，则这一事件叫做必然事件，用字母然事件，用字母U表示；相反地，如果某事件在试验中一表示；相反地，如果某事件在试验中一定不发生，则叫做不可能事件，用字母定不发生，则叫做不可能事件，用字母V表示。表示。概率概率 概率是事物的客观属性，通过大量的试验得知其频率随着概率是事物的客观属性，通过大量的试验得知其频率随着试验次数的增大，而越来越趋于某稳定值，这就是事件的试验次数的增大，而越来越趋于某稳定值，这就是事件的概率。但有一些特殊情况下的事件的概率可以直接计算，概率。但有一些特殊情况下的事件的概率可以直接计算，这种计算是以概率的古典定义为基础的。这种计算是以概率的古典定义为基础的。随机事件与概率随机事件与概率 随机变量随机变量 随机现象在一定的条件下的每一可能的结果随机现象在一定的条件下的每一可能的结果都都对应着唯一的实数值对应着唯一的实数值（），则称实数值变量），则称实数值变量（）为一个随机变量。随机变量通常用希腊字）为一个随机变量。随机变量通常用希腊字母母，来表示（或用大写拉丁字母来表示（或用大写拉丁字母X，Y，Z，来表示）。来表示）。概率的乘法法则概率的乘法法则:几个独立事件同时发生的概率，等于各独立几个独立事件同时发生的概率，等于各独立事件的概率之积事件的概率之积 概率的加法法则概率的加法法则:互不相容事件和的概率等于各事件的概率之互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和和介绍的主要分布介绍的主要分布 1 二项分布 泊松分布 正态分布二项分布二项分布(binomial distribution)v二分类资料，观察对象的结局只有二分类资料，观察对象的结局只有相互对立的两种结果。相互对立的两种结果。例如例如 生存、死亡生存、死亡 阳性、阴性阳性、阴性 发病、不发病发病、不发病 治愈、未愈治愈、未愈先看一个例子先看一个例子 已知：小白鼠接受某种毒物一定剂量时已知：小白鼠接受某种毒物一定剂量时 死亡率死亡率=80%生存率生存率=20%每只鼠独立做实验，相互不受影响每只鼠独立做实验，相互不受影响 若每组各用若每组各用3只小白鼠（甲、乙、丙）只小白鼠（甲、乙、丙）3只小白鼠的存亡方式符合二项分布只小白鼠的存亡方式符合二项分布3只小白鼠均生存的概率P=0.2 0.2 0.2=0.0083只小白鼠2生1死的概率P1=0.2 0.2 0.8=0.032P2=0.2 0.8 0.2=0.032 P=0.096P3=0.8 0.2 0.2=0.0323只小白鼠1生2死的概率vP1=0.2 0.8 0.8=0.128vP2=0.8 0.8 0.2=0.128 P=0.384vP3=0.8 0.2 0.8=0.1283只小白鼠均死亡的概率vP=0.8 0.8 0.8=0.512x00.50.40.30.20.10.0123=0.8，n=3 二项分布示意图二项分布示意图二项分布的定义二项分布的定义从阳性率为从阳性率为的总体中随机抽取含量为的总体中随机抽取含量为n的样本，恰有的样本，恰有X例阳性的概率为：例阳性的概率为：X=0,1,2,n 则称则称X服从参数为服从参数为n和和 的二项分布，记为：的二项分布，记为：XB(n,)。其中参数。其中参数 n由实验者确定，由实验者确定，而而 常常是未知的。常常是未知的。XXnXnCXP)1()(如已知n=3，=0.8，则恰有例阳性的概率P(1)为：13 113 1133!(1)(1)(1 0.8)0.80.0961!(3 1)!PC二项分布的性质（一）二项分布的性质（一）均数与标准差均数与标准差n)1(npnp)1(二项分布的性质（二）二项分布的性质（二）累计概率(cumulative probability)从阳性率为的总体中随机抽取n个个体 最多有k例阳性的概率：最少有k例阳性的概率：kkPPPXPkXP0)(.)1()0()()()1(1 )()(kXPXPkXPnk二项分布的性质（三）二项分布的性质（三）图形特征：取决于与n 当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。当n足够大，不太靠近0或1，np和n(1-p)都大于5时，二项分布近似于正态分布。应用举例应用举例据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率为染、支气管炎，有效率为85，今有，今有5个患个患者用该药治疗，问：者用该药治疗，问：至少至少3人有效的概率人有效的概率为多少？为多少？最多最多1人有效的概率为多少？人有效的概率为多少？至少至少3人有效的概率：人有效的概率：P(X3)=P(3)+P(4)+P(5)138178125.0)85.0()15.0()35(35)3(32！P(4)0.138178125P443705313.085.0)5(5P则 P(X3)=0.1381781250.3915046880.443705313=0.973388126 002227501.085.0)15.0(15.0)1()0()1(15155CPPXP 最多最多1人有效的概率为：人有效的概率为：P(X 1)=P(0)+P(1)二项分布的应用条件各观察单位只能有互相对立的一种结果，属于各观察单位只能有互相对立的一种结果，属于二分类资料二分类资料 已知发生某一结果已知发生某一结果(如阳性如阳性)的概率的概率 不变不变，其对，其对立结果立结果(如阴性如阴性)的概率则为的概率则为1-n次试验在次试验在相同条件相同条件下进行，且各观察单位的结下进行，且各观察单位的结果果互相独立互相独立 应用实例 保险公司为了决定保险金额数，估算公司的利润和破产的保险公司为了决定保险金额数，估算公司的利润和破产的风险，需要计算各种各样的概率。若根据寿命表知道，某风险，需要计算各种各样的概率。若根据寿命表知道，某年龄保险者，一年中每个人死亡的概率等于年龄保险者，一年中每个人死亡的概率等于0.005，现有，现有10000个这类人参加人寿保险，试求在未来一年中在这些个这类人参加人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里：保险者里：1.有有30人死亡的概率；人死亡的概率；2.死亡人数不超过死亡人数不超过65人的概率。人的概率。根据题意，以根据题意，以X 表示死亡人数表示死亡人数10000 303010000!300.0051 0.0050.000664730!1000030!P X6565100000010000!650.005 1 0.0050.983!10000!iiiiP XP XiiiPoisson 分布分布常用于描述单位时间或单位空间中某罕见常用于描述单位时间或单位空间中某罕见事件的发生数的随机分布规律，可视为事件的发生数的随机分布规律，可视为n很很大，大，很小时二项分布的极限情形。很小时二项分布的极限情形。例如：放射性物质每分钟放射的脉冲数，每例如：放射性物质每分钟放射的脉冲数，每ml水水中大肠菌群数、每中大肠菌群数、每1万个细胞中有多少个发生突万个细胞中有多少个发生突变、某地每天的交通事故数变、某地每天的交通事故数 如果某事件的发生是完全随机的，则单位时间或单如果某事件的发生是完全随机的，则单位时间或单位空间内，事件发生位空间内，事件发生0次、次、l次、次、2次次的概率为：的概率为：X=0，1，2，则称该事件的发生服从参数为则称该事件的发生服从参数为 的的Poisson分布，记分布，记为为XP()。=n为总体均数为总体均数，X为单位时间或空为单位时间或空间内某事件的发生数，间内某事件的发生数，P(X)为事件数为为事件数为X时的概率，时的概率，e为自然对数的底。为自然对数的底。!)(XeXPxPoisson分布的性质（一）分布的性质（一）均数与方差均数与方差 Poisson分布的方差分布的方差 2与均数与均数 相等，均为相等，均为 ，即：，即：2=其中参数其中参数 即为总体均数，表示单位空间或时间内即为总体均数，表示单位空间或时间内事件平均发生的次数，又称强度参数。事件平均发生的次数，又称强度参数。Poisson分布的性质（二）分布的性质（二）累计概率累计概率最多为最多为k次的概率：次的概率：最少为最少为k次的概率：次的概率：)()1()0()()(0kPPPXPkXPk10)(1)()(kXkXXPXPkXP Poisson分布的形状取决于分布的形状取决于 的大小。的大小。随着随着 的增大，分布逐渐趋于对称，的增大，分布逐渐趋于对称，当当 =20时已基本接近对称分布，近似时已基本接近对称分布，近似 正态分布。正态分布。Poisson分布的性质（三分布的性质（三）P(X)X 0 4 8 0 4 8 12 4 8 12 16 20 8 12 16 20 24 28 32 0.0 0.1 0.2 =3 =5 =10 =20 Poisson分布示意图可加性可加性 以较小的度量单位，观察某一现象的发生以较小的度量单位，观察某一现象的发生数时，如果它呈数时，如果它呈Poisson分布，那么把若分布，那么把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计干个小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈数亦呈Poisson分布。分布。Poisson分布的性质（四分布的性质（四）Poisson分布的性质（五分布的性质（五）Poisson分布是二项分布的极限形式分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当二项分布中，当 很小，比如很小，比如 5时，时，二项分布接近正态分布二项分布接近正态分布
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