不确定性原理的推导

不确定性原理的推导一、（普遍的）不确定性原理推导:对于任意一个可观测量A,有（见（12）式）：U =伸 一A）P | （A - A）P = ff）（1）式中：f = （A-A）i/同样地，对于另外一个可观测量B,有：=巾式中：g =由施瓦茨不等式（见（16）式），有：KK = S/g|gz|Sg）（2）对于一个复数Z （见（17）式）：蚌=Re+ Im（Z）T 2Im=（Z-Z*）T2z令z =f|g，（2）式：。心食地）一|/）又S g）=（人- 3）# | （合 -B）w）=（P 福野）-（野叔）+A（P 如） +A珂尸=（舫）-A_A0+=-所类似有:所以小-市=伽）-伽）=（2,翊(5)式中对易式：人3三耳合一肮把（5）代入（4）,得（普遍的）不确定性原理:(6)二、位置与动量的不确定性设测试函数Rx),有(见(23)式)：x，pf(x)=.i d vi dr _ h( Jidf h dv hdf i i d r i d v i dr J=M(x)(7)去掉测试函数，则:力_T令A = X,百=p ,把（8）代入（6）：由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性:(9)、h三、时间与能量的不确定性由（见（24）式）：?=& （1。）可得：所以时间与能量的不确定性：点?（11）附：1、数学符号及常量:X的平均值但伊：矢量（函数）G和的点积（内积）b：，的不确定程度，即_/的标准差力： h = ,其中A=6.6260693（11） 10 34 J s为普朗克常量 2万/：z2=-l2、有关公式推导式：=啊一）勺）胛1何*渺）(12)（2）式：对于佃/7和使4沙|/7设。=（气,工2，工3，槌“），=（）1，）-）3,况）则llM=g+x必+与+*）q|q）= （xf+ +*+）（|0=或+；+.+2(13)(14)(15)构造方程:(田一 y)2 + (% y2)2+(% -月丁+(邕-yn)2 = 其中，为未知数显然，该方程最多仅有一个对，的解该方程可写为：（X： + X； + + + ） 尸-2（耳） + X2y2 + 工况 + +*）+（； + ）*2 + K + + ）t ）=0因为其解只有0或1个，所以VO：4（X01 + 土） + 砌 + +-4（罗 + x； +g +.+ 罗康 + y； + y; + + y;） 0把（12）、（13）、（14）式代入，得：I。网I 使。）伊（16）(3)式：设 z = a+ ib则(Z + Z* )T = -+ ib) -(a-ib)2 = 一 j (2ib)2 = b2Im=尸所以Im(z)r =(? + *)(17)2i（6）式：薛定停方程:(18)场竺=_左荣+VWdt 2m 6x-可以写做:及其共轴式:dt2/77 次 h所以又由（13）、（14）式，有:利用分部积分公式：（15）式可以写为d. .2 e, 、 一骸=(尸霎) dt 1 arill2wddx对第二项再分部积分,所以:dx2 dx2ih2m史ox(19)x=匚质&ih r 2/7-IdX dtdx dx6中 L史dr打粒T*妙+成d。)dtdr消去边界项（在8处*趋于0）,得:S咎-好斜P)= 7 =杪dt(20)(21)(22)则有(6)式中的(x、p为算符)：x = X tl d(23)p =、 i dx(9)式：U =( 疗)=A/)(，) = ，-)，)= 侦-2jMj)2)P(j)=P(j)-2j)jP(j) + UV P(j)= Wj)j)jV=(顼所以，标准差：b =(24)David J Gnffitlis参考文献：Iiitioduction to quantum mechanics