数形结合思想在中学数学中的应用

安徽师范大学 本科毕业论文 数形结合思想在中学数学中的应用学院名称： 数学计算机科学学院 专业名称： 10数学与应用数学专业 姓 名： 吴晨晨 同组人员： 王帅帅 指导教师： 戴普庆 数形结合思想在中学数学中的应用 摘 要 数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。关键词 数与形；数形结合；中学数学 The combination of shapes and number in the middle schoolAbstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,its position in the middle school teaching ,the principles and ways of its application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thoughts characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目 录摘 要1Abstract2前 言41 数形结合思想方法概述41.1 数形结合思想的研究背景41.2数形结合思想的研究意义及作用52 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位52.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合52.2从新课程教学内容的特点来看数形结合52.3从高考题设计背景来看数形结合63 数形结合思想应用的途径和原则63.1数形结合的途径63.2数形结合的原则74 数形结合思想方法在中学解题中的应用74.1“数”中思“形”74.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题74.1.2 利用数轴解决集合的有关运算84.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用84.1.4 利用函数图像比较函数值的大小94.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用94.1.6数形结合解决最值问题104.2“形”中觅“数”105 结束语11参考文献11致谢12前言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。例如函数图象与函数表达式之间的关系。在数学问题中若能“以数示形，以形思数，数形渗透”，则能加强知识的横纵联系（1）。对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？1 数形结合思想方法概述1.1 数形结合思想的研究背景 数学以现实世界的数量关系和空间形式作为研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。 早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形式联系起来了（8）。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数画化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。 “数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题的科普小册子中。“数形结合”的应用大致又可以分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形过于简单，直观观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长.角度等等。“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。1.2数形结合思想的研究意义及作用 数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。首先，“数形结合”能更好帮助学生对所学知识的掌握与记忆。例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域.值域.单调性.奇偶性.周期性.有界性以及凹凸性等。 其次，应用“数形结合”能培养学生的数学直觉思维能力。第三，数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力。第四，应用“数形结合”有益于培养学生的创造性思维能力。 “数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。在中学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生 从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。 由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分渗透数形结合思想，挖掘它的教学功能和解题功能。 2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合数学基本知识与数学思想方法是课堂教学内容的两个不可分割的有机组成部份。数学思想方法是解决数学问题的根本思想和手段，它是人们探索数学真理，求解数学问题的过程中逐步积累起来的，并蕴含于各个数学分支的公理、定理、公式、法则和解决问题的过程中，是人类宝贵的精神财富。数学思想方法产生数学知识，数学知识蕴含数学思想和方法，两者的联系是辩证的统一。这就决定了在中学数学课堂教学中，数学知识的教学不能代替数学思想方法的教学，课堂教学的目的，应在于运用数学思想方法去揭示数学知识之间的内在联系，教师在课堂教学中，既要重视数学知识的教学，更要突出数学思想和方法的教学，通过数学思想和方法的教学，使我们的学生毕业之后，“不论做什么业务工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神，数学思想方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他们终生受用。”（2）然而在课堂教学中教师过于呆板地强调着逻辑思维能力。在教学中忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中一些抽象的结论的理解。忽视学生形象思维的培养。学生对于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生“亲和感”，感到枯燥，厌恶。事实上教材中体现数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学习数学的兴趣。利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接。初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强对数学概念的理解基础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力，数学语言的运用要求较高。因此学生对于高中数学的学习要有一个适应过程。教师更要帮助学生渡过这个关口。从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。2.3从高考题设计背景来看数形结合 随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多变性发展，增加了应用题，开放题，情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合应用，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。高考试题这种以能力立意的积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。而数形结合是中学数学中最重要、最基本的数学思想方法之一。利用数形结合设题，一方面考查学生对数学的符号语言，数学的图形语言的理解能力，语言的互补、互译、互化能力，即在数学本质上的有欲转化能力，另一方面考查学生的构图能力，以及对图形的想象能力，综合应用知识的能力；考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行“数学地思维”。因此数形结合在每年的高考中都是一道亮丽的风景线，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图那么很快就能得出正确答案。 3 数形结合思想应用的途径和原则3.1数形结合的途径 （1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧。实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义（3）。如等式 （2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化（4）。例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b22与余弦定理沟通，将abc0且b+ca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等。这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。3.2数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析，在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单。而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。4 数形结合思想方法在中学解题中的应用4.1“数”中思“形”4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。例1 某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数。解 我们用圆A、B、C分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，则有：C（化）A（数）B（理） 即：参加竞赛总人数为965人.4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 例2 设求。4。 分析 分别先确定集合A，B的元素，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： (公共部分) (整个数轴都被覆盖) (除去重合部分剩下的区域) (除去覆盖部分剩下的区域) 4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 例3 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）ABCDNMC D解题思路 利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度解析 设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，则光线所经过的路程的长本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化(9)。4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小0y1110.3x 一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较(5)。如： 例4 试判断三个数间的大小顺序 分析 这三个数我们可以看成三个函数在时，所对应的函数值在同一坐标系内作出这200.4xyy=3x21y=2-x三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 例5 解方程 分析 由方程两边的表达式我们可以联想起函数,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为4.1.6数形结合解决最值问题 利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题（6）。 例6 已知函数，求函数的最小值.解 由的结构形式，我们可以联想到几何当中直线的斜率公式，即可以看成过点与点 的直线的斜率A是动点且在圆上，为定点，作出图象，由图可知：，则，所以圆的切线的倾斜角为，故4.2“形”中觅“数”y10x11例7 设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况分析 我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示1平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出:当时,与没有交点，这时原方程无解;当时,与有两个交点,原方程有两个不同的解;当时,与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；当时,与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；当时,与有两个交点，原方程不同解的个数有三个 例8 已知直线 和双曲线 有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。分析 作出双曲线 的图象，并注意到直线是过定点（ ）的直线系，双曲线的渐近线方程为 。所以过（ ）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同值，此外，过（ ）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值。在做很多题目时把图形画出来，问题自然就解决了，利用“数”与“形”的相互转化来解决几何问题，它具有直观性 、灵活性等特点。数形完美的结合，就能达到事半功倍的效果（7）。5 结束语数无形不直观，形无数难入微。总之，数形结合思想方法是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化(10)。另外，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的。因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，真正做到胸中有图，图中有数，不断拓展我们的思维。在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。让学生真正的将数形结合思想应用到解题当中去，真正的做到学以致用。参考文献1中华人民共和国教育部制定. 数学课程标准(实验)M. 北京: 人民教育出版社, 2003.2周春荔，数学观与方法论，首都师范大学出版社，1996年8月第一次出版.3张亮数形结合的几个运用J井冈山师范学院学报2003 (05)4刘雨智.浅谈数形结合在解题中的应用J.各界(科技与教育),2009,(02)5乔家瑞.高中数学解题方法与技巧M .第一版.首都师范大学出版社,1994.6何新艺. 数形结合在极值与极大值问题中的应用J. 中国校外教育, 2010, 12: 107-107.7卢丙仁. 数形结合的思想方法在函数教学中的应用J. 开封教育学院学报 , 2003,(04).8Michael J. Gilbert, Jacqueline Coomes. What mathematics do high school teacher need to knowJ. Mathematics Teacher.2010,103.9George Polya George Polya. How to solve it (Second edition)M.Princeton University Press , Princeton New Jersey, 1973.10Gianluca Fusai, Corridor options and arc-sine lawJ Ann. Appl. probab.Volume 10,Number 2 .2000，634-663. 致谢经过几个月的努力，本论文终于完成了。本论文是在导师戴普庆老师的悉心指导下完成的。从论文的选题、研究方案的设计、实施到论文的撰写和审阅，无不浸透了戴老师的心血。在此，向我的导师致以衷心的感谢和崇高的敬意！