225二次函数应用(2)(利润问题)

（3）销售量可以表示为）销售量可以表示为 ；（1）销售价可以表示为）销售价可以表示为 ；（50+x50+x）元）元 个（2）一个商品所获利）一个商品所获利可以表示为可以表示为 ；（50+x-4050+x-40）元）元（4）共获利）共获利可以表示为可以表示为 ；安阳乡中心学校安阳乡中心学校 杨天学杨天学同学们，今天就让我们一同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！我们带来的乐趣吧！某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星元，每星期可卖出期可卖出300件，市场调查反映：每涨件，市场调查反映：每涨价价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，元，每星期可多卖出每星期可多卖出18件，已知商品的进价件，已知商品的进价为每件为每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？分析分析:调整价格包括调整价格包括涨价涨价和和降价降价两种情况两种情况先来看涨价的情况：设每件涨价先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商元，则每星期售出商品的利润品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y与与x的函数关系式。的函数关系式。涨价涨价x元时则每星期少卖元时则每星期少卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件,销销额为额为 元，买进商品需付元，买进商品需付 元因此，所得利润为因此，所得利润为元元10 x(300-10 x)(60+x)(300-10 x)40(300-10 x)y=(60+x)(300-10 x)-40(300-10 x)即即6000100102xxy(0X30)6000100102xxy(0X30)625060005100510522最大值时，yabx可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，点是函数图像的最高点，也就是说当也就是说当x取顶点坐标取顶点坐标的横坐标时，这个函数的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标求出顶点的横坐标.元x元y625060005300所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星元，每星期可卖出期可卖出300件，市场调查反映：每涨件，市场调查反映：每涨价价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，元，每星期可多卖出每星期可多卖出18件，已知商品的进价件，已知商品的进价为每件为每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？分析分析:调整价格包括调整价格包括涨价涨价和和降价降价两种情况两种情况再来看再来看降价降价的情况：设每件降价的情况：设每件降价x元，则每星期售出商元，则每星期售出商品的利润品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y与与x的函数关系式。的函数关系式。降价降价x元时则每星期多卖元时则每星期多卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件,销销额为额为 元，买进商品需付元，买进商品需付 元因此，所得利润为因此，所得利润为元元在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？解：设降价解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实件，实际卖出际卖出（300+18x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买元，买进商品需付进商品需付40(300-10 x)元，因此，得利润元，因此，得利润60506000356035183522最大时，当yabx答：定价为答：定价为 元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6050元元 3158做一做做一做由由(1)(2)的讨论及现在的销的讨论及现在的销售情况售情况,你知道应该如何定你知道应该如何定价能使利润最大了吗价能使利润最大了吗?60006018183004018300602xxxxxy(0 x20)（1）列出二次函数的解析式，并根）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。大值或最小值。例例2 2、某饮料经营部每天的固定成本为某饮料经营部每天的固定成本为200200元，元，其销售的饮料每瓶进价为其销售的饮料每瓶进价为5 5元。销售单价与日元。销售单价与日均销售量的关系如下：均销售量的关系如下：若记销售单价比每瓶进价多若记销售单价比每瓶进价多x x元，日均毛利润（元，日均毛利润（毛毛利润利润=售价售价-进价进价-固定成本固定成本）为）为y y元，求元，求y y关于关于x x的函数的函数解析式和自变量的取值范围；解析式和自变量的取值范围；若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元（精确到元（精确到.元）？最大日均毛利润为多少元？元）？最大日均毛利润为多少元？销售单价（元）销售单价（元）6789101112日均销售量（瓶）日均销售量（瓶）480440400360320280240解（解（1 1）由题意，销售单价每增加）由题意，销售单价每增加1 1元，日均销售量就元，日均销售量就减少减少4040瓶，当销售单价比进价多瓶，当销售单价比进价多x x元时，则：元时，则：由由520-40 x520-40 x0 0，得，得x x1313，即，即0 0 x x1313所求的函数解析式为所求的函数解析式为y=y=（520-40 x520-40 x）x-200 x-200即，即，y=-40 xy=-40 x2 2+520 x-200+520 x-200（2 2）y=-40 xy=-40 x2 2+520 x-200+520 x-200 （0 0 x x1313）当当x=6.5x=6.5时，函数时，函数y y达到最大值达到最大值14901490，而，而x=6.5x=6.5满足满足取值条件取值条件当销售当销售 单价定为单价定为11.511.5元时，日均毛利润最大，为元时，日均毛利润最大，为14901490元。元。=-40=-40（x-6.5x-6.5）2 2+1490+1490（0 0 x x1313）随堂练习随堂练习.某超市销售一种饮料，平均每天可售出某超市销售一种饮料，平均每天可售出100100箱，每箱利润箱，每箱利润120120元元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每据测算，若每箱每降价箱每降价1 1元，每天可多售出元，每天可多售出2 2箱箱.(1)(1)如果要使每天销售饮料获利如果要使每天销售饮料获利1400014000元，问每箱应降价多少元？元，问每箱应降价多少元？(2)(2)每箱饮料降价多少元时，超市平均每天获利最多？请你设计每箱饮料降价多少元时，超市平均每天获利最多？请你设计销售方案销售方案 解解:(1)设每箱应降价设每箱应降价x元，得：元，得：(100+2x)(120-x)=14000,-2x2+140 x+12000=14000-2x2+140 x-2000=0,x2-70 x+1000=0 x1=20,x2=50.答：每箱应降价答：每箱应降价20元或元或50元元,都能获利都能获利14000元元.(2)设每箱应降价设每箱应降价x元，获利元，获利y元元.得：得：y=(100+2x)(120-x),=-2(x+50)(x-120),=-2(x2-70 x-6000),=-2(x2-70 x+1225-1225-6000),=-2(x-35)2+14450,(0 x120)即即y=-2(x-35)2+14450,答：每箱应降价答：每箱应降价35元元,超市获利最多，最超市获利最多，最大利润是大利润是14450元元.如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?复复习习思考思考 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。或最小值。注意：由此求得的最大值或最小值对应的注意：由此求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内字变量的值必须在自变量的取值范围内。1蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至月份至6月份这种蔬月份这种蔬菜的上市时间菜的上市时间x（月（月份）与市场售价份）与市场售价P（元（元/千克）的关系如下表：千克）的关系如下表：这种蔬菜每千克的种植成本这种蔬菜每千克的种植成本y（元（元/千克）与上市时间千克）与上市时间x（月份）满足一个（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）（1）写出上表中表示的市场售价）写出上表中表示的市场售价P（元（元/千克）关于上市时间千克）关于上市时间x（月份）（月份）的函数关系式；的函数关系式；（2）若图中抛物线过）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益市场售价（收益市场售价种植成本）种植成本）上市时间x/（月份）123456市场售价P（元/千克）10.597.564.532：某宾馆客房部有：某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天的定价为每天200元时，房间可以住满当每个房间每元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间对有元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的元的各种费用设每个房间每天的定介增加各种费用设每个房间每天的定介增加x元，求：元，求：（1）房间每天入住量）房间每天入住量y（间）关于（间）关于x（元）的函数关系（元）的函数关系式；式；（2）该宾馆每天的房间收费）该宾馆每天的房间收费z（元）关于（元）关于x（元）的函（元）的函数关系式数关系式（3）该宾馆客房部每天的利润）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于（元）关于x（元）（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有有最大值？最大值是多少？最大值？最大值是多少？本节课你有哪些收获？练习练习3 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力学生的注意力y随时间随时间t的变化规律有如下关系的变化规律有如下关系（04黄冈）黄冈）224100(010)240(1020)7380(2040)tttyttt（1）讲课开始后第）讲课开始后第5分钟与讲课开始第分钟与讲课开始第25分钟比较，何分钟比较，何时学生的注意力更集中？时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？练习练习4：有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持一定数量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千千克放养在塘内，此时的市场价为每千克克放养在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一元，但是，放养一天需各种费用支出天需各种费用支出400元，且平均每天还有元，且平均每天还有10千克蟹死去，千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。元。（1）设）设x天后每千克活蟹的市场价为天后每千克活蟹的市场价为P元，写出元，写出P关于关于x的函数关系的函数关系式；式；（2）如果放养）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销千克蟹的销售总额为售总额为Q元，写出元，写出Q与与x的函数关系式；的函数关系式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润销售总额收购成本费用）？增大利润是多少？销售总额收购成本费用）？增大利润是多少？2 2、有一种大棚种植的西红柿，经过实验，其单位面、有一种大棚种植的西红柿，经过实验，其单位面积的产量与这个单位面积种植的株数成构成一种函数积的产量与这个单位面积种植的株数成构成一种函数关系。每平方米种植关系。每平方米种植4 4株时，平均单株产量为株时，平均单株产量为2kg2kg；以；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1 1株，单株，单株产量减少株产量减少1/4kg1/4kg。问每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最问每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大的产量为多少？大的产量为多少？练一练练一练例例2 2：某高科技发展公司投资：某高科技发展公司投资500500万元万元,成功研制出成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品一种市场需求量较大的高科技替代产品,羡慕投入羡慕投入资金资金15001500万元进行批量生产万元进行批量生产,已知行产每件产品的已知行产每件产品的成本为成本为4040元元,在销售过程中发现在销售过程中发现:当销售单价定为当销售单价定为100100元时元时,一年的销售量为一年的销售量为2020万件万件;销售单价每增加销售单价每增加1010元元,年销售量就减少年销售量就减少1 1万件万件.设销售单价为设销售单价为x x（元），年销售量为（元），年销售量为y y（万件），年获利（年获利（万件），年获利（年获利=处销售额生产成本投资）为处销售额生产成本投资）为z z（万元）。（万元）。（2020（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，请你借助函数的大致图像说明，第万元，请你借助函数的大致图像说明，第二年的销售单价二年的销售单价x（元），应确定在什么范围。（元），应确定在什么范围。（3）计算销售单价为）计算销售单价为160元时的年获利，元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？件？